精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习数学统练五

北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习 数 学 统 练 五 （考试时间120分钟 满分135分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的补集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用复数的除法将化为，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】，则对应的点的坐标为，故. 故选：B 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出的取值范围. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在上且，则，所以， 即，故A错误，C正确； 又，所以，所以，故B、D错误. 故选：C 5. 为得到函数的图象，只需（ ） A. 把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B. 把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合函数图象的平移变换和伸缩变换的变换规则，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，把函数的图象上的所有点向左平移10个单位， 可得，所以A不正确； 对于B中，函数的图象上的所有点向左平移1个单位， 可得，所以B正确； 对于C中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变， 可得，所以C不正确； 对于D中，函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变， 可得，所以D不正确. 故选：B. 6. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 7. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ） A. （单位：） B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C. 如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求得，即，再应用指对数关系及对数运算性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A对； 所以， 若，则，所以，B对； 若，则，C错； 若，则，可得，D对. 故选：C 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 9. 已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】设出公比为，利用等比数列基本量的运算得：的充要条件为或，分类讨论得既无最大值也无最小值时，，则有，最后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设公比为，由得， 因为，所以，所以，所以或， 即的充要条件为或， 当，时，，此时， 故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值， 当，时，，此时， 故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值， 所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”； 反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值； 当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值； 当时，由上面分析若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值； 当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值， 由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立. 综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件. 故选：B 10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其的2次项系数和3次项系数，从而可出. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以. 故答案为： 12. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用()，得，即可求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由()，得， 所以， 即， 即． 由余弦定理，得， 所以． 故答案为：9. 13. 已知平行四边形中，，点满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】 . 故答案为：. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选择条件①：． 选择条件②：或． 选择条件③：不符合题意 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【小问1详解】 在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． 【小问2详解】 选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 17. 已知四棱锥，，，，于点E，． （1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交于,证四边形是平行四边形即可； （2）平面，，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 过点作，交于,连接， 因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面∩平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以分别是的中点， 即是中点得证. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 如图， 则， ，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是. 18. 北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算； （2）利用古典概型和排列组合的相关知识求出分布列，最后利用期望公式即可； （3）利用，以及方差的性质即可求证. 【小问1详解】 在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； 【小问3详解】 因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 【答案】（1）； （2） ，证明如下： 由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：， 所以， 所以，即， 设， 所以， 由，所以直线的方程为：， 令得，同理得， 所以， ， 当且时，， 当时，或， 此时与平行，没有交点，不合题意. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用已知得，又利用即可求椭圆的方程，利用离心率的公式即可求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，求直线的方程，进而得，同理得，求出和即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，所以， 又， 所以椭圆的方程为：， 所以离心率为； 【小问2详解】 略. 20. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 【答案】（1）当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. （2）设， 则， 因为在上单调递增，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当且仅当时取等， 所以，即，当且仅当，时取等； （ⅱ）法一：由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以， 由（2）可知，，， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以 法二： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，，易知在上单调递增， 所以当时，，即， 上式整理得，即 设，，所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以，所以，即， 所以 所以（同法一） 法三： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 设，， 所以，所以在上单调递增， 显然，所以，即， 因为，所以，所以，即， 根据基本不等式，，所以， 所以， 所以 法四： 由（1）已知，当时，在单调递增； 因为，所以；（同法一） 因为，所以 根据基本不等式，， 设，所以，整理得， 设， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以为增函数， 因为，所以当且仅当时，， 所以， 根据基本不等式，，所以， 所以 所以（同法三） 【解析】 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 法二：构造，根据单调性得到，进而得到的单调性，后同法一； 法三：构造，根据单调性得，根据基本不等式得，进而证明结论； 法四：同法一得到，设，构造， 利用导数判断单调性，得到，后同法三进行证明. 【小问1详解】 ， ①当时，，在单调递增， ②当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递增， 在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三一模前模拟练习 数 学 统 练 五 （考试时间120分钟 满分135分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 为得到函数的图象，只需（ ） A. 把函数的图象上的所有点向左平移10个单位 B. 把函数的图象上的所有点向左平移1个单位 C. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的10倍，纵坐标不变 D. 把函数的图象上的所有点横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 6. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（ ） A. （单位：） B. 学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C. 如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D. 如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若，则 ______. 12. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 13. 已知平行四边形中，，点满足，则________. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 15. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知四棱锥，，，，于点E，． （1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 20. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）（ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）当时，设，且.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $