衔接点02 因式分解（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

衔接点02 因式分解（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、掌握十字相乘法、求根公式法、分组分解法的基本概念与适用题型，熟记各类因式分解方法的公式与解题步骤。 2、能够准确判断多项式结构，选择合适的分解方法，独立完成二次三项式、四项及以上多项式的因式分解，做到分解彻底、结果规范，熟练掌握因式分解完整解题流程。 1、将三种因式分解方法作为核心代数工具，不再局限于单纯的因式分解计算。 2、能灵活变形、逆向运用公式，结合函数、方程、不等式、集合等知识综合解题，熟练处理含参数、复合型多项式化简问题，适配高中复杂代数运算与题型的解题需求。 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、因式分解计算题、化简求值题、信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、解方程、解不等式、函数解析式化简与最值求解中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 知识点1：提公因式法 （1）若多项式的各项存在公因式，可将公因式提取出来，把多项式转化为几个因式相乘的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （2）概念内涵：①因式分解的最终结果必须是因式乘积的形式； ②公因式既可以是单项式，也可以是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法分配律：。 知识点1：公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。公式： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 公式：， 形如、的式子，称为完全平方式。 知识点3：十字相乘法 十字相乘法主要用于对二次三项式分解因式，分为二次项系数为1和不为1两种类型。 1．二次项系数为的二次三项式 形式： 式子特征：①二次项系数为；②常数项可拆分为两个实数的乘积；③一次项系数恰好等于常数项拆分出的两个因数之和。 分解公式： 若，且，则 利用该公式，即可完成此类二次三项式的因式分解。 2．二次项系数不为的二次三项式 形式： 分解思路： ①将二次项系数拆分为两个因数之积：， ②将常数项拆分为两个因数之积：。 ③借助十字交叉线验证：交叉相乘后求和，即，若结果等于一次项系数，则分解成立。 最终分解结果： 注意：系数的拆分组合有多种可能，往往需要多次尝试，才能完成分解。 知识点4：求根公式法 该方法依托一元二次方程求根公式，适用于各类二次三项式的因式分解。 对于二次三项式，先求解对应的一元二次方程： 若方程存在两个实数根，则二次三项式可分解为：，其中 ． 知识点5：分组分解法 对于项数≥4的多项式，当式子无公因式、也无法直接套用乘法公式分解时，可使用分组分解法。 核心思路：把多项式合理分组，使分组后每组可提公因式或套用公式分解，组与组之间再继续整体分解。 知识点6：因式分解通用解题步骤 （1）提公因式：观察多项式各项，若存在公因式，优先提取公因式； （2）套用公式：无公因式时，尝试使用平方差、完全平方等乘法公式分解； （3）选用特殊方法：上述方法无法分解时，根据多项式形式，选择十字相乘法、分组分解法等继续分解； （4）检查收尾：分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，保证分解彻底。 2、高中相关知识 知识点1：乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 知识点2：因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 题型01 提取公因式 【解题技巧】 ①找公因式三步走：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或多项式因式），最后取相同字母的最低次幂，组合得到整体公因式。 ②符号处理：若多项式首项为负，先提取负号，括号内各项统一变号。 ③整体看待：出现相同多项式整体时，将其当作单个字母提取，不拆开计算。 ④收尾要求：提取公因式后，括号内不再含有公因式，且项数与原式保持一致，避免漏项。 【例1】若，则的值为______． 【例2】若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【变式1-1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】把下列各式分解因式： (1) (2)． 【变式1-3】先化简，再求代数式的值，其中． 题型02 公式法 【解题技巧】 ①先判结构：二项式优先考虑平方差公式，要求两项均为平方形式、符号一正一负；二次三项式优先考虑完全平方公式。 ②套用公式：灵活看待公式里的，二者可以是数字、单项式，也可以是多项式，整体代入变形。 ③分步分解：多项式有公因式时，先提公因式，再套用公式。 ④检查彻底性：分解后若仍能继续套用公式，需再次分解，直至无法再分解。 【例3】下列能用平方差公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【例4】=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【变式2-2】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027 C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028 题型03 二次项系数为1的二次三项式（十字相乘法） 【解题技巧】 标准形式： ①拆分常数项：把常数项拆分为两个数的乘积，即。 ②验证一次项：筛选出满足的一组因数。 ③直接写结果：确定因数后，直接写成的形式。 符号技巧：为正，两因数同号，符号与一次项系数一致；为负，两因数异号，绝对值大的因数符号跟随一次项系数。 【例5】若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【例6】已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 【变式3-1】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2023 题型04 二次项系数不为1的二次三项式（十字相乘法） 【解题技巧】 标准形式： ①双向拆分：将二次项系数拆为，常数项拆为。 ②十字交叉验算：画十字交叉线，计算，结果等于一次项系数才算拆分成功。 ③多次尝试：系数拆分组合较多，有序试算，避免重复或遗漏。 ④书写结果：按十字分行形式，写成。 【例7】将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例8】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【变式4-1】因式分解：． 【变式4-2】若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．13 【变式4-3】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 题型05 求十字相乘法的系数 【例9】若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【例10】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-1】设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式5-2】若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【变式5-3】已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 题型06 分组分解法 【解题技巧】 分组原则：四项多项式常用“二二分组”；五项、六项多项式可采用“三二分组”，保证分组后能提公因式或用公式。 ①先预判：原式无公因式、无法直接用公式时，再使用分组分解。 ②组间再分解：每组分解完成后，观察各组是否出现新的公因式，整体再次提取。 ③灵活调整：一种分组方式行不通时，立刻更换分组思路。 【例11】分解因式：（     ） A． B． C． D． 【例12】对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 【变式6-1】分解因式：___________． 【变式6-2】分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【变式6-3】因式分解：． 题型07 因式分解的应用 【解题技巧】 ①化简求值：先对代数式因式分解、整体约分，再代入数值计算，不直接硬算。 ②比较大小：将两式作差，对差值因式分解，根据因式符号判断大小关系。 ③解方程：一元二次、高次方程优先因式分解，转化为多个一次式乘积为0的形式求解。 ④判断整除：对多项式因式分解，证明式子中包含指定整数因式，以此证明整除性。 【例13】若多项式，则的值为________． 【例14】已知，， (1)直接写答案：________；________；________． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值： 【变式7-1】已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【变式7-2】如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 【变式7-3】小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 1．若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 5．分解因式：____________． 6．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 7．已知算式“”． (1)当时，计算该算式的结果； (2)若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果． 8．数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 9．某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 10．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk．com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点02 因式分解（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、掌握十字相乘法、求根公式法、分组分解法的基本概念与适用题型，熟记各类因式分解方法的公式与解题步骤。 2、能够准确判断多项式结构，选择合适的分解方法，独立完成二次三项式、四项及以上多项式的因式分解，做到分解彻底、结果规范，熟练掌握因式分解完整解题流程。 1、将三种因式分解方法作为核心代数工具，不再局限于单纯的因式分解计算。 2、能灵活变形、逆向运用公式，结合函数、方程、不等式、集合等知识综合解题，熟练处理含参数、复合型多项式化简问题，适配高中复杂代数运算与题型的解题需求。 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、因式分解计算题、化简求值题、信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、解方程、解不等式、函数解析式化简与最值求解中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 知识点1：提公因式法 （1）若多项式的各项存在公因式，可将公因式提取出来，把多项式转化为几个因式相乘的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （2）概念内涵：①因式分解的最终结果必须是因式乘积的形式； ②公因式既可以是单项式，也可以是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法分配律：。 知识点1：公式法 （1）平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。公式： （2）完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 公式：， 形如、的式子，称为完全平方式。 知识点3：十字相乘法 十字相乘法主要用于对二次三项式分解因式，分为二次项系数为1和不为1两种类型。 1．二次项系数为的二次三项式 形式： 式子特征：①二次项系数为；②常数项可拆分为两个实数的乘积；③一次项系数恰好等于常数项拆分出的两个因数之和。 分解公式： 若，且，则 利用该公式，即可完成此类二次三项式的因式分解。 2．二次项系数不为的二次三项式 形式： 分解思路： ①将二次项系数拆分为两个因数之积：， ②将常数项拆分为两个因数之积：。 ③借助十字交叉线验证：交叉相乘后求和，即，若结果等于一次项系数，则分解成立。 最终分解结果： 注意：系数的拆分组合有多种可能，往往需要多次尝试，才能完成分解。 知识点4：求根公式法 该方法依托一元二次方程求根公式，适用于各类二次三项式的因式分解。 对于二次三项式，先求解对应的一元二次方程： 若方程存在两个实数根，则二次三项式可分解为：，其中 ． 知识点5：分组分解法 对于项数≥4的多项式，当式子无公因式、也无法直接套用乘法公式分解时，可使用分组分解法。 核心思路：把多项式合理分组，使分组后每组可提公因式或套用公式分解，组与组之间再继续整体分解。 知识点6：因式分解通用解题步骤 （1）提公因式：观察多项式各项，若存在公因式，优先提取公因式； （2）套用公式：无公因式时，尝试使用平方差、完全平方等乘法公式分解； （3）选用特殊方法：上述方法无法分解时，根据多项式形式，选择十字相乘法、分组分解法等继续分解； （4）检查收尾：分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，保证分解彻底。 2、高中相关知识 知识点1：乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 知识点2：因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 题型01 提取公因式 【解题技巧】 ①找公因式三步走：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或多项式因式），最后取相同字母的最低次幂，组合得到整体公因式。 ②符号处理：若多项式首项为负，先提取负号，括号内各项统一变号。 ③整体看待：出现相同多项式整体时，将其当作单个字母提取，不拆开计算。 ④收尾要求：提取公因式后，括号内不再含有公因式，且项数与原式保持一致，避免漏项。 \【例1】若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【例2】若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【答案】B 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 【变式1-1】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴提取的公因式是． 【变式1-2】把下列各式分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-3】先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式 题型02 公式法 【解题技巧】 ①先判结构：二项式优先考虑平方差公式，要求两项均为平方形式、符号一正一负；二次三项式优先考虑完全平方公式。 ②套用公式：灵活看待公式里的，二者可以是数字、单项式，也可以是多项式，整体代入变形。 ③分步分解：多项式有公因式时，先提公因式，再套用公式。 ④检查彻底性：分解后若仍能继续套用公式，需再次分解，直至无法再分解。 【例3】下列能用平方差公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解A、是三项，不符合结构要求，不能用平方差公式分解； B、是三项，不是两个平方项的差，不能用平方差公式分解； C、是三项，不符合平方差公式的结构要求，不能用平方差公式分解； D、是与的平方的差，符合平方差公式的结构，能用平方差公式分解． 【例4】=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 【变式2-1】若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 【变式2-2】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 【变式2-3】小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2024，2025，2026 B．2025，2026，2027 C．2023，2024，2025 D．2026，2027，2028 【答案】B 【详解】解： ， 故的计算结果能被2025，2026，2027整除． 题型03 二次项系数为1的二次三项式（十字相乘法） 【解题技巧】 标准形式： ①拆分常数项：把常数项拆分为两个数的乘积，即。 ②验证一次项：筛选出满足的一组因数。 ③直接写结果：确定因数后，直接写成的形式。 符号技巧：为正，两因数同号，符号与一次项系数一致；为负，两因数异号，绝对值大的因数符号跟随一次项系数。 【例5】若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 【例6】已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 【答案】D 【分析】 【详解】解：由题意得， ， ∴或， 解得， ∵， ∴或， 故选D． 【变式3-1】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 【变式3-2】将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D． 【变式3-3】多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2023 【答案】B 【详解】解：， 又多项式可因式分解成， ，或，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 题型04 二次项系数不为1的二次三项式（十字相乘法） 【解题技巧】 标准形式： ①双向拆分：将二次项系数拆为，常数项拆为。 ②十字交叉验算：画十字交叉线，计算，结果等于一次项系数才算拆分成功。 ③多次尝试：系数拆分组合较多，有序试算，避免重复或遗漏。 ④书写结果：按十字分行形式，写成。 【例7】将分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴可设（其中a、b为整数） ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 【例8】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式， 由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为 故选：A 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 【变式4-1】因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式4-2】若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．13 【答案】B 【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c）， 所以a=4，b=5，c=-3， 所以a-c=4-（-3）=7， 故选：B． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键． 【变式4-3】以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 题型05 求十字相乘法的系数 【例9】若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 【例10】若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 【变式5-1】设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 【变式5-2】若分解因式则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】D 【详解】解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5-3】已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 题型06 分组分解法 【解题技巧】 分组原则：四项多项式常用“二二分组”；五项、六项多项式可采用“三二分组”，保证分组后能提公因式或用公式。 ①先预判：原式无公因式、无法直接用公式时，再使用分组分解。 ②组间再分解：每组分解完成后，观察各组是否出现新的公因式，整体再次提取。 ③灵活调整：一种分组方式行不通时，立刻更换分组思路。 【例11】分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【例12】对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】 【详解】（1）解：由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴ ． ∵为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 【变式6-1】分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-2】分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式6-3】因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型07 因式分解的应用 【解题技巧】 ①化简求值：先对代数式因式分解、整体约分，再代入数值计算，不直接硬算。 ②比较大小：将两式作差，对差值因式分解，根据因式符号判断大小关系。 ③解方程：一元二次、高次方程优先因式分解，转化为多个一次式乘积为0的形式求解。 ④判断整除：对多项式因式分解，证明式子中包含指定整数因式，以此证明整除性。 【例13】若多项式，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由完全平方公式可得， ∵任意有理数的平方都是非负数，即，， ∴，， 解得，， ∴． 【例14】已知，， (1)直接写答案：________；________；________． (2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值： 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解： 把代入得， 原式 ． 【变式7-1】已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 【变式7-2】如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意，“双数”的最佳拆分点为，故； “双数”的最佳拆分点为，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于p和q均为正整数，故和均为整数，且， 两者同时为奇数或同时为偶数， 因子对可能为或或； 只有同为偶数， ∴， 解得， ∴． 【变式7-3】小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 1．若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：对分子分母因式分解：，， ∵分式有意义要求分母不为， ∴，得且， 对原式约分变形：， 为整数，上式结果也为整数， 为整数，即是的整数约数，的所有整数约数为， 分别计算对应的值： ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，不满足分式有意义，舍去； ，符合要求． 综上，符合条件的共有个． 2．已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵ ，且， ∴两边同乘，得 展开整理得 因式分解得 ，即 ∵ ， ∴ ，可得 ∴ ∴ 将代入 得 ∵ ， ∴ ，即 ． 3．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 4．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 5．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：原式． 6．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 【答案】 【详解】解：由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 7．已知算式“”． (1)当时，计算该算式的结果； (2)若将算式中的数字“”改为“”，求此时代数式因式分解的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：根据题意， ． 8．数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）习题1：第二步出现错误，应为，习题2：第一步提出负号出现错误，应为； （2）选择习题1写出正确解答过程： ； 若选择习题2，正确解答过程如下： ． 9．某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 【答案】(1)，3264 (2)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据前3组的规律可知； （2）解：由题意，这两个两位数为，， 用含a，b的等式表示上述规律为． 证明：左边 右边， 故规律成立． 10．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： (1)请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 (2)小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数， 故空格处填（或）． （2）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk．com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $