第04讲 充分条件与必要条件-2022年暑假新高一数学预习讲解+训练（人教A版2019）

第04讲 充分条件与必要条件 【学习目标】 1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 【知识结构】 【考点总结】 一、充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“pq”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 【例题讲解】 【类型】一、充分条件、必要条件 例1、给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解　(1)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒/ p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q，且q⇒p， ∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)p⇒/ q，且q⇒/ p， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 规律方法　本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 【训练】1、设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P与x∈M∪P之间的关系即可判断出结论． 【解答】解：“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}． ∴x∈M∩P⇒x∈M∪P，反之不成立． ∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件． 故选：C． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【训练】2、若a，b，c是△ABC的三条边，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可． 【解答】解：若“△ABC是等腰三角形”，则当a＝b≠c，则a2+b2+c2＝ab+bc+ca不一定成立， 若a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca， 即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， 即a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 则a＝b＝c， 则“△ABC是等腰三角形”成立， 即“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键．比较基础． 【类型】二、充分条件、必要条件与集合的关系 例2、已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当，即时，，满足； 当，即时，，解得， 综上所述：. 【训练】3、从给出的两个条件①a＝2，②a＝3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知集合A＝{0，a+2}，B＝{0，1，a2}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值； （2）已知 _____，若集合C含有两个元素且满足C⊆（A∪B），求集合C． 【分析】（1）利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A⫋B，分情况求解即可； （2）分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可． 【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件