衔接点03 一元二次方程与系数的关系（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

衔接点03 一元二次方程与系数的关系（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、理解根的判别式的含义，能依据判别式的取值，准确判断一元二次方程实数根的情况，同时会借助判别式求解简单参数范围。 2、熟记韦达定理的计算公式，在方程有实数根的前提下，利用根与系数的关系完成基础代数式求值、简单计算类题目。 1、熟练把判别式、韦达定理当作通用解题工具，不再局限于一元二次方程本身，学会结合二次函数、不等式等知识分析问题。 2、灵活对公式进行变形拓展，应对含参数题型与多知识点融合的综合题型，满足复杂代数运算与分类讨论的解题要求。 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、计算题、代数式求值题、信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、函数分析、参数讨论、解析几何计算中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 一元二次方程根的判别式 对于标准形式的一元二次方程：，通过配方法可将方程变形为： 我们定义根的判别式：，根据的取值，可直接判断方程实数根的个数： 1.当时，方程有两个不相等的实数根： 2.当时，方程有两个相等的实数根（也称重根）： 3.当时，方程没有实数根。 补充说明：判别式仅适用于一元二次方程，使用前提为二次项系数。 2、高中相关知识 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 设一元二次方程的两个实数根为，由求根公式： 对两根做求和、求积运算，可得到根与系数的对应关系： 注意： 1.该结论由数学家韦达发现，因此被称作韦达定理； 2.定理成立的必要前提：方程必须有实数根，即； 3.应用场景：不解方程，便可快速判断两根之和、两根之积，也可用于求含两根的代数式的值、构造一元二次方程、确定方程中参数取值等。 题型01 利用根的判别式判断一元二次方程根的个数 【解题技巧】 1.先把方程整理为标准形式，确定系数。 2.代入公式计算判别式。 3.根据取值判断：有两个不相等实数根；有两个相等实数根；无实数根。 4.注意：若二次项系数含字母，需先保证，再判断根的情况。 【例1】一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【例2】关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（     ） A．方程必定有两个不相等的实数根 B．若方程有解，则两个解必定异号 C．若，则两根之和为 D．若方程有解，则两个解的和为负数 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， A：计算判别式判断根的个数： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，A选项说法正确； B：判断两根符号： 两根之积为， ∴两根必定异号，B选项说法正确； C： 两根之和为，当时，两根之和为，C选项说法正确； D： 两根之和为，当时，，此时两根之和为正数， 因此“若方程有解，则两个解的和为负数”不成立，D选项说法错误． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1-2】已知关于x的方程，则下列说法正确的是（     ） A．当时，方程没有实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【答案】C 【详解】解：∵原方程可化为， ∴，方程根的情况与m的值有关，故D选项错误； 当时，即时，方程没有实数根，故A选项错误； 当时，即时，方程有两个相等的实数根，故B选项错误； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，方程有两个不相等的实数根，故C选项正确． 【变式1-3】已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 【答案】C 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 题型02 根据根的个数求参数 【解题技巧】 1.统一写成一元二次方程标准形式，明确。 2.根据题目给出的根的数量，列出对应不等关系或等式：有两个实数根则，有两个不等实数根则，有两个相等实数根则。 3.结合二次项系数不为0这一前提，联立不等式（组）求解参数。 4.求出结果后检验，排除使原式不是一元二次方程的取值。 【例3】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根． ∴ ． 解得 ． 选项D： ，符合条件． 【例4】在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【详解】解：联立可得， ∵直线与反比例函数的图象有两个公共点， ∴，， 解得：且， ∴实数的取值范围是且． 【变式2-1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得， 整理得， 解得， 综上，的取值范围为且． 【变式2-2】对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 可得关于的方程为， 整理为标准一元二次方程形式得， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 【变式2-3】关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得：； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴ 解得：； 的取值范围是． 题型03 解一元二次方程 【解题技巧】 1.优先观察方程形式，简单方程选用直接开平方法、因式分解法，提升解题速度。 2.无法因式分解时，使用公式法：先计算，时代入求根公式求解。 3.复杂二次三项式可选用配方法，配方过程注意等式左右两边同步变形。 4.方程有两个相等实数根时，只需写出一个根即可。 【例5】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 移项得 配方得 整理得 开方得 解得 ， （2）解： 移项整理得 提取公因式得 则或 解得， 【例6】已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 【变式3-1】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 【变式3-2】解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴两边都加得：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 【变式3-3】用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 解得，． 题型04 利用韦达定理求参数 【解题技巧】 1.明确方程两根，套用韦达定理：，。 2.根据题干给出的两根和、两根积等条件，列出关于参数的方程并求解。 3.必做检验：将参数代回原方程，验证，舍去使方程无实数根的解。 【例7】关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 【答案】10 【详解】解：∵ ，其中 ，，， ∴ ，， ∵ ，即 ， ∴， ∴ ． 【例8】已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【答案】C 【详解】解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 【变式4-1】设、是方程的两个根，且，则的值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【答案】1 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根分别为． 由根与系数的关系可得 ． ∵方程的两个根互为倒数， ∴，即． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 题型05 利用韦达定理求对称式的值 【解题技巧】 1.不单独求解方程的根，整体使用与进行代换。 2.熟记常用对称式变形：，。 3.先对所求代数式化简、变形，再整体代入韦达定理结果计算。 【例9】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 【例10】已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 【变式5-1】设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． 【变式5-2】如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：， 则有， ∴， ∴电路中的总电阻为， ∴． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 题型06 根的判别式与韦达定理的综合 【解题技巧】 1.解题第一步：先用判别式确定参数的取值范围，保证方程存在实数根。 2.第二步：结合韦达定理，表示出两根之和、两根之积。 3.第三步：根据题目条件对代数式变形、列式，结合参数范围求解或证明。 4.涉及取值、存在性问题时，全程紧扣的限制条件，最后统一检验结果。 【例11】关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根 ∴根据根与系数的关系可得， 又∵ 将 代入，得， 解得， 将 代入，得 ， ∴，即， 整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 【例12】关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则， ∵ 是一元二次方程， ∴， ∴方程 也有两个不相等的实数根，①正确． ②∵是 的根， ∴， 两边同除以 （），整理得： ，即 ， ∴ 满足， ∴ 是该方程的根，②正确． ③根据韦达定理，一元二次方程 的两根之积为 ，若两根之积为 ，则： ，即，故 ③正确． 综上，三个说法都正确，因此正确的个数是 ． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． (2)或． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【变式6-2】对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 【变式6-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 1．已知方程的一根为，则方程的另一根为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 又方程有两个不相等的实数根， 根的判别式，即， 解得， 综上，的取值范围为且． 3．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 4．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当时， 方程为， 解得：， 方程有一个实数根； 当时， 整理可得：， 关于的方程有实数根， ， 解得：； 综上所述，当时，方程有实数根． 5．两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：，满足，， ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， ． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴ 且， 解得且； ∵m，n分别为关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴； ∵， ∴ ， 解得， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 7．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 8．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 9．一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 【答案】，， 【详解】将代入方程左边 ，得 ， 因此是原方程的一个根. 设原方程可写为 ，展开得： 对比原方程 的系数， 根据多项式相等对应系数相等，可得， 解得， 因此原方程可化为 ， 可得或， 解得， 对于一元二次方程，判别式 ，由求根公式得：， 综上，方程的所有根为，，. 10．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 11．为实数，关于的方程为． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）证明：整理原方程得 当时，方程化为，解得，方程有实数根； 当时，计算根的判别式得：，方程有两个实数根； ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：整理原方程得 方程有两根，因此， 对方程因式分解得： 解得， ∵两根均不大于，且满足条件， ∴只需． 当时，，不等式成立，符合条件； 当时，不等式两边同乘得，即； 综上，的取值范围是或． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点03 一元二次方程与系数的关系（初高衔接点） 初中视角 高中展望 1、理解根的判别式的含义，能依据判别式的取值，准确判断一元二次方程实数根的情况，同时会借助判别式求解简单参数范围。 2、熟记韦达定理的计算公式，在方程有实数根的前提下，利用根与系数的关系完成基础代数式求值、简单计算类题目。 1、熟练把判别式、韦达定理当作通用解题工具，不再局限于一元二次方程本身，学会结合二次函数、不等式等知识分析问题。 2、灵活对公式进行变形拓展，应对含参数题型与多知识点融合的综合题型，满足复杂代数运算与分类讨论的解题要求。 衔接引导 初中阶段考查形式：选填题、计算题、代数式求值题、信息题阅读并运用。 高中阶段考查形式：作为数学工具在代数运算、函数分析、参数讨论、解析几何计算中灵活应用。 考点阐释 1、初中知识再现 一元二次方程根的判别式 对于标准形式的一元二次方程：，通过配方法可将方程变形为： 我们定义根的判别式：，根据的取值，可直接判断方程实数根的个数： 1.当时，方程有两个不相等的实数根： 2.当时，方程有两个相等的实数根（也称重根）： 3.当时，方程没有实数根。 补充说明：判别式仅适用于一元二次方程，使用前提为二次项系数。 2、高中相关知识 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 设一元二次方程的两个实数根为，由求根公式： 对两根做求和、求积运算，可得到根与系数的对应关系： 注意： 1.该结论由数学家韦达发现，因此被称作韦达定理； 2.定理成立的必要前提：方程必须有实数根，即； 3.应用场景：不解方程，便可快速判断两根之和、两根之积，也可用于求含两根的代数式的值、构造一元二次方程、确定方程中参数取值等。 题型01 利用根的判别式判断一元二次方程根的个数 【解题技巧】 1.先把方程整理为标准形式，确定系数。 2.代入公式计算判别式。 3.根据取值判断：有两个不相等实数根；有两个相等实数根；无实数根。 4.注意：若二次项系数含字母，需先保证，再判断根的情况。 【例1】一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例2】关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（     ） A．方程必定有两个不相等的实数根 B．若方程有解，则两个解必定异号 C．若，则两根之和为 D．若方程有解，则两个解的和为负数 【变式1-1】已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式1-2】已知关于x的方程，则下列说法正确的是（     ） A．当时，方程没有实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【变式1-3】已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 题型02 根据根的个数求参数 【解题技巧】 1.统一写成一元二次方程标准形式，明确。 2.根据题目给出的根的数量，列出对应不等关系或等式：有两个实数根则，有两个不等实数根则，有两个相等实数根则。 3.结合二次项系数不为0这一前提，联立不等式（组）求解参数。 4.求出结果后检验，排除使原式不是一元二次方程的取值。 【例3】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D． 【例4】在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【变式2-1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【变式2-2】对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【变式2-3】关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 解一元二次方程 【解题技巧】 1.优先观察方程形式，简单方程选用直接开平方法、因式分解法，提升解题速度。 2.无法因式分解时，使用公式法：先计算，时代入求根公式求解。 3.复杂二次三项式可选用配方法，配方过程注意等式左右两边同步变形。 4.方程有两个相等实数根时，只需写出一个根即可。 【例5】解方程： (1)； (2)． 【例6】已知实数满足，则代数式的值是____． 【变式3-1】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【变式3-2】解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式3-3】用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 题型04 利用韦达定理求参数 【解题技巧】 1.明确方程两根，套用韦达定理：，。 2.根据题干给出的两根和、两根积等条件，列出关于参数的方程并求解。 3.必做检验：将参数代回原方程，验证，舍去使方程无实数根的解。 【例7】关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 【例8】已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【变式4-1】设、是方程的两个根，且，则的值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程的两个根互为倒数，则____________ 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 题型05 利用韦达定理求对称式的值 【解题技巧】 1.不单独求解方程的根，整体使用与进行代换。 2.熟记常用对称式变形：，。 3.先对所求代数式化简、变形，再整体代入韦达定理结果计算。 【例9】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【例10】已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【变式5-1】设，是方程的两个根，则的值为______． 【变式5-2】如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 题型06 根的判别式与韦达定理的综合 【解题技巧】 1.解题第一步：先用判别式确定参数的取值范围，保证方程存在实数根。 2.第二步：结合韦达定理，表示出两根之和、两根之积。 3.第三步：根据题目条件对代数式变形、列式，结合参数范围求解或证明。 4.涉及取值、存在性问题时，全程紧扣的限制条件，最后统一检验结果。 【例11】关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【例12】关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式6-2】对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【变式6-3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 1．已知方程的一根为，则方程的另一根为（     ） A． B． C． D．3 2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 3．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 5．两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根，分别为m，n，且，则a的取值范围为______． 7．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 8．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 9．一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 10．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 11．为实数，关于的方程为． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 23 / 24 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