2025-2026学年初升高衔接-公式+因式分解+韦达定理讲义

初高衔接1：数与式强化 知识梳理 1． 常用公式及应用 1、初中知识再现 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）高频变形方式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2、高中相关知识 （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）两数和立方公式： 推导过程： （4）两数差立方公式： 推导过程： （5）三数和平方公式： 推导过程： 典例剖析 【考点一 必会乘法公式】 【题型一 平方差、完全平方】 1.计算化简 （1） （2） （3）． 2.若，，则的值为______； 【变式】已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 3.已知，则的值为 ． 【变式】已知，则等于________ （二重根式的化简） ，要化简，则 4.化简：（1） （2） （3） 【题型二 三项平方和、立方差、立方和】 （三项平方和） 5．计算：（1） （2）； 6．已知，，则________ 【变式】已知实数满足a,b,c满足求的值 7．已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． （立方和、立方差） 8．已知，求下列各式的值： （1） （2） （3） 【变式】 9．已知，求的值． 【变式】设，，求的值. 10．已知，求 【变式】已知：，求下列各式的值： （1）；    （2）． 知识梳理 2． 因式分解的常用方法 1、公式法 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）立方和公式： （4）立方差公式： 2、十字相乘法 （1）型的因式分解 特征：① 二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. （2）一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 3、分组分解法 对于四项以上的多项式，如可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 典例剖析 【考点二 因式分解】 【题型一 因式分解】 （公式法） 11．（1） （2） (3). (4) (5)． （十字相乘法） 12． 因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 13．因式分解 （1） （2） （3） （2020新高考） （分组分解法） 14．（1） （2） 【题型二 高次方程的解法】 15． 解方程： （1） （2） （3） （4） （5） 知识梳理 三、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式：. (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 四、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . （前提是．） 典例剖析 【考点三 根的判别式与韦达定理】 16．已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 17． 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 【变式】（24-25高一上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 18．（1）已知实数满足：，，且，求的取值范围； （2）设实数分别满足，，且，求的值． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$