专题02 期末真题百练通关（93题31大热考题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以93道真题构建31类题型体系，覆盖函数、几何、方程、数据四大模块，通过分层训练强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数|11题型33题|含概念辨析、图像性质、实际应用|从定义到性质再到综合应用，形成完整认知链| |几何|14题型42题|涵盖四边形判定、动态变换、存在性问题|以平行四边形为基础，递进至特殊四边形及几何变换| |方程|5题型15题|包括解法、根的判别、实际应用|从代数运算到几何应用，强化模型意识| |数据|2题型6题|涉及统计量计算与图表分析|通过真实情境培养数据观念与推理意识|

专题02 期末真题百练通关（93题31大热考题型） 题型1 函数的基本概念 题型17 三角形的中位线定理 题型2 函数的三种表示方法 题型18 中点四边形 题型3 坐标系中的平移问题 题型19 四边形中的折叠问题 题型4 一次函数的概念 题型20 四边形中的旋转问题 题型5 求一次函数的解析式 题型21 四边形中的最值问题 题型6 一次函数的图象 题型22 特殊平行四边形的存在性问题 题型7 一次函数的增减性 题型23 一元二次方程的解法 题型8 一次函数的平移 题型24 配方法应用 题型9 一次函数与坐标轴的交点问题 题型25 换元法求一元二次方程 题型10 一次函数与方程、不等式关系 题型26 根据一元二次方程根的情况求参数 题型11 一次函数的实际应用 题型27 一元二次方程根与系数的关系 题型12 多边形的相关问题 题型28 一元二次方程的实际应用 题型13 平行四边形的判定与性质 题型29 一元二次方程的新定义问题 题型14 矩形的判定与性质 题型30 数据的分析选填题 题型15 菱形的判定与性质 题型31 数据的分析解答题 题型16 正方形的判定与性质 题型一 函数的基本概念（共3小题） 1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）函数中，自变量的取值范围为_______． 3．（24-25八年级上·全国·期中）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． (1)已知米，求落下所用的时间；（结果精确到） (2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约米，手拿物体高为米）（结果精确到） (3)如果一物体落地的时间为秒，求物体开始下落时的高度． 题型二 函数的三种表示方法（共3小题） 4．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 题型三 坐标系中的平移问题（共3小题） 7．（25-26七年级下·河北唐山·期中）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 9．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 题型四 一次函数的概念（共3小题） 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 12．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 题型五 求一次函数的解析式（共3小题） 13．（2026·山西临汾·三模）如图1，一架无人机从一栋楼房的楼顶起飞，匀速上升．已知该架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，这个一次函数的解析式______． 15．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P的横、纵坐标相等，求m的值； (2)若点P在一次函数的图象上，求点P的坐标． 题型六 一次函数的图象（共3小题） 16．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）填表并在同一坐标系中画出函数和函数的图象． x 0 1 4 17．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 题型七 一次函数的增减性（共3小题） 19．（25-26八年级下·北京西城·期中）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围______． 21．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一次函数的图象为直线． (1)若函数图象过坐标原点，求的值． (2)证明：无论为何值，直线总经过点． (3)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 题型八 一次函数的平移（共3小题） 22．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 23．（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 24．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； (4)点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． (5)一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 题型九 一次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 25．（25-26八年级下·广西南宁·期末）已知两个一次函数与图象的交点在x轴上，则的值为（    ） A． B．4 C．－2 D．2 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 27．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式和的值； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 题型十 一次函数与方程、不等式关系（共3小题） 28．（25-26八年级下·北京西城·期中）画出函数 的图象并探究性质，并解决相关问题． (1)下表中的______， ． x ．．． 0 1 n 3 4 ．．． y ．．． m 0 3 6 9 12 ．．． (2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该函数的图象． (3)根据图象写出不等式 的解集____________． 29．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 30．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 题型十一 一次函数的实际应用（共3小题） 31．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 32．（2025·云南·模拟预测）某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 题型十二 多边形的相关问题（共3小题） 34．（2026·北京大兴·二模）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（     ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 35．（25-26八年级下·北京·期中）某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 36．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 题型十三 平行四边形的判定与性质（共3小题） 37．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 39．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 题型十四 矩形的判定与性质（共3小题） 40．（25-26八年级下·北京·期末）如图，矩形中，对角线交于点O，点F、E分别在边和上，O在线段上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若G是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 41．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末） 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 42．（2025·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 题型十五 菱形的判定与性质（共3小题） 43．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，E，F分别是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 44．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，，点P为对角线上任一点，过点P作分别交、于点E、F，过点P作分别交、于点G、H，、交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：． 45．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 题型十六 正方形的判定与性质（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 47．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点M，边的延长线上有一点N，且． (1)判断的形状并证明； (2)连接，作的平分线交于E．求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，作于F．则，，之间的数量关系为______． 48．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、． (1)证明：； (2)连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 题型十七 三角形的中位线定理（共3小题） 49．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 50．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 51．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， 题型十八 中点四边形（共3小题） 52．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 53．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 54．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 题型十九 四边形中的折叠问题（共3小题） 55．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为______． 57．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 题型二十 四边形中的旋转问题（共3小题） 58．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是．    (1)继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； (2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在的延长线上时，如图3，求证：； 59．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在矩形中,，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点交于点H． (1)如图(一)，探究出的数量关系为_____． (2)如图(二)，①证明：； ②在(1)的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 60．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 题型二十一 四边形中的最值问题（共3小题） 61．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)当点满足什么条件时，的值最小？ (2)某同学发现：设，则，则，可以求出当________时，的值最小，且最小值为________； (3)结合（1）（2）问，请利用数形结合、方程思想的数学思想方法求当x为何值时？代数式有最小值，最小值为多少？ 62．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由； （3）当M点在何处时，2AM＋BM的值最小，并说明理由． 63．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)填空：点B的坐标为______，的长为______； (2)求的长及所在直线的解析式； (3)若P为x轴上一动点，请直接写出使最小时点P的坐标． 题型二十二 特殊平行四边形的存在性问题（共3小题） 64．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 65．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 66．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二十三 一元二次方程的解法（共3小题） 67．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 68．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 69．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 题型二十四 配方法应用（共3小题） 70．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 71．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 72．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 题型二十五 换元法求一元二次方程（共3小题） 73．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 74．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 75．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 题型二十六 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 76．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 77．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________． 78．（25-26九年级上·北京东城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 题型二十七 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 79．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 80．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 81．（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 题型二十八 一元二次方程的实际应用（共3小题） 82．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 83．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 84．（24-25九年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； (2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 题型二十九 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 85．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 86．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 87．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 题型三十 数据的分析选填题（共3小题） 88．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小申将9月份每天的书籍销售量绘制成了箱线图，以下说法正确的是（    ） A．这个月有15天每天销售量在200本以上 B．这个月中销售量最大的一天，销售量大于400本 C．这个月每天的书籍销售量的中位数在200本以下 D．这个月中每天的销售量差异不大 89．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 90．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 题型三十一 数据的分析解答题（共3小题） 91．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 92．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 93．（25-26八年级下·北京西城·期中）为了调查中学生对冰上运动知识的了解情况，某校对八年级学生进行了相关测试．从中随机抽取40名学生的测试成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．40名学生测试成绩的频数分布表和频数分布直方图如下： 40名学生测试成绩的频数分布表 测试成绩（分） 频数 频率 a 0.05 6 0.15 b c 14 0.35 8 0.20 合计 40 1 b．40名学生测试成绩的数据在这一组的是： 80，82，82，84，85，85，85，86，87，87，88，88，89，89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ， ； (2)补全该校40名学生测试成绩的频数分布直方图； (3)抽取的40名学生测试成绩数据的中位数是_____； (4)已知该所学校八年级学生共计200人，如果测试成绩达到80分及80分以上为优秀，请推断该所学校八年级学生测试成绩达到优秀的约有____人． 1．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 2．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 4．骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 5．已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 6．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 7．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 8．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 9．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 10．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 11．某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 12．某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 14．