北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习数学统练五

北京市第八十中学高三一模前模拟练习 数学 统练五 2026年3月 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习 数 学 统 练 五 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分135分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．-10 C．40 D．-40 4．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 5．为得到函数的图象，只需（    ） A．把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 6．已知圆C：，点，O是坐标原点．若点B在圆C上，则面积最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 7．音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（   ） A．（单位：） B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 8．已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 9．已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若，则 ______. 12．在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=_____． 13．已知平行四边形中，，点满足，则______. 14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 15．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知四棱锥，，，，于点E，． （1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18．北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 19．已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 20．已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 高三数学试卷 第7页 （共8页） 高三数学试卷 第8页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学练习5 一、选择题 1.已知全集={-2，-1,01,2,3}，集合A={x∈Zx2≤2，则C,A=（) A.{-1,0,1 B.{-2,2,3} C.{-2,1,2} D.{-2,0,3} 2.在复平面内，复数z= =1-对应的点坐标为(1，-2)，则实数a=（ ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.在 3 的展开式中，x的系数为() A.10 B.-10 C.40 D.-40 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,，点M(o,%)在C上，若MF>4,则() A.∈(0,2) B.6∈(0,2) C.∈(2，+o) D.%e(2,+o∞) 5.为得到函数y=g(10x+10)的图象，只需() A.把函数y=lg(10x)的图象上的所有点向左平移10个单位 B.把函数y=g(10x)的图象上的所有点向左平移1个单位 C.把函数y=1g(x+10)的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D.把函数y=lg(x+1)的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 10 6.已知⊙C:x2+y2-4x+4y+6=0,点A(1,1),0是坐标原点.若点B在⊙C上，则△OAB面积 的最大值为() A.3W2 B.3 C.2W2 D.2 7.音量大小用声强级7（单位：dB)表示，声强级7与声强1（单位：W1m2)的关系是：7=10lg 1 其中I,指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1W/m2,对应的声强级为120B.若学生早读 期间读书的声音的声强级范围为[70,80（单位：dB),则下列选项中错误的是(） A.。=10-12(单位：W1m2) B.学生早读期间读书的声强范围为[10,10]（单位：W/m2) C.如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D.如果声强级增加10dB,则声强变为原来的10倍 9.已知无穷等比数列{a}的前n项和为Sn,则“a4a,>a”是“S,既无最大值也无最小值”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知{a}是各项均为整数的递增数列，且423，若4+a,++a,=100,则n的最大值为() A.9 B.10 C.11 D.12 二填空题 11.若1-2x)(x+2）=a+ax+…+a6x,则a3= 中，已知AB=4,AC-7,BC边的中线D 13.已知平行四边形ABCD中，AB.AD=3,点P满足PA.PC=4,则PB.PD= 14.如图，已知o>0,在函数f(x)=sin(wx+)的部分图像中，其图像上的点A,B,C是同一条直线上 的三点，且该直线与x轴交于点D,若|ADDB曰BC=1,则D= 15.设{a}与{b,}是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M={k1a=b,k∈N},给出下列4个 结论： ①若{an}与{b}均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若{an}与{b,}均为等比数列，则M中最多有2个元素： ③若{a,}为等差数列，{b}为等比数列，则M中最多有3个元素： ④若{an}为递增数列，{b,}为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 2 三解答题 16.在△ABC中，b2-a2-c2=1 7c、 (1)求sinB: (2)若△ABC的面积为15V5 ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 4 存在，求a. 条件①：C= 2π 3 条件②：b=5: 条件③：sinA-sinC=1. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 3 17.已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,PE L AD于点E,DE=PE=2, (I)若点F在线段PE上，且BF∥平面PCD,证明：F是PE中点. (2)若AB⊥平面PED,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 18.北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其 中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A(古代皇家宫苑建筑) B(古代皇家祭祀建筑) C(古代城市管理设施) 中轴线遗产 钟鼓 正阳 永定 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 点 楼 门 门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X,求X的分布列及数学期望： (3)设选取的3处遗产点中，A,B,C类遗产点的个数分别为Y4,Ya,Yc,记D=D(Y),D2=D(Y+YB), D=D(Y,+Y),直接写出方差D,D2与D大小关系.（无需证明） 9.已知椭圆E:专+片a>b>0)的右顶点为P2,0),焦距为2V5, (1)求椭圆E的方程及离心率e; (2)过Q(2,1)作直线1交椭圆E于不同两点A,B,设直线PA,PB分别与直线y=1交于点C(x,1), D(xp,l),比较x+xp与xcxp的大小，并给出证明. 20.已知函数f(x)=ae+2x-3,其中aeR. (1)讨论f(x)的单调性； (2)(i)当a21时，证明：f(x≥31nx(x>0)； (i)当a=1时，设0<m<1<n,且f(m)+f(n)=0.求证：f(mn)f(m+n)<0. 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习 数 学 统 练 五 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B B C A B C 1．B【详解】因为全集，集合，所以. 2．B【详解】，则对应的点的坐标为，故. 3．D【详解】通项公式，令，得，所以的系数为. 4．C【详解】抛物线的准线方程为，又点在上且，则，所以，即，故A错误，C正确；又，所以，所以. 5．B【详解】对于A中，把函数的图象上的所有点向左平移10个单位，可得，所以A不正确；对于B中，函数的图象上的所有点向左平移1个单位，可得，所以B正确；对于C中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变，可得，所以C不正确；对于D中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，可得，所以D不正确. 6．B【详解】由：，即，则圆心，半径为，因为，，则，，又，则，即，要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图，此时，则面积的最大值为. 7．C【详解】由题设，可得，A对；所以，若，则，所以，B对；若，则，C错；若，则，可得，D对. 8．A 9．B【详解】设公比为，由得，因为，所以，所以，所以或，即的充要条件为或，当，时，，此时，故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值，当，时，，此时，故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值，当时，，为摆动数列，且，故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷，故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值，所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”；反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值；当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值；当时，由上面分析若，则有最小值无最大值，若，则有最大值无最小值；当时，若，则有最小值无最大值，若，则有最大值无最小值；当时，若，则，，当为奇数时，，当为偶数时，，且随着的增大，趋向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值，若，则，，当为奇数时，，当为偶数时，，且随着的增大，趋向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值；当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值，由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立. 综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件. 10．C【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以.对于，，取数列各项为（，,则，所以n的最大值为11． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．【详解】因为展开式的通项公式为，所以. 12．9【详解】由（），得，所以，即，即． 由余弦定理，得，所以． 13．【详解】. 14．【详解】因为，点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点，两点关于点对称.，两点关于点对称.，设，，，，且，，所以①，则，所以，故或，若，即是的一个零点，不符合题意，所以，则，而，所以，结合①有，所以，而，所以，，所以，，所以. 15．①③④【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.对于②，取则均为等比数列，但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，取 ，则,故③正确.对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．解： （1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 17．解： （1）过点作，交于,连接， 因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面∩平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以分别是的中点， 即是中点得证. （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 如图， 则， ，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是. 18．解： （1）在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； （2）由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； （3）因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 19．解： （1）由题意有：，所以， 又， 所以椭圆的方程为：， 所以离心率为； （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：， 所以， 所以，即， 设， 所以， 由，所以直线的方程为：， 令得，同理得， 所以， ， 当且时，，    当时，或， 此时与平行，没有交点，不合题意.    所以. 20．解： （1）， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 答案第34页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $