北京市第八十中学2025-2026学年第二学期考前热身高三数学试卷

**基本信息** 北京市第八十中学2026届高三数学考前热身卷，以文化传承（如“环权”数列）、科技热点（AI用户调查）为情境，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、向量、复数、抛物线、函数性质|第7题结合战国“环权”文化考查等差等比数列综合| |填空题|5/25|二项式定理、双曲线、圆方程、函数零点|第12题双空设计考查双曲线离心率与参数关系| |解答题|6/85|三角函数、立体几何、概率统计、椭圆、导数、新定义数列|第18题以AI用户调查为背景考查概率计算，第21题新定义数列问题培养创新思维|

北京市第八十中学2025--2026学年第二学期考前热身 高 三 数 学2026年5月 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知全集，，，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，都是单位向量，且，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A．（-1，1） B．（-∞，1） C．（1，+∞） D．（-∞，-1）（1，+∞） 4．已知抛物线（）的焦点F（1，0），点A在抛物线C上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．函数和的定义域均为R，则“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 7．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则这9枚环权的质量和为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 8．已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B．sinA可以取到 C． D．cosC可以取到 9．如图所示，经过正三棱柱底面一边AB，作与底面成30°角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32，且点D是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 10．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 12．已知直线l：x-2y=0，点P在双曲线上.若点P到直线l的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数m的值为______． 13．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 14．已知函数．若关于x的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个k的值是______． 15．已知曲线：.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③当时，满足； ④曲线上任意两点、，当时，. 其中所有正确结论的序号为_______． 三、解答题（共6小题，共85分） 16．已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点Q是棱PB上一点． （1）当点Q是棱PB中点时，求证：； （2）若直线PD与平面QAC所成角的正弦值为，求线段PQ的长． 18．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的400名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 20 130 120 80 40 10 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． （1）从该地区AI工具用户中随机抽取1名用户，估计该用户是青年用户的概率； （2）从该地区AI工具用户中随机抽取3名用户，估计抽取的3名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； （3）已知该AI工具对某10个问题能准确答对其中的 （，且）个．若从这10个问题中随机抽取5个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，请写出一个符合要求的t的取值．（直接写出答案） 19．已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，（O是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点P，且与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 20．已知函数. （1）求曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）求证：当x≥0时，； （3）设m＞0，若对t∈(0，+∞)恒成立，求m的取值范围． 21．有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：，，不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 答案第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $20252026学年第二学期高三年级考前热身 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 【数学】试卷答题卡 2026.5 16. 姓名 班级 注意事项： 1. 选择题作答必须用2B铂笔，修放时用塑料橡皮擦干净， 第答题作答必须用黑色签字笔填写，答不得超出答题 2 保持卡面清洁，不要折叠，不要弃磁。 2 注：请考生 3 在每页考生信息相中填写姓名及准考证号。 将条形码 4.采用网上阅卷务必要在右侧填涂准考证号 条形码粘贴区域 粘贴在左 选提题填涂说明： 侧方框内 正确填涂：■错误填涂：州财灯 缺考标记：□ 监考老师代涂缺考标记 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 CAJ CB3 CCJ CDJ 5 CAJ CB]CCJ C0] 9 CAJ EBJ C03603 2 CAJ CBJ C03 CD3 6 CAJCB]E03 00O 10CA3 EB3 CC3 C03 3 CA3 CB3 CC3 ED3 7 CAJC83 C0J E03 4 CAJ CB]C03 CD3 8 CA]E8]C03C03 二、填空题（每小题5分，共25分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高三数学答题卡第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17 18. 0 高三数学答题卡第2页（共4页） 速：请考生 条形码粘贴区域 将条形码 姓名： 班级： 桔贴在左 侧方内。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 20. 高三数学答题卡第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. 草稿纸 高三数学答题卡第4页（共4页）2026届高三热身练习评分标准2026.5 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 9.C 10.D 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11.24 12.5月 13.(x-1)2+y-1)2=5 14.-1(满足k∈(-0,0)U(0,1)即可) 15.①③ 三、解答题，共6道题，共85分. 16.(本题13分) 【解】(1)因为f)=cos(号-2aw)+2 iw-1 =COS cos 2ax+sin sin 2aw-cos 2ao 3 sin 2o-Icos 2ox=sin(2ox) 2 2 6 当a=时，f=sm6寻，所以f@=sn(爱=方 令-+2m≤r-s+2mkeZ. 2 62 解得-号加≤x受+2aeZ. 3 所以fy的单调递增区间为[+2,2+2，k∈Z. (2)因为fw-sm2ar孕，f)在区间0智1上单调递增，且aw>0 2r兀，π 362 所以 兀、π 解得0<w≤1（或者0<o≤） 62-2 若选①：因为f0)+f爱=0，又f()在区间0,1上单调递增。 所以曲线)关于受0)对称。 所以分-m哈0急-0，所以名0名点keZ。 6 解得o=1+6k,k∈Z. .11分 又0<o≤1，所以o=1. ..12分 所以f(的最小正周期为2 ..13分 2 1 .1分 .4分 5分 7分 ..9分 若选②：x=号是f(的一个极值点，又f()在区间0，上单调递增， 所以)在x=号处取得最大值。 所以f5=sin(2亚。-马=1. 、3 6 所以号0-言登+2axez.解得01+或keZ。1分 又0<o≤1，所以0=1. ..12分 所以约的最小正周颜为经x ..13分 17.(本题14分) 【解】(1)连接BD,交AC于点O,连接O2 显然，点O是BD中点，又因为点Q是棱PB中点， 所以OQ/I DP. .2分 又因为DPa平面QAC,O0C平面QAC,.4分 B 所以PDI∥平面OAC. ..5分 D (2)因为侧面PAB⊥底面ABCD,BC⊥AB, 又平面PAB∩底面ABCD=AB, 所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB ..6分 又因为PB=AB=2,PA=2√2，所以PB⊥BA. 如图，建立空间直角坐标系B-z. ...7分 所以B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(2,2,0),P(0,0,2). 设PQ=t,则Q(0,0,2-t).设平面QAC的法向量为n=(,,) 84ue 由 yo=x0- 令x=2-t,则n=(2-t,2-t,2). 所以平面QAC的法向量n=(2-t,2-t,2) ..9分 因为直线PD与平面Q4C所成角8的正弦值为Y6 PD·n 所以=eos<P历，n> 4-4t -6 P0m23V2(2-02+4 12分 2 整理得8-141+3=0，解得1=}或1= 3 2 1 3 故线段PQ的长为或二 .13分 4 2 18.(本题13分) 【解】(1)由题意可知，样本中青年用户的频率为130+120_ 4008· 2分 设事件A:从该地区AI工具用户中随机抽取1名用户，该用户是青年用户，则P(A) 可估计为。 8 .3分 (2)设事件B:从该地区AI工具用户中随机抽取3名用户，用户中既有青年又有中年， 则可计为c+食GG*高名 8 .8分 810 =c品 x的 -c2868测 )40 ..10分 640 (3)t=5,6,7(写出其中的一个即可). ...13分 19.(本题15分) C-v6 a3, 1 a=√3， 【解】(1)由已知得 2,解得 b=1. a2=b2+c2, 所以椭圆：的方程为 +y=1. ..5分 (2)设点P(,%)(≠0%≠0)，则x+3=3. 依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y=a+m,则m=名一. (y=kx+m, {2+3y2=3得3k+1r2+6x+3m-3=0. 由 因为直线直线1与椭圆E有唯一的公共点， 所以△=(6a22-4(3k2+1)(3m2-3)=0.整理得3k2+1-2=0. [3k2+1-m2=0, 由m=g-,得9k2+6x6k+x=0. +3=3, 3 解得k=一名，m=】 3yo [x=V5 由 y=kx+m 得%VBk+m=5-五 3% 又直线AP:(%-1)x-xy+x=0,直线CD:x-√3y-√3=0. -5=0，得w=当+- [(%6-1)x-y+=0, 由 ,-√3y+V3 所以yM-yN= 3-2_+56-5 V3%x-V3%+3 _(3-),-5%+V3)-V3刚+-5) V3%(-V3+V3) 3-x7-3y V3,(G-V3,+V5=0. 所以yM=w.所以N/Ix轴. 又直线CD的斜率为k=5 所以直线A0w与直线CD的夹角的大小为？为定值。 ..15分 20.（本题15分) 【解】)因为)=h+,则)=h(++中 所以f0=h2,了0-h2+号 所以曲线y=f(x)在点(1，f)处的切线方程为y-1n2=+n2)(x-1). 即y=+h2-号 .5分 (2)要证j≥x-号，即证x++x2-0. 又x≥0，即证hK+1)+号x-x≥0.设g)=lnx+D+2x2-x(《≥0， 2 2 8)-+-1= x2 20, x+1 x+1 所以g(x)在(0，+o)上单调递增. 所以g6)280=0.所以02-号式. ...10分 4 (3)因为f)-(x+所以当x≥0时，h(x+)>0且20，即/W>0, x+1 所以f(x)在(0，+0)上是增函数. 因为emt>0,t>0, 若f(em)≥f(t)对t∈(0，+o)恒成立，则em≥t. 设pt)=e-tt>0,>0),p'(t)=e-1. ①≥1时，显然p'()>0,所以p()在(0，+o)单调递增. 所以)>p(0)=1,即em≥t,所以≥1m≥1符合题意. ②当0<m<1时，显然p(0=0,t=-血业 L nm) Inm Inm (0,- ,+0) m m m p() 0 4t) y 极小值 由上表知1=-，(e0=上+nm L 1h之0，所以m2。.即m的取值范围为+o0). 21.(本题15分) 【解】(1)由①，得2<a<6. .1分 由②，当i=2,j=3,k=4时，2a,6a,12中至少有一个是数列1,2，a,6中 的项，但6a>6,12>6,故2a=6,解得a=3. .3分 经检验，当a=3时，符合题意. ..4分 (2)假设2,3,5是数列A中的项，由②可知：6,10,15中至少有一个是数列A中的项， 则有限数列A的最后一项a>5,且n≥4. 由①得4>4-1>4-2>4-3>1. 考虑数4m-2,an-1,4,由②可知4-24-1=4， 考虑数a-3,4-1,4,由②可知a-34-1=4· 所以4-2=4-3，这与①矛盾.所以2,3,5不可能是数列A中的项..9分 (3)n的最大值为9.理由如下： 假设A,中至少有四项，其绝对值大于1.不妨设4,4,4,4是A中绝对值大于1的 最大四项，其中1<4 sa sla sla. 则对4,4,4，有a4>4,a4>4,故44，a,4均不是数列A中的项. 所以44.是数列A中的项. 同理，a,4也是数列A中的项.但aa>a.,a,a>a,所以44=a,4.=4. 所以a:=a,这与①矛盾，所以数列A中至多有三项绝对值大于1的项. 假设A,中至少有四项，其绝对值大于0且小于1.不妨设4,4g,4,4是A中绝对值大 于0且小于1的最小四项，其中0<a,≤ag≤a,≤<1. 则对a,g,a,有a,ag<a4,ag<。,故a,a,0pa,均不是数列4中的项. 所以a,4,是数列A中的项. 同理，a,a也是数列A中的项.但lag<ag,a,4<agl.所以a,a,=a,4,. 所以4，=4，这与①矛盾.所以数列A中至多有三项绝对值大于0且小于1的项. 显然，数列A中至多有两项绝对值等于1，至多有一项等于0.故数列A至多有9项. 装列4：4-21分子0片2特合题意，放以的最大值为9.15分 6