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末真题百练通关（93题31大热考题型） 题型1 函数的基本概念 题型17 三角形的中位线定理 题型2 函数的三种表示方法 题型18 中点四边形 题型3 坐标系中的平移问题 题型19 四边形中的折叠问题 题型4 一次函数的概念 题型20 四边形中的旋转问题 题型5 求一次函数的解析式 题型21 四边形中的最值问题 题型6 一次函数的图象 题型22 特殊平行四边形的存在性问题 题型7 一次函数的增减性 题型23 一元二次方程的解法 题型8 一次函数的平移 题型24 配方法应用 题型9 一次函数与坐标轴的交点问题 题型25 换元法求一元二次方程 题型10 一次函数与方程、不等式关系 题型26 根据一元二次方程根的情况求参数 题型11 一次函数的实际应用 题型27 一元二次方程根与系数的关系 题型12 多边形的相关问题 题型28 一元二次方程的实际应用 题型13 平行四边形的判定与性质 题型29 一元二次方程的新定义问题 题型14 矩形的判定与性质 题型30 数据的分析选填题 题型15 菱形的判定与性质 题型31 数据的分析解答题 题型16 正方形的判定与性质 题型一 函数的基本概念（共3小题） 1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）函数中，自变量的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，且二次根式下被开方数需要大于等于0，可得答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故答案为：且． 3．（24-25八年级上·全国·期中）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度（单位：米）有下面的关系式：． (1)已知米，求落下所用的时间；（结果精确到） (2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约米，手拿物体高为米）（结果精确到） (3)如果一物体落地的时间为秒，求物体开始下落时的高度． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)米 【分析】（1）将直接代入函数关系式求函数值即可； （2）先求出，然后将代入函数关系式求函数值即可； （3）将直接代入函数关系式求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：将代入函数关系式，得： （秒）， 落下所用的时间为秒； （2）解：根据题意得： （米）， 则（秒）， 答：约需秒； （3）解：由题意可知：， 将代入，得： ， （米）， 即物体开始下落时的高度为米． 【点睛】本题主要考查了求函数值，求自变量的值，求一个数的算术平方根，有理数的乘方运算等知识点，熟练掌握求自变量的值或函数值是解题的关键． 题型二 函数的三种表示方法（共3小题） 4．（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是_____． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 【答案】(1) (2)1，2 (3) 【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可； （2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可； （3）利用待定系数法解答即可． 本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的特点及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为： （2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为 故答案为：1， （3）将，和，分别代入， 得， 解得， 当时，函数的表达为 题型三 坐标系中的平移问题（共3小题） 7．（25-26七年级下·河北唐山·期中）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．边长为2的正方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有_____个． 【答案】4 【分析】当正方形的顶点不是整点时，就能保证有更多的整点位于正方形内部． 【详解】解：正方形内部（不含边界）的整点的个数最多有4个，如图所示． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 9．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度 (3)， 【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可； （2）根据A，的坐标可确定平移方式； （3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点， 三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的； （3）解：平移后对应点的坐标为，即， 又的坐标为， ，， 解得，． 题型四 一次函数的概念（共3小题） 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，可得自变量的次数为，且一次项系数不为，据此可判断n的值． 【详解】解：根据一次函数的定义，若是关于的一次函数，需满足： 且， 因此． 12．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 题型五 求一次函数的解析式（共3小题） 13．（2026·山西临汾·三模）如图1，一架无人机从一栋楼房的楼顶起飞，匀速上升．已知该架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从图象可以得直线过和两点，设y与x之间的函数关系式为，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：y与x之间的函数关系式为， 由图象可以得直线过和两点， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 14．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点，这个一次函数的解析式______． 【答案】 【分析】将已知两点的坐标代入一次函数解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组得到和的值，即可确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数图象经过点，， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． 15．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P的横、纵坐标相等，求m的值； (2)若点P在一次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意，得，据此求解即可； （2）把，代入，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：把，代入， 得， 解得， ∴，， 即点P的坐标为． 题型六 一次函数的图象（共3小题） 16．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）填表并在同一坐标系中画出函数和函数的图象． x 0 1 4 【答案】见解析 【分析】先填表，再根据描点法画出图象即可 【详解】 解：填表如下： x 0 1 4 3 0 0 经过，点的直线是的图象， 经过，点的直线是的图象； 17．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2028 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，再把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）把代入中的解析式得，然后把代入代数式，从而得到代数式的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 根据题意得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：把代入得， 所以 题型七 一次函数的增减性（共3小题） 19．（25-26八年级下·北京西城·期中）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一次函数的性质求解，一次函数中，当一次项系数时，函数值随的增大而增大，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】一次函数的函数值随的增大而增大， ， 解得． 20．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的斜率的正负进行分类讨论，当斜率大于零、小于零时，分别求函数在区间上值大于零的条件，综合得出的取值范围，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数为， 当，即时，一次函数为增函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 当，即时，一次函数为减函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 21．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的一次函数的图象为直线． (1)若函数图象过坐标原点，求的值． (2)证明：无论为何值，直线总经过点． (3)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将原点坐标代入求解即可； （2）将整理得，当时，，即可求解； （3）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象过坐标原点， ∴， 解得； （2）证明：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （3）解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 题型八 一次函数的平移（共3小题） 22．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【答案】B 【分析】由一次函数图象的平移规律和一次函数图象与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到， 根据平移规律“上加下减”可得平移后的解析式为， ∴， 又∵， ∴一次函数中，斜率为负，且与轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限． 23．（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：将直线：向左平移个单位长度，得到直线的解析式为， 又：， ，解得． 24．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； (4)点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． (5)一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 【答案】(1)， (2)解：函数图象如图所示： (3)； (4)或 (5) 【分析】（1）分别令代入直线中，求出对应的值，即可得到结果； （2）根据（1）中两点的坐标画直线即可； （3）分别求出时，对应的函数值；令解不等式即可； （4）设，根据，即可解答； （5）根据直线平移后值不变，平移后解析式为，将点代入求解出即可． 【详解】（1）解：将代入直线中，则， ∴， 令中，解得， ∴； （2）略 （3）解：∵由（2）中图象知，当时，在中，随的增大而增大， 将代入直线中，则， 将代入直线中，则， ∴当时，的取值范围是； 令， 解得， 即当时，自变量的取值范围是； （4）解：设， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 综上，点的坐标为或； （5）解：平移后解析式为， 将点代入得， 解得， 故平移后解析式为． 题型九 一次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 25．（25-26八年级下·广西南宁·期末）已知两个一次函数与图象的交点在x轴上，则的值为（    ） A． B．4 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直线与坐标轴的交点问题，分别求出两条直线与轴的交点坐标，根据两条直线的交点在轴上，得到两个直线与轴的交点的横坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵两个一次函数与图象的交点在x轴上， ∴， ∴， ∴； 故选A． 26．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数的图象经过，两点，与x轴交于点C，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，将，代入，得出方程组，解方程组即可得一次函数解析式，再求出时对应的x值即可得点C的坐标． 【详解】解：将，代入， 可得， 解得， ∴， 当时，，即． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式和的值； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)的面积 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质． (1)用待定系数法求出直线和的解析式，即可得到的值； (2)根据直线和的解析式求出点、的坐标，从而可知，边上的高即为点的横坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为； 直线经过， ， ；                     （2）解：当时，， 点坐标为， 当时，， 点C坐标为， ， ． 题型十 一次函数与方程、不等式关系（共3小题） 28．（25-26八年级下·北京西城·期中）画出函数 的图象并探究性质，并解决相关问题． (1)下表中的______， ． x ．．． 0 1 n 3 4 ．．． y ．．． m 0 3 6 9 12 ．．． (2)在平面直角坐标系中，用描点法画出该函数的图象． (3)根据图象写出不等式 的解集____________． 【答案】(1)，2 (2) 描出表格中给出的所有点： 连线部分，将；连接部分，将连接． 图象过原点，左半段为，右半段为的分段折线． (3) 【分析】先对函数去绝对值，分和两种情况化简解析式，得到分段函数形式，这是解题的突破口． （1）因为属于的区间，所以代入对应的分段解析式计算m的值；因为属于时的函数值，所以代入对应分段解析式求解n的值． （2）根据表格中的坐标点，在坐标系中描点后，分和两段连线，得到函数图象． （3）当时， ，当时，令，分两种情况解不等式；合并得解集，即得．也可以先找到函数 与直线的交点，再根据函数图象的位置，找出 在下方部分对应的x的范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）首先化简分段函数： ， 根据绝对值性质得： 当时， ； 当时， ． 当，代入， 得， ∴； 当，，对应段， 代入， 得， 解得， ∴． x ．．． 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 3 6 9 12 ．．． （2）描出表格中给出的所有点： 连线：部分，将 连接，得到左半射线； 部分，将 连接，得到的右半射线， 图象如下（描述）：过原点，左半段为，右半段为的分段折线． （3）当时， ，所有都满足不等式； 当时，令， 解得， 即满足不等式； 合并得解集：． 29．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 30．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）代入点到，求出的值，再代入点的坐标到，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， 代入，到， 则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，则， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：由图象得，当时，， ∴的解集为． 题型十一 一次函数的实际应用（共3小题） 31．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 32．（2025·云南·模拟预测）某超市购进和销售甲、乙两种商品的信息如表： 商品类别 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 a 78 乙种商品 b 乙种商品的销售总价 y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： 已知该超市购进甲种商品5千克和乙种商品10千克共需1100元；购进甲种商品20千克和乙种商品10千克共需2000元．已知甲、乙两种商品共进货300千克，其中乙种商品购进x千克，乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克． (1)求a，b的值； (2)设销售甲、乙两种商品所获总利润为元，甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍，且300千克商品全部销售完，求与x的函数关系式，并求的最大值及此时甲、乙两种商品的购进量． 【答案】(1)a的值为60，b的值为80 (2)与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的图象以及一次函数的应用，其中理解题意列出正确的关系式是解题的关键． （1）根据题意列关于、的方程组即可得出结论． （2）根据题意列出与的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 答：a的值为60，b的值为80． （2）解：∵甲、乙两种商品共进货300千克，且乙种商品购进x千克， ∴甲种商品购进千克． ∵甲种商品的购进量不超过乙种商品购进量的2倍， ∴， 解得． ∵乙种商品购进量不低于80千克且不超过200千克， ∴． ∴． 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， 即， 此时利润． ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时． 答：与的函数关系式为，当甲种商品购进200千克，乙种商品购进100千克时，取得最大值，的最大值为5600． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 题型十二 多边形的相关问题（共3小题） 34．（2026·北京大兴·二模）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（     ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】D 【分析】利用多边形外角和定理，以及正多边形各外角相等的性质求解，直接计算边数即可得到结果． 【详解】∵任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等， ∴设该正多边形的边数为n， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 35．（25-26八年级下·北京·期中）某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 【答案】 8 45 【分析】设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式与外角和定理列出关于的一元一次方程，解方程求出边数，再根据正多边形的外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 所以该正多边形的边数为， 因为正多边形的每个外角相等，且外角和为， 所以每个外角的度数为． 36．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 题型十三 平行四边形的判定与性质（共3小题） 37．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由平行线的性质得，则，然后由证明即可； （2）由平行四边形的性质得，，再由全等三角形的性质得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 由（1）可知，， ， ＋＋， 即， 四边形是平行四边形． 39．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 题型十四 矩形的判定与性质（共3小题） 40．（25-26八年级下·北京·期末）如图，矩形中，对角线交于点O，点F、E分别在边和上，O在线段上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若G是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】（1）证明，推出四边形是平行四边形，即可得证； （2）证明是等边三角形，三线合一推出，进而得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是菱形， 理由：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 41．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末） 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 42．（2025·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 题型十五 菱形的判定与性质（共3小题） 43．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，E，F分别是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，E、F分别是的中点，得出，，从而判断即可； （2）根据菱形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 44．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，，点P为对角线上任一点，过点P作分别交、于点E、F，过点P作分别交、于点G、H，、交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到，推出，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，,由平行线的性质得到，则，可得到，则，由全等的性质得，则平分,由此可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由外角的性质得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， 又, ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， , ∴， 过点作于点，于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴平分, ∵ ∴． 45．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． （）证明，可得，进而由得到，即可求证； （）连接，由菱形的性质可得，即得，得到，再根据矩形的性质得，，最后利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 题型十六 正方形的判定与性质（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)．证明见解析 【分析】 （1）根据题意补全图形即可； （2）由题意易得，，，，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）过点C作交延长线于点H．则有，由题意易得，然后可得，则有，进而根据勾股定理及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵点B，F是关于直线对称， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． （3）解：，证明如下： 过点C作交延长线于点H． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． 47．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形的边上有一点M，边的延长线上有一点N，且． (1)判断的形状并证明； (2)连接，作的平分线交于E．求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，作于F．则，，之间的数量关系为______． 【答案】(1)为等腰直角三角形；证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，得到，再由即可判断； （2）证明出，由等腰三角形的判定可得结论； （3）过点E作于点G，则，由等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形；理由如下： 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：∵为等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ， ， ． （3）解：， 理由：过点E作于点G， ∵作的平分线交于．， ∴， 在等腰直角三角形中， ， 由四边形是正方形，，， 都是等腰直角三角形， ， ， ． 48．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、． (1)证明：； (2)连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先连接，利用正方形的性质得到边相等、角为直角，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，进而推出 ；最后通过证明 ，由全等三角形对应边相等证得； （）先通过证，得到；再结合等腰三角形性质与平行线的内错角相等，证得；接着利用正方形对角线的对称性，证，推出，进而得到；再通过角度等量代换，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，最后通过等量代换，得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴是直角三角形， ∵是中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 ， 在和 中： ， ∴ ， ∴； （2）解：与的数量关系为： ， 证明如下：连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， 正方形中， ∴， 在和 中： ， ∴ ， ∴， 由()得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是对角线， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和 中： ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，对角线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 题型十七 三角形的中位线定理（共3小题） 49．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 50．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 51．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （）过点作于，利用的长度及，求得各段线段长；结合矩形的性质，根据中位线定理，求出与的长度，进而得到的长；最后在中，通过勾股定理算出的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， . ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：取的中点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理：． 题型十八 中点四边形（共3小题） 52．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 53．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 54．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务． 类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：取的中点，连接，． 因为点、分别是，的中点， 所以，，，．（依据） …… 任务： (1)将材料中的解题过程补充完整． (2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：． (3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______． 【答案】(1)过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)互相平分且相等；50 【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论； （3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解； 【详解】（1）解：取的中点，连接，， 点、分别是，的中点， ，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，， ， ， 在中，由勾股定理得； （2）证明：连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，，，， ，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， ； （3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形， ，是矩形的对角线， 与互相平分且相等， ，， ，， 中，， ， ， ． 题型十九 四边形中的折叠问题（共3小题） 55．（24-25八年级下·北京房山·期中）如图，折叠矩形纸片，先折出折痕（对角线），再折叠使落在对角线上，得到折痕，已知，，则折痕的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．设点落在上点处，连接，先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：如图，设点落在上点处，连接， 四边形是矩形，且，， ，， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ， 故选：B． 56．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为______． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 57．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质、折叠的性质得出，，进而证明，，可得四边形为平行四边形； （2）在中，利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算可得结论． 【详解】（1）证明：如图，分别标记， 在平行四边形中，，， ， ， 由折叠知，，，，， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 解：由（1）得四边形为平行四边形， ， 由折叠知，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，涉及矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 题型二十 四边形中的旋转问题（共3小题） 58．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是．    (1)继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； (2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在的延长线上时，如图3，求证：； 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由菱形的性质得到是等边三角形，再证明即可得出结论； （2）根据菱形的性质可得，，再由，可得，从而可证，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 59．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在矩形中,，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点交于点H． (1)如图(一)，探究出的数量关系为_____． (2)如图(二)，①证明：； ②在(1)的基础上，当时，求证：； (3)深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)的长为或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）通过折叠的性质，平行线的性质得出等腰三角形； （2）①识别出和是八字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． 【详解】（1）解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； （2）证明：①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠性质： ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 60．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45（2）①的度数是定值，；②证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 题型二十一 四边形中的最值问题（共3小题） 61．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)当点满足什么条件时，的值最小？ (2)某同学发现：设，则，则，可以求出当________时，的值最小，且最小值为________； (3)结合（1）（2）问，请利用数形结合、方程思想的数学思想方法求当x为何值时？代数式有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)当点到点的距离为时，的值最小 (2)； (3)当x为时，代数式有最小值，最小值为 【分析】（1）如图，连接交于点C′，当点C与点重合时，的值最小，求出此时的长即可； （2）利用（1）中结论解答即可； （3）构造模型，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵，当点与点重合时取“”， 此时取得最小值，最小值为的长， 过点作交的延长线于点，连接， ∴， 根据题意：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，的值最小，最小值为， 即当点到点的距离为时，的值最小； （2）设，则， ∵，，，， ∴，， ∴， 由（1）知：当时，的值最小，最小值为； 故答案为：；； （3）如图，，，，，，交于点， 设，则， ∴，， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交的延长线于点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， 解得：， ∴当x为时，代数式有最小值，最小值为． 【点睛】本题属于最短路径问题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造模型解决问题，学会用面积法解决问题． 62．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由； （3）当M点在何处时，2AM＋BM的值最小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小；见解析；（3）当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小；见解析． 【分析】（1）根据旋转的性质得BM=BN，∠MBN=60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB； （2）根据M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小进行判断即可； （3）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，由此可得结论． 【详解】（1）证明：∵△ABE是等边三角形 ∴BA＝BE，∠ABE＝60° ∵∠MBN＝60° ∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN 即∠MBA＝∠NBE 又∵MB＝NB ∴△AMB≌△ENB（SAS） （2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小 连接AC，交BD于点O ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC与BD互相垂直平分 ∴AM＝CM ∴当M点落在BD的中点时（与点O重合），A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小即2AM的值最小 （3）解：如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小． 理由如下：连接MN.，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM． 根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN＋MN＋CM取得最小值，最小值为EC． ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小， 即2AM＋BM的值最小 【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题． 63．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)填空：点B的坐标为______，的长为______； (2)求的长及所在直线的解析式； (3)若P为x轴上一动点，请直接写出使最小时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3， (3) 【分析】（1）由矩形求出，得到，然后根据勾股定理求解即可； （2）设，则，勾股定理求出，求出，由待定系数法求出直线的解析式； （3）如图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点E作轴于点F，首先根据对称得到性质得到，然后由得到当点，P，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用等面积法求出，进而得到，然后求出直线所对应的函数表达式为，当时，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点A，C的坐标分别为， ， 四边形是矩形， ， ∴， ； （2）解：由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 设直线所对应的函数表达式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线所对应的函数表达式为； （3）如图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点E作轴于点F 由对称得， ∴ ∴当点，P，E三点共线时，有最小值，即的长度 ∵ ∴ ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴设直线所对应的函数表达式为， ∴ ∴ ∴直线所对应的函数表达式为， ∴当时， ∴ ∴使最小时点P的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键． 题型二十二 特殊平行四边形的存在性问题（共3小题） 64．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． (1)求直线的解析式． (2)是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)存在，或 (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 （3）解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 65．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 66．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，直线的解析式为 (2)点的坐标为，，， 【分析】（1）先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，把点坐标代入直线的函数解析式求出的值； （2）根据题意分析出以，，为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论；利用勾股定理得出对应方程，求出点的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点的坐标． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解． 题型二十三 一元二次方程的解法（共3小题） 67．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得：，； （4）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 68．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 69．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 题型二十四 配方法应用（共3小题） 70．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 71．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 72．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1） （2） （3） （4），理由见详解 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 题型二十五 换元法求一元二次方程（共3小题） 73．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 74．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 75．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段检测）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ，，即或 (1)【引申】已知，则 ． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）先换元，再求出的值，最后求出答案即可； （2）先换元，再求出的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：设， 则原方程可化为：， 即， 解得，， ∵时，，，无解． ∴． 题型二十六 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 76．（25-26九年级下·北京·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且． 77．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时有两个不相等的实根． 【详解】因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 因为关于的一元二次方程有两个不相等实数根， 所以判别式．即 ． 解得 ． 所以的取值范围是且． 78．（25-26九年级上·北京东城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 题型二十七 一元二次方程根与系数的关系（共3小题） 79．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系得到，由此建立关于的方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论k取何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 80．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 81．（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 题型二十八 一元二次方程的实际应用（共3小题） 82．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 83．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为 (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 84．（24-25九年级上·福建宁德·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． (1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； (2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】(1)20，40 (2)不能 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，． 故答案为：20；40； （2）解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 题型二十九 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 85．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”，理由见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程不是“纠缠方程”． 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； （2）证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 86．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 87．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【答案】(1)①不是“密码方程”， 理由见解析；②是“密码方程”，密码数是71，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解二元一次方程组，理解“密码方程”的定义是解题关键． （1）根据“密码方程”的定义求解即可； （2）根据“密码方程”的密码数得到方程的两个根为，代入方程的到关于、二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①解得， 0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2）解：∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得． ，满足“密码方程”的定义 题型三十 数据的分析选填题（共3小题） 88．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）小申将9月份每天的书籍销售量绘制成了箱线图，以下说法正确的是（    ） A．这个月有15天每天销售量在200本以上 B．这个月中销售量最大的一天，销售量大于400本 C．这个月每天的书籍销售量的中位数在200本以下 D．这个月中每天的销售量差异不大 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的应用，从箱线图中得到信息是解题的关键． 根据箱线图得到信息即可求解． 【详解】解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表有这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误； B、由箱线图可得，最大值小于400，故B错误； C、由箱线图可得，中位数小于200，故C正确； D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误， 故选：C． 89．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【答案】丙 【分析】先计算三组数据的平均数，再根据方差公式计算三组数据的方差，比较方差大小，根据方差越小数据波动越小发挥越稳定的性质，得到结论． 【详解】解：，，， ∴，，， ∵， ∴丙同学的方差最小，发挥更稳定． 90．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 【答案】240 【分析】先求出抽取的样本中肺活量等级为良好及以上的频率，再用九年级男生总人数乘该频率，即可估计出对应人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为50，样本中肺活量等级达到良好及以上的人数为（人）， ∴样本中良好及以上人数的频率为， 估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数为：（人）． 题型三十一 数据的分析解答题（共3小题） 91．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 【答案】(1)； (2)B (3)4 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义即可求解； （2）根据方差的定义分析即可； （3）根据B系统的平均数可知A系统和C系统满足条件，进而可知的取值范围，然后即可求解的取值． 【详解】（1）解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， （2）解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 92．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 【答案】(1)频数分布直方图见详解，； (2)； (3)乙； (4)． 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数的计算、用样本估计总体以及平均数的应用，熟练掌握相关统计量的计算方法和直方图的解读是解答本题的关键． （1）①根据频数分布直方图中各组频数之和为，补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图；②根据中位数的定义，先确定中位数所在的组，再结合组内数据计算中位数； （2）先根据乙片区的频数分布直方图，确定“达标监测点”的频数，再用样本估计总体，计算乙片区个监测点中“达标监测点”的数量； （3）结合甲、乙两个片区的中位数，分析固沙量为在两个片区中的排名情况，从而判断所在的片区； （4）先根据乙片区的平均数求出个数据的总和，再根据剔除极值后的平均数求出剩余个数据的总和，最后根据原总和、剔除的最小值和剩余数据总和求出最大值． 【详解】（1）解：①频数分布直方图如图所示， ②共抽取了个监测点，中位数为第个监测点和第个监测点固沙量的平均值， ，， 中位数在这一组，由给出的数据排序得，中位数为， ； （2）解：乙片区抽取的监测点中，“达标监测点”有个， 个， 答：乙片区的个监测点中约有个“达标监测点”； （3）解：甲片区：中位数为，说明有个数据，比小，因此在甲片区的排名在第名之后（即名次靠后）； 乙片区：中位数为，说明有个数据，比大，因此在乙片区的排名在第名之前（即名次靠前）； （4）解：乙片区个数据的平均数为，因此总和为： 剔除一个最大值和一个最小值后，剩余个数据的平均数为，剩余数据总和为：， 根据“原总和剔除的两个数据剩余数据总和”，可得：， 解得：． 93．（25-26八年级下·北京西城·期中）为了调查中学生对冰上运动知识的了解情况，某校对八年级学生进行了相关测试．从中随机抽取40名学生的测试成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．40名学生测试成绩的频数分布表和频数分布直方图如下： 40名学生测试成绩的频数分布表 测试成绩（分） 频数 频率 a 0.05 6 0.15 b c 14 0.35 8 0.20 合计 40 1 b．40名学生测试成绩的数据在这一组的是： 80，82，82，84，85，85，85，86，87，87，88，88，89，89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ， ； (2)补全该校40名学生测试成绩的频数分布直方图； (3)抽取的40名学生测试成绩数据的中位数是_____； (4)已知该所学校八年级学生共计200人，如果测试成绩达到80分及80分以上为优秀，请推断该所学校八年级学生测试成绩达到优秀的约有____人． 【答案】(1)，， (2) (3)82 (4)110 【分析】根据频数直方图得到a和b，频率所在组人数总人数；中位数一定是从小到大进行排列后进行取值，优秀率优秀人数总人数． 【详解】（1）解：根据频数分布直方图可知，，，； （2）解：由（1）得，图略 （3）解：∵， ∴40名同学测试成绩从小到大排列，取第20位和第21位成绩的平均值， 又∵第20位和第21位的测试成绩都为82， ∴中位数为82； （4）解：（人）， ∴该所学校八年级学生测试成绩达到优秀的约有100人． 1．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 2．如图，在矩形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，，；根据折叠的性质得出，；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长；再在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由沿翻折得到， ， ，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得：， 的长为． 3．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 4．骑摩托车，骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程（）与行驶时间（）之间存在函数关系，图象如图所示．给出下面的结论：①甲、乙地相距；②行驶了用了；③比晚出发；④行驶的平均速度为每小时．则上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，轴表示路程，最大值为， 甲、乙两地相距，故①正确； 由图象可知，的图象经过点和， 的速度为（）， 行驶所需时间为（），故②错误； 由图象可知，在时出发，在时出发， 比晚出发，故③错误； 由图象可知，的图象经过点和， 行驶路程为，用时（）， 的平均速度为（），故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 5．已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直线过坐标原点，分别求出直线经过端点和端点时的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ，解得，此时取最大值． 将代入，得 解得，此时取最小值． 直线与线段有公共点， ． 6．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 7．在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 9．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 10．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 11．某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 【答案】(1)14；22；； (2)①17；②A． 【分析】（1）用100减去各组数据即可求得m，根据中位数的定义和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的计算公式计算后再比较即可． 【详解】（1）解： 100个数据的中位数为第和位的平均数， ∵，， ∴100个数据的中位数为， ； （2）解：①， ， ， 解得； ②， ， ∴排序最靠前的是A组． 12．某公园为了提升服务质量，预购进两类功能不同的机器人A，B共40台．两类机器人因为功能不同，因此价格也不相同．其中A种机器人每台6万元，购买B种机器人所需费用（万元）与购买数量（台）之间存在的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)在购买计划中，购买B种机器人的数量不超过25台，但不少于A种机器人的台数，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)； (2)购买B种机器人台，购买A种机器人台，总费用最低，最低费用为万元． 【分析】（1）分段利用待定系数法求解即可； （2）设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元，先根据题意列出不等式组求得，再列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， 设与的函数关系式为， 将代入得，解得， ∴与的函数关系式为； 当时， 设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴与的函数关系式为； 综上，与的函数关系式为； （2）解：设购买B种机器人台，则购买A种机器人台，总费用为元， 根据题意得， 解得， 根据题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值（万元）． ， 此时购买B种机器人台，购买A种机器人台． 13．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线与直线交于点．已知直线与y轴交于点，与x轴交于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上有一点P，且满足的面积是面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)5 (4)和 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别求解即可； （2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （3）先求出的长，再根据求解即可； （4）先求得，即；再分两种情况：当点P在点D下方时，当点P在点D上方时，根据三角形的面积公式、列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，，即； 当时，，即． （2）解：∵直线经过点， ， ， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：∵直线的解析式为． ∴， ∴， ∴， ∴； ①如图，当点P在点D的上方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点P在点D的下方， 设点P的坐标为， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为和． 14．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再利用证明得到，证明，得到，即可证明； （2）如图，延长，交于点，证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：   如图，延长，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由题意可得点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $