专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列（6大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集内蒙古、吉林多校高二期末试题，聚焦集合、常用逻辑用语、不等式、数列6大高频考点，涵盖选择、填空、解答等题型，注重基础概念与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|30+|集合运算、命题否定、不等式解法、等差等比数列基本量|基础题占比高，如集合元素确定性判断、数列通项公式直接应用| |多选题|8|集合子集性质、基本不等式应用、数列单调性|综合考查易错点，如基本不等式等号成立条件、数列增减性判定| |填空题|4|充要条件参数范围、不等式解集|侧重知识迁移，如由充分不必要条件求参数取值| |解答题|15+|集合参数讨论、数列求和、不等式恒成立|分层设计，基础题（如数列通项求解）与综合题（数列与不等式结合）并存，匹配高考命题趋势|

专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列 地 城 考点01 集合 一、单选题 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D. 6．A. 7．A. 8．C. 9．D. 二、多选题 10．BCD 三、解答题 11．【详解】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 地 城 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．D 2．C 3．D 4．C. 5．B 6．B. 7．B 二、多选题 8．BC 三、填空题 9．. 四、解答题 10．【详解】（1）因为命题是假命题，所以命题的否定“， 使得不等式成立”为真命题， 则，解得， 故实数m的取值范围； （2）若是的充分条件，则， ，解得，即. 11．【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知 ， 当时，既，解得，此时满足 ， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 地 城 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1．A. 2．C 3．C. 4．A 5．C 6．D. 7．D 8．B 二、多选题 9．AB. 三、填空题 10． 11．. 四、解答题 12．【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 13．【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 地 城 考点04 基本不等式 一、单选题 1．A． 2．D 二、多选题 3．BD 4．AC 5．BCD 6．ABC 三、解答题 7．【详解】（1）因为 所以， 当且仅当，即时，上式取等号. 所以函数的最小值为. （2）当时， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以函数的最大值为. 地 城 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1．C. 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 二、多选题 7．AB 8．BC 9．AC 三、解答题 10．【详解】（1）设数列公差为， 由，得，，解得 ∴. （2）由得， . 11．【详解】（1）解：由于数列为等差数列 所以，解得，所以． 由于数列为等比数列所以，解得， 所以． （2） ． 12．【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． 地 城 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1．C 2．B. 3．A. 二、多选题 4．AD 三、填空题 5．3. 四、解答题 6．【详解】（1）在等差数列中，设公差为且， 因为，，成等比数列，则， 又，则 解得或．因为，故， 又因为，所以. （2）由，，可得，又，解得． 所以，又因为， 则， 因此. 7．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． （2）由（1）知， 所以 8．【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 9．【详解】（1）设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，， 所以，解得或． 由于是各项都为正整数的等比数列，所以. 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）因为，所以， 所以，，两式相除：， 由，，得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列； 是以为首项，以为公比的等比数列. 所以当为奇数时，， 当为偶数时， 所以的通项公式. （3）因为， 所以 当n为奇数时，， 错位相减得， 当n为偶数时，，裂项相消得， ∴． 10．【详解】试题分析：（1）根据题干条件将表达式变形为：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，从而证得式子是等差数列；（2）根据第一问的结论得到数列的通项，进而求和，解不等式即可． 解析： （1）证明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1． 代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得． 所以数列{bn}是等差数列． （2）解：因为数列{bn}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列， 则则an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．从而有． 故 则，由 得. 即3＜3n＜127，得1＜n≤4． 故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列 6大高频考点概览 考点01集合 考点02常用逻辑用语 考点03不等式的性质与解不等式 考点04基本不等式 考点05等差数列、等比数列 考点06数列通项、数列求和 地 城 考点01 集合 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 2．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以 . 故选：B 3．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：A 5．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集定义计算求解. 【详解】集合，集合， 则． 故选：D. 6．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入验证，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，又，，，， 所以，故A正确. 故选：A. 7．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 9．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对数函数定义域得出集合A，再根据交集定义计算求解. 【详解】设集合，， 则. 故选：D. 二、多选题 10．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）下列说法中正确的为（   ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．若不等式的解集为，则的取值范围为 C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D．若正实数，，满足，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；按结合一元二次不等式恒成立求解判断B；利用充分不必要条件的定义判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，有且仅有2个子集，A错误； 对于B，当时，恒成立，则；当时，， 解得，因此的取值范围为，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由正实数满足，得 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 三、解答题 11．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用集合并集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 地 城 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知命题p：“，使得”，则命题p的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题的否定为全称命题，把存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】命题，使得，则命题p的否定是. 故选：D 2．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：C 3．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 4．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)命题：使的否定为（   ） A． 不等式恒成立 B． 不等式成立 C． 恒成立或 D． 不等式恒成立 【答案】C 【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论. 【详解】命题：使的否定为 恒成立或. 故选：C. 5．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 6．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合充分性和必要性的定义即可求解. 【详解】当，时，显然不成立； 当时，显然，由不等式性质可知，， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 7．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知，则p是q的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式求得 ，解绝对值不等式求得，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，则，可得， 由，则， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：B 二、多选题 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 三、填空题 9．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的性质，进行计算即可. 【详解】设，， 因为的一个充分不必要条件是，则是的充分不必要条件， 则是的真子集，所以. 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值范围； (2)设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题命题的否定为真命题，故有恒成立，即可求m范围； （2）由充分条件有，列出不等式组进行计算即可. 【详解】（1）因为命题是假命题，所以命题的否定“， 使得不等式成立”为真命题， 则，解得， 故实数m的取值范围； （2）若是的充分条件，则， ，解得，即. 11．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知 ， 当时，既，解得，此时满足 ， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 地 城 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式可化为，通分整理得， 解得,所以解集为. 故选：A. 2．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 3．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 5．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】由于，故, 因此对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当即时等号成立， 故，故选：C 6．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式确定集合的元素，再由交集运算即可求解. 【详解】由可解得，所以， 因为，所以. 故选：D. 7．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出集合，再算其交集即可. 【详解】由得或 所以 由得 所以 所以 故选D. 8．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】化简式子可得，然后直接计算. 【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 故选：B 二、多选题 9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（多选）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 10．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 11．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 13．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果 （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围. （3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 地 城 考点04 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】可以转化为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为. 故选：A． 2．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）设正实数，满足，则（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A，利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解；对于B，平方后再利用基本不等式求解，再开方即可；对于C，直接利用基本不等式即可；对于D，由平方平均数大于等于算术平均数即可求解. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 4．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．的最小值为 B．ab的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，应用基本不等式及指数运算性质求、的最小值，由，则，代入求最小值，即可得. 【详解】A：由，当且仅当取等号，对； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由，当且仅当时取等号，对； D：由，则，故，错. 故选：AC 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A利用基本不等式构造出的不等式解出即可，选项B利用完全平方公式、基本不等式，以及不等式性质求解的取值范围即可，将变形得，代入中转化为二次函数求解即可得C选项，将变形得乘以变形构造基本不等式即可得出D选项. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以， 即，所以，故A不正确； 由， 则， 由A有，所以， 所以，即 当且仅当时等号成立，故B选项正确； 由，则代入中有： ， ， 所以当时，等号成立，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 6．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)（多选）已知正实数x，y满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为16 【答案】ABC 【分析】对A、B、C：结合基本不等式分析判断；对D：由代换，结合二次函数分析判断. 【详解】对A：由于，当且仅当，即时取等号，故A正确； 对B：由基本不等式得，故，当且仅当时取等号，故B正确； 对C： ，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由正实数x，y满足，得， 故，故D错误. 故选：ABC． 三、解答题 7．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】根据基本不等式即可求解 【详解】（1）因为 所以， 当且仅当，即时，上式取等号. 所以函数的最小值为. （2）当时， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以函数的最大值为. 地 城 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得出，即可得出的值. 【详解】由等差数列的性质可得，则，故. 故选：C. 2．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 3．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 即 所以的前项和. 故选：D. 4．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式求公比，进而求指定项. 【详解】若等比数列的公比为，则，故. 故选：C 5．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，故， 由，所以，又， ，解得或（舍）， . 故选：B. 6．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)在等比数列中，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求得，再利用，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，则，得到， 又， 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】AB 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的通项公式为一次函数即可判断D. 【详解】对于A：令，即，即数列的前6项和最大，故A错误； 对于B：当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若为等差数列，则，所以数列也是等差数列，故D正确. 故选：AB. 8．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)（多选）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 【答案】BC 【分析】对A，由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质运算得解；对B，求出通项，进而求出数列的通项公式，判断；对C，由等差数列前项和公式求解判断；对D，求出的通项，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由，则，所以，即，又，所以，故A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由A知，则， ，， 所以，故数列为递增数列，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为， 所以的前4项和为，故D错误. 故选：BC. 9．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 三、解答题 10．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件计算数列的首项和公差即可得到通项公式. （2）根据分组求和的方式计算数列的前项和即可得到结果. 【详解】（1）设数列公差为， 由，得，，解得 ∴. （2）由得， . 11．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用来求解即可； （2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减． 【详解】（1）解：由于数列为等差数列 所以，解得，所以． 由于数列为等比数列所以，解得， 所以． （2） ． 12．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求解即可. （2）利用基本不等式求解最小值即可，注意验证等号能否成立. （3）结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和方法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，得． （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． （3）因为， 所以． 地 城 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】由题可得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可得 【详解】因为，所以， 又，所以是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 当n＝1时，；当时，， 所以． 故选：C． 2．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知数列满足，，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】利用递推公式进行迭代，即可求解. 【详解】由，，可得，， 故选：B. 3．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为单调递增数列等价于对任意恒成立，则有，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 二、多选题 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（   ） A． B．数列的前n项和为 C． D．实数k的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A，由已知递推关系可构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；对于B，由数列的通项公式，再利用分组求和即可求出数列的前n项和；对于C，先写出数列的通项公式，再得到其前项积的表达式，即可判断C选项；对于D，由已知可得得，令，利用作商法分析数列的单调性，由此可判断D选项. 【详解】由，得，又， 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以，即，故A正确； 数列的前n项和为，故B错误； 因为，所以，故C错误； 由，得，令， 所以，， ，所以数列单调递减， 当时，的最大值为， 所以，即实数k的最小值为，故D正确， 故选：AD． 三、填空题 5．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)若数列满足，则数列前15项的和_________． 【答案】3 【分析】由，裂项相消求和即可 【详解】因为， 所以． 故答案为：3. 四、解答题 6．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列定义结合等比中项解题即可； （2）根据等比数列定义，求出通项公式，然后用裂项相消法求数列前项和即可. 【详解】（1）在等差数列中，设公差为且， 因为，，成等比数列，则， 又，则 解得或．因为，故， 又因为，所以. （2）由，，可得，又，解得． 所以，又因为， 则， 因此. 7．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． （2）由（1）知， 所以 8．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解； （2）分为偶数和奇数求数列的前项和. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 9．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2). (3). 【分析】（1）通过已知条件运用基本量法求得，的通项公式即可； （2）通过已知条件求得，讨论为奇数和为偶数两种情况下的通项公式； （3）由已知条件求得通项公式，分为奇数和为偶数两种情况分别运用错位相减法和裂项相消法求和并相加求得数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，， 所以，解得或． 由于是各项都为正整数的等比数列，所以. 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）因为，所以， 所以，，两式相除：， 由，，得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列； 是以为首项，以为公比的等比数列. 所以当为奇数时，， 当为偶数时， 所以的通项公式. （3）因为， 所以 当n为奇数时，， 错位相减得， 当n为偶数时，，裂项相消得， ∴． 10．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)已知数列满足，数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求满足不等式的所有正整数的值. 【答案】（1）证明：由得，计算中，得， 即得．（2）满足不等式的所有正整数的值为2，3，4． 【详解】试题分析：（1）根据题干条件将表达式变形为：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，从而证得式子是等差数列；（2）根据第一问的结论得到数列的通项，进而求和，解不等式即可． 解析： （1）证明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1． 代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得． 所以数列{bn}是等差数列． （2）解：因为数列{bn}是首项为b1=3﹣1a1=1，公差为等差数列， 则则an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．从而有． 故 则，由 得. 即3＜3n＜127，得1＜n≤4． 故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 集合、常用逻辑用语、不等式、数列 6大高频考点概览 考点01集合 考点02常用逻辑用语 考点03不等式的性质与解不等式 考点04基本不等式 考点05等差数列、等比数列 考点06数列通项、数列求和 地 城 考点01 集合 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 2．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)设全集，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)已知集合，集合，则（    ）． A． B． C． D． 6．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 7．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)集合，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)设集合，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）下列说法中正确的为（   ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．若不等式的解集为，则的取值范围为 C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D．若正实数，，满足，则 三、解答题 11．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 地 城 考点02 常用逻辑用语 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知命题p：“，使得”，则命题p的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．， D．， 2．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)命题：使的否定为（   ） A． 不等式恒成立 B． 不等式成立 C． 恒成立或 D． 不等式恒成立 5．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知，则p是q的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)命题，.若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 四、解答题 10．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值范围； (2)设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 11．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 地 城 考点03 不等式的性质与解不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 二、多选题 9．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（多选）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（    ） A．， B．，， C．， D．，， 三、填空题 10．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知，，则的取值范围是______. 11．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知则不等式的解集为______． 四、解答题 12．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 13．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知关于的不等式. (1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 地 城 考点04 基本不等式 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）设正实数，满足，则（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（多选）已知，则（   ） A．的最小值为 B．ab的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)（多选）已知正实数x，y满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为16 三、解答题 7．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 地 城 考点05 等差数列、等比数列 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 3．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 5．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 6．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)在等比数列中，如果，那么（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)（多选）数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 8．(24-25高二下·内蒙古包头·期末)（多选）若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．为递增数列 C． D．的前4项和为 9．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)（多选）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 三、解答题 10．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 12．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)在数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求的最小值； (3)求数列的前项和． 地 城 考点06 数列通项、数列求和 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林白山五校·期末)已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则＝（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知数列满足，，则（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 3．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)（多选）已知数列的首项为1，且，数列的前n项积为，且不等式对都成立，则（   ） A． B．数列的前n项和为 C． D．实数k的最小值为 三、填空题 5．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)若数列满足，则数列前15项的和_________． 四、解答题 6．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 7．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 8．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 9．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 10．(24-25高二下·吉林“BEST合作体”·期末)已知数列满足，数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求满足不等式的所有正整数的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $