1.2 集合间的关系讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

1.2 集合间的关系 知识梳理 一．Venn图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 注意：①表示集合的Venn图一定是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线 ②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 二．集合间的基本关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集.  记法与读法 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). 图示 性质 ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 2．真子集 定义 若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记法与读法 记作：AB(或)  读作：真包含于(或真包含)  图示 性质 ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC ③若AB，且A≠B，则AB 【注】符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 3．集合的子集、真子集个数 （结论）若集合A中含有n个元素，则： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 【拓展】 对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n). 若B⊆C⊆A，则C的个数为； 若B⊆CA，则C的个数为； 若BC⊆A，则C的个数为； 若BCA，则C的个数为.　 【考点一 集合间的关系的判断】典例剖析 【题型 集合间关系的判断】 【总结归纳】判断集合间关系的方法 1.列举法：用列举法将两个集合表示出来，再比较两集合中的元素，从而判断两集合间的关系． 2.元素特征法：先确定集合的元素是什么，再根据集合中元素满足的性质特征判断两集合间的关系． 3.图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 1．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【变式】已知全集，则正确表示集合和关系的维恩图是（   ） A．B．C． D． 2．若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式】已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【考点二 集合的子集、真子集】 【题型一 求有限集合的子集】 4．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有子集. 【变式】写出集合的所有真子集. 【题型二 有限集合子集（真子集）的个数的确定】 【总结归纳】确定集合子集个数的方法 1.列举法：用列举法将集合的子集一一列举出来，注意再列举时，按照子集所含的元素个数进行分类列举，以做到不重不漏 2.结论：含n个的元素的集合，其子集个数可按照结论直接求解，注意套用结论前要先找准集合有几个元素 5．已知集合，则集合A的真子集有 个． 6．集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【变式】满足条件的集合的个数为 . 【题型三 根据子集（真子集）的个数求参数】 7．若集合，根据下列条件，求k的取值范围. (1)有且仅有一个子集 (2)有且仅有两个子集 (3)有且仅有三个真子集 【变式】已知集合，若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围 . 8．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 三．空集知识梳理 1．空集的含义 2．空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 3．易混：0，{0}，∅，{∅}的关系 与0 与{0} 与{} 相同点 都表示“没有”的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； {}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉ {0} {}或∈{} 【考点三 空集】典例剖析 【题型一 空集的概念及判断】 9．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 10．下列关系判断正确的有 个： (1)； (2)； (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【题型二 根据空集的性质求参数】 【总结归纳】根据空集的性质求参数 1.根本：空集指没有元素的集合 2.常考类型： 方程型 → 空集意味着方程无解 不等式型 → 空集意味着等式无解 11．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】已知：集合，，若，求实数a的取值范围； 12．设集合，求实数的取值范围 ； 【变式】若，则m的取值范围为 ． 【考点四 根据集合间的关系求参数】 【归纳总结】根据集合的包含关系求参数的思路步骤 1.化简所给集合 2.用列举法或数轴表示所给集合 ①当集合为不连续数集（如：方程的解），常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,注意分类讨论． ②当集合为连续数集（如：不等式解集），常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 3.根据集合关系列式，列出不等式解集端点之间的关系 【易错点】①讨论是否有“空集”（一般，“小的”有可能是空集） ②方程（函数）型：注意讨论一次or二次项系数是否为0 ③画数轴：取等的判断 4.解不等式（组） （不连续数集：元素对等型、方程型） 13．设集合，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【变式】已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． （连续数集：不等式型） 15．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】已知集合． (1)若⫋，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的关系 知识梳理 一．Venn图 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。 注意：①表示集合的Venn图一定是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线 ②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。 二．集合间的基本关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集.  记法与读法 记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). 图示 性质 ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 2．真子集 定义 若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记法与读法 记作：AB(或)  读作：真包含于(或真包含)  图示 性质 ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC ③若AB，且A≠B，则AB 【注】符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 3．集合的子集、真子集个数 （结论）若集合A中含有n个元素，则： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的非空子集的个数有2n－1个 (3)A的真子集的个数为2n－1个； (4)A的非空真子集的个数为2n－2个． 具体示例如下: 集合A 所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 {a} ，{a} 2＝21 1 0 {a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4＝22 3 2 {a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8＝23 7 6 A＝{a1，a2，…，an} 2n 2n－1 2n－2 【拓展】 对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m<n). 若B⊆C⊆A，则C的个数为； 若B⊆CA，则C的个数为； 若BC⊆A，则C的个数为； 若BCA，则C的个数为.　 【考点一 集合间的关系的判断】典例剖析 【题型 集合间关系的判断】 【总结归纳】判断集合间关系的方法 1.列举法：用列举法将两个集合表示出来，再比较两集合中的元素，从而判断两集合间的关系． 2.元素特征法：先确定集合的元素是什么，再根据集合中元素满足的性质特征判断两集合间的关系． 3.图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍. 1．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【来源】02 限时小练2 集合间的基本关系 高中数学必修第一册�RA 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 【变式】已知全集，则正确表示集合和关系的维恩图是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【来源】上海市延安中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷 【分析】运用两集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，而 所以， 故选:C. 2．若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北省石家庄精英中学2024-2025学年高一上学期第一次调研考试数学试卷 【分析】先求出集合，再结合集合间包含关系的定义判断 【详解】解：集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以． 故选：B． 3．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷（1） 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 【变式】已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【考点二 集合的子集、真子集】 【题型一 求有限集合的子集】 4．已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【来源】四川省仁寿县铧强中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，，. 【变式】写出集合的所有真子集 . 【答案】，，，，，， 【来源】河北省尚义县第一中学等校2023-2024学年高二上学期10月阶段测试数学试题 【分析】先求解集合，再写出真子集即可. 【详解】， 其所有真子集有，，，，，，. 故答案为： ，，，，，，. 【题型二 有限集合子集（真子集）的个数的确定】 【总结归纳】确定集合子集个数的方法 1.列举法：用列举法将集合的子集一一列举出来，注意再列举时，按照子集所含的元素个数进行分类列举，以做到不重不漏 2.结论：含n个的元素的集合，其子集个数可按照结论直接求解，注意套用结论前要先找准集合有几个元素 5．已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【来源】第一章 集合（单元重点综合测试）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册） 【分析】利用列举法求出集合A，再利用含有个元素的集合的真子集个数公式计算即可. 【详解】集合，所以集合A的真子集个数是. 故答案为：15 6．集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【来源】湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 【变式】满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【来源】山西省平遥中学校2024-2025学年高一上学期阶段性考试（9月）数学试题 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 【题型三 根据子集（真子集）的个数求参数】 7．若集合，根据下列条件，求k的取值范围. (1)有且仅有一个子集 (2)有且仅有两个子集 (3)有且仅有三个真子集 【答案】(1) (2)或 (3)或 【来源】1.2集合间的基本关系（导学案）-【上好课】 【分析】由子集的个数确定集合中元素的个数，结合一元二次方程根的个数与、、的关系列式即可求得结果. 【详解】（1）因为集合A有且仅有一个子集， 所以，即方程无根， 所以，解得. 故当集合A有且仅有一个子集时，. （2）因为集合A有且仅有两个子集， 所以集合A中有且只有1个元素，即方程有且只有一个根， 所以，解得或. 故当集合A有且仅有两个子集时，或. （3）因为集合A有且仅有三个真子集， 所以集合A中有且只有2个元素，即方程有两个不等的实根， 所以，解得或. 故当集合A有且仅有三个真子集时，或. 【变式】已知集合，若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围 . 【答案】 【来源】北京市延庆区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 【分析】将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 8．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【来源】02 题组2 由集合间的关系求参数范围问题 高中数学必修第一册�RA�巅峰版 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 三．空集知识梳理 1．空集的含义 2．空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 3．易混：0，{0}，∅，{∅}的关系 与0 与{0} 与{} 相同点 都表示“没有”的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； {}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉ {0} {}或∈{} 【考点三 空集】典例剖析 【题型一 空集的概念及判断】 9．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【来源】训练3集合间的基本关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019） 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 10．下列关系判断正确的有 个： (1)； (2)； (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】6个 【来源】第2节 集合间的基本关系-【创新教程】2025年初升高数学衔接教材一本通 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 【题型二 根据空集的性质求参数】 【总结归纳】根据空集的性质求参数 1.根本：空集指没有元素的集合 2.常考类型： 方程型 → 空集意味着方程无解 不等式型 → 空集意味着等式无解 11．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【来源】辽宁省大连市育明高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式】已知：集合，，若，求实数a的取值范围； 【答案】； 【来源】上海市陆行中学2024-2025学年高一上学期数学10月阶段性检测试卷 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 12．设集合，求实数的取值范围 ； 【答案】 【来源】广东省清远盛兴中英文学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； 【详解】因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【变式】若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【来源】上海市上海中学东校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 【考点四 根据集合间的关系求参数】 【归纳总结】根据集合的包含关系求参数的思路步骤 1.化简所给集合 2.用列举法或数轴表示所给集合 ①当集合为不连续数集（如：方程的解），常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,注意分类讨论． ②当集合为连续数集（如：不等式解集），常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 3.根据集合关系列式，列出不等式解集端点之间的关系 【易错点】①讨论是否有“空集”（一般，“小的”有可能是空集） ②方程（函数）型：注意讨论一次or二次项系数是否为0 ③画数轴：取等的判断 4.解不等式（组） （不连续数集：元素对等型、方程型） 13．设集合，若，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【来源】重庆市第八中学校2024届高三上学期高考适应性月考（一）数学试题 【分析】根据，结合元素的互异性，分离讨论，即可求解. 【详解】由集合， 因为， 当时，可得，此时集合不满足元素的互异性，舍去； 当时，即时，此时，满足，符合题意； 当时，即时，此时，不满足，舍去， 综上可得，实数的值为. 故选：C. 【变式】已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃省甘南藏族自治州合作藏族中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 14．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【来源】02 限时小练2 集合间的基本关系 高中数学必修第一册�RA 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． （连续数集：不等式型） 15．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】天津市滨海新区大港油田实验中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试数学试卷 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 【变式】已知集合． (1)若⫋，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【来源】教材衔接测试-【创新教程】2025年初升高数学衔接教材一本通 【分析】（1）解不等式求得集合，根据，可求得的取值范围； （2）分和两种情况解不等式求得集合，利用，可求得的取值范围. 【详解】（1）； ． 由⫋，．故的取值范围为． （2）当时，则，又，所以． 当时，则，又，所以， 综上所述：的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$