1.4 充分条件与必要条件（新高一暑假预习）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该专项以命题概念为起点，构建“定义-判断-证明”三阶方法体系，通过四种判断方法与集合思想培养数学逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个核心知识点|定义法、集合法、等价法、传递法及充要证明双思路|从命题结构到条件关系，再到充要证明，形成概念生成-关系推导-应用拓展链条| |考点应用|4类考点（含22道例题）|命题真假判断、条件关系判定、参数求解、充要证明|覆盖集合、方程等情境，典例兼具基础与综合，体现知识应用迁移|

1.4 充分条件与必要条件 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点3：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 知识点4：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 考点一　命题真假的判断 考点二　四种命题条件关系的判断 考点三　利用条件关系求参数 考点四　充要条件的证明 考点一　命题真假的判断 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 2．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 4．（25-26高一·江苏·暑假作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 6．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足⫋的集合A的个数是个．( ) 考点二　四种命题条件关系的判断 7．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知.则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（2026·天津·模拟预测）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 10．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 12．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 考点三　利用条件关系求参数 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 15．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 16．（安徽省示范高中培优联盟2026-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 17．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知集合，． (1)当，时，求实数m的取值范围； (2)设p：；q：，B为非空集合，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 考点四　充要条件的证明 19．（2026高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 20．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 21．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； 22．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 1．（2026·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（   ） ①“a，b不全为0”是指a，b中至多一个为0； ②“”是“”的必要条件； ③“是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ④“”的一个必要条件是“”； ⑤“且”是“，”的充要条件. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数k的值可以是（ ） A． B． C． D．1 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 12．（25-26高一上·安徽池州·期中）（多选）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 14．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 15．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 知识点1：命题的概念与结构 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【注意】(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件““q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q“这四种表述形式等价． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点3：充分、必要、充要条件的判断 1．逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 3．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且qp 充分不必要条件 q⇒p，且pq 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 pq，且qp 既不充分也不必要条件 【注意】“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别： (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． 知识点4：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 考点一　命题真假的判断 考点二　四种命题条件关系的判断 考点三　利用条件关系求参数 考点四　充要条件的证明 考点一　命题真假的判断 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 2．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【分析】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）判断下列语句是否为命题，若是，则判断它们的真假． (1)； (2)； (3)若且，则； (4)若，则关于的方程无实数根． 【答案】(1)不是. (2)是，真 (3)是，真 (4)是，真 【分析】由命题的概念判断即可，即看语句是否能判断真假. 【详解】（1）“”不能判断真假，故不是命题. （2）由恒成立， 故“”是命题，且该命题为真命题. （3）由且， 则成立， 即“若且，则”是命题，且该命题为真命题. （4）关于的方程，其判别式， 若，则，故方程无实数根. 即“若，则关于的方程无实数根．”是命题，且该命题为真命题. 4．（25-26高一·江苏·暑假作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 6．（25-26高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假： （1）集合是集合的真子集；( ) （2）是集合的元素；( ) （3）2是集合的子集；( ) （4）满足⫋的集合A的个数是个．( ) 【答案】 假 假 假 真 【分析】（1）利用真子集的定义即可判断； （2）由集合与集合的关系即可判断真假； （3）由元素与集合的关系即可判断真假； （4）由真子集的定义即可找到满足条件集合A的个数． 【详解】（1）如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集， 显然集合不是集合的真子集，命题为假命题； （2）是集合，不是集合的元素，命题为假命题； （3）因为2是元素，不是集合的子集，命题为假命题； （4）若⫋，所以集合A中至少含有两个元素且其中一个必须为0， 又因为⫋，所以集合A可以从集合中再选取一个元素或者两个元素， 集合的子集有个，把和去掉，所以满足条件集合A的个数为个，命题为真命题． 故答案为：假；假；假；真. 考点二　四种命题条件关系的判断 7．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知.则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】证明充分性成立，再通过举反例说明必要性不成立，即可判断出条件关系. 【详解】若，且，则，等式成立，因此“”是“”的充分条件； 若，不一定能推出，取，则满足，且，即满足， 但，因此“”不是“”的必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 8．（2026·天津·模拟预测）已知是正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则成立， 若,不妨取，此时，所以不成立， 综上“”是“”的充分不必要条件 9．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 10．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 12．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 考点三　利用条件关系求参数 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 16．（安徽省示范高中培优联盟2026-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 17．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知集合，． (1)当，时，求实数m的取值范围； (2)设p：；q：，B为非空集合，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据，，列不等式求解即可； （2）由题意可知集合是集合的真子集，再结合B为非空集合，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以，解得． 又，所以，解得， 所以，即实数m的取值范围是． （2）由题意可知集合是集合的真子集，又B为非空集合，所以， 解得，所以实数m的取值范围是． 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知条件，若是的必要不充分条件，求实数的值. 【答案】 【分析】根据是的必要不充分条件得出根的情况，由韦达定理求解. 【详解】由可得或， 由是的必要不充分条件可知， 方程有相等实根或， 即或， 解得， 故实数的值为. 考点四　充要条件的证明 19．（2026高一上·上海·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 20．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 21．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义证明. 【详解】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 22．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 1．（2026·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（   ） ①“a，b不全为0”是指a，b中至多一个为0； ②“”是“”的必要条件； ③“是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ④“”的一个必要条件是“”； ⑤“且”是“，”的充要条件. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】结合充分条件、必要条件的定义检验各命题的真假即可求解． 【详解】①“a，b不全为0”是指“a，b中至多一个为0”，故①为真命题， ②当，时，“”成立，但“”不成立，则必要性不成立，故②为假命题； ③“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故③为真命题； ④，故“”的一个必要条件是“”，故④为真命题； ⑤当，时“，”成立，但“”不成立，所以“且”不成立， 所以“且”不是“，”的必要条件，故⑤为假命题． 综上，真命题有①③④，共3个. 故选：B 3．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 4．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】取，此时，但，故充分性不成立； 取，此时，但，故必要性不成立， 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 6．（25-26高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 7．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 8．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断出集合中元素个数，由此可求的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结果. 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 10．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）（多选）若“”是“或”的充分不必要条件，则实数k的值可以是（ ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据题意可得是或的真子集，进而求解即可. 【详解】由题意得，是或的真子集， 则或，解得或， 所以A，D选项符合，B，C选项不符合. 故选：AD. 11．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意得，分，两种情况讨论，可得答案． 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 12．（25-26高一上·安徽池州·期中）（多选）设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）设集合，，则“”是“”的________条件，是“”的________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件） 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】集合，，由，得， 显然不一定推得，当时一定得到， 因此“”是“”的必要不充分条件； 由，得，显然当时，一定有， 反之当时，不一定有，因此是“”的充分不必要条件． 14．（25-26高一上·上海·期中）下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 15．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 16．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）利用交集运算和补集运算求解即可； （2）利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； （3）把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， ， 所以. 或； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 或 解得：或 综上：， 故实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $