专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 求一元一次不等式的解集 题型五 数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决问题 题型九 求不等式组的解集 题型十 求一元一次不等式组的整数解 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 题型十三 列一元一次不等式组 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念与符号语言 能准确识别不等式，并把文字描述转化为对应的不等符号 基础小题考点，多以选择、填空形式出现，难度较低 不等式的解与解集 能区分不等式的解与解集，规范用不等式和数轴表示解集 高频基础考点，数轴表示解集为必考形式，易错点混淆空心圈与实心点、绘制方向出错 不等式的基本性质 能熟练运用三条性质对不等式进行变形、判断正误 选择题考查性质辨析，易错点为乘除负数时忘记改变不等号方向 一元一次不等式的定义 能依据定义判断式子是否为一元一次不等式 基础辨析题型，常出现在选择题，易忽略未知数次数、整式等限制条件 解一元一次不等式 能按照步骤正确求解一元一次不等式，并规范表示解集 重点计算考点，解答题必考，易错点为去分母漏乘项、移项不变号、系数化为 1 时符号出错 一元一次不等式组的解集判定 能结合口诀或数轴确定不等式组的解集，判断不等式组是否无解 常考小题，侧重口诀运用与数轴识图，易混淆解集取值规则 解一元一次不等式组 能完整求解一元一次不等式组，并在数轴上表示结果 解答题高频考点，常与数轴结合考查，命题偏向基础计算 一元一次不等式（组）的实际应用 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）解题并检验结果 压轴类解答考点，常结合生活场景命题，易错点为找错不等关系、结果不符合实际意义 知识点01 不等式的概念 用符号、表示大小关系的式子，叫做不等式；用表示不等关系的式子，也属于不等式。 常见不等语言与符号对应关系： 是正数：； 是负数： 是非负数：； 是非正数： 同号：； 异号： 知识点02 不等式的解与解集 1.不等式的解：能够使不等式成立的未知数的值，称为不等式的解。 2.不等式的解集：一个不等式所有解的集合，叫做不等式的解集。 3.解集的两种表示方法：一是直接用不等式表示；二是利用数轴表示。 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 数轴表示解集注意事项： 1.边界点：若数值包含在解集中，画实心圆点；若不包含，画空心圆圈。 2.方向：小于该数向左绘制，大于该数向右绘制。 3.解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 知识点03 不等式的基本性质 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变。 若，则。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若，则，。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 若，则，。 使用补充说明： 1.不等式两边必须进行同一种、同一个数（或式子）的运算。 2.乘除运算时，先判断数的正负，负数运算一定要改变不等号方向。 3.不等号方向改变，指与互换、与互换。 知识点04 一元一次不等式 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数为，且左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。一般形式：、。 满足条件：左右两边为整式；只含一个未知数；未知数次数为。 2.解集及表示：一元一次不等式所有解构成它的解集，可使用不等式或数轴两种方式表示。 3.解一元一次不等式的步骤： （1）去分母：两边同乘各分母最小公倍数，不要漏乘无分母的项；分子为多项式时需添加括号。 （2）去括号：遵循去括号法则，括号前为负号时，括号内所有项都要变号。 （3）移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号。 （4）合并同类项：将式子化为或的最简形式。 （5）系数化为1：两边同时除以未知数系数；系数为负数时，不等号方向改变。 补充：解题步骤可根据不等式形式灵活取舍，无需严格按顺序执行。 知识点05 一元一次不等式组 1.定义：将几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立，就组成一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集；若无公共部分，则该不等式组无解。 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解不等式组步骤： （1）分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； （2）把所有解集在数轴上标注出来； （3）找出解集的公共部分，即为不等式组的解集。 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 解题流程：审、设、列、解、验、答。 审：读懂题意，抓取“至少、至多、不超过、不少于、大于、小于”等关键词，找出题目中的不等关系。 设：合理设出未知数，设语句中不出现“至少、最多”等不等描述。 列：根据不等关系，列出一元一次不等式或不等式组。 解：按照解法求出不等式（组）的解集。 验：结合生活实际，检验解是否符合题意，舍去不合理数值。 答：完整写出答案，答案中体现题目要求的不等含义。 补充要点：部分题目不等关系隐藏在生活常识中，需结合实际场景分析；求解后若未知数代表人数、物品个数等，一般取正整数。 题型一 不等式的定义 例1．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 变式1-1．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 变式1-2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 变式1-3．来自市气象台的天气预报显示，某日郑州市最高气温，最低气温，则当天气温的变化范围是________． 题型二 不等式的性质 例2．若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 变式2-1．若，则_____（填＞，＜）． 变式2-2．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 不等式的解集 例3．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 变式3-1．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 变式3-2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则__． 题型四 求一元一次不等式的解集 例4．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 变式4-1．解不等式：． 变式4-2．解不等式． (1)； (2)． 变式4-3．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 题型五 数轴上表示不等式的解集 例5．不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 变式5-1．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 变式5-2．不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 变式5-3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 题型六 求一元一次不等式的整数解 例6．不等式 的最大整数解是______． 变式6-1．满足的所有的整数的和为_______． 变式6-2．不等式的所有正整数解之和为___________． 变式6-3．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 题型七 列一元一次不等式 例7．下面由文字叙述列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”可表示成 B．“不大于9”可表示成 C．“与4的差是负数”可表示成 D．“与2的和是非负数”可表示成 变式7-1．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，是校园内限速标志，若用表示速度，请用含字母的不等式表示这个标志的实际意义_____． 变式7-3．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 题型八 用一元一次不等式解决问题 例8．某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 变式8-1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过，他返程的平均速度不能小于________． 变式8-2．端午节是中国的传统四大节日之一，在遵义有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2026年端午节前期某超市销售A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒售价比B种礼盒少4元，购买5盒A种礼盒和6盒B种礼盒共需596元． (1)该超市销售的A、B两种礼盒的售价分别是多少元？ (2)某公司需要购买A、B两种端午节礼盒共30盒作为员工的节日礼物，两种礼盒所购买费用不超过1610元，求最多购买B种礼盒多少盒？ 变式8-3．甲、乙两家育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮、种好粮，计划优惠出售一批水稻良种．甲育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过500元，则按原价收费；若超过500元，则超出500元的部分按原价的收费．乙育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过300元，则按原价收费；若超过300元，则超出300元的部分按原价的收费．假设甲、乙两家育种场水稻良种的单价相同，你认为购买哪家的水稻良种更合算？ 题型九 求不等式组的解集 例9．解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来：． 变式9-1．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 变式9-2．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 变式9-3．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 例10．不等式组的整数解的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式10-1．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 变式10-2．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 变式10-3．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况 例11．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式11-1．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 变式11-2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 变式11-3．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 例12．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 变式12-1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 变式12-2．已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 变式12-3．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 题型十三 列一元一次不等式组 例13．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式13-1．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 变式13-2．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 变式13-3．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 例14．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 变式14-1． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 变式14-2．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 变式14-3． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 例15．阅读下列新定义，解答后面的问题．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算， 例如，． 已知，． (1)求，的值； (2)若关于的不等式恰好有2个正整数解，求实数的取值范围． 变式15-1．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式15-2．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为______． 变式15-3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为________． 6．解不等式组：的解集为_____． 7．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 8．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 9．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 10．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为______． 3．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 4．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若关于x的不等式组，下列说法不正确的是（     ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组无解，则 2．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 3．已知不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，求a的取值范围． 4．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (3)若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次不等式和一元一次不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 求一元一次不等式的解集 题型五 数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决问题 题型九 求不等式组的解集 题型十 求一元一次不等式组的整数解 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 题型十三 列一元一次不等式组 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的概念与符号语言 能准确识别不等式，并把文字描述转化为对应的不等符号 基础小题考点，多以选择、填空形式出现，难度较低 不等式的解与解集 能区分不等式的解与解集，规范用不等式和数轴表示解集 高频基础考点，数轴表示解集为必考形式，易错点混淆空心圈与实心点、绘制方向出错 不等式的基本性质 能熟练运用三条性质对不等式进行变形、判断正误 选择题考查性质辨析，易错点为乘除负数时忘记改变不等号方向 一元一次不等式的定义 能依据定义判断式子是否为一元一次不等式 基础辨析题型，常出现在选择题，易忽略未知数次数、整式等限制条件 解一元一次不等式 能按照步骤正确求解一元一次不等式，并规范表示解集 重点计算考点，解答题必考，易错点为去分母漏乘项、移项不变号、系数化为 1 时符号出错 一元一次不等式组的解集判定 能结合口诀或数轴确定不等式组的解集，判断不等式组是否无解 常考小题，侧重口诀运用与数轴识图，易混淆解集取值规则 解一元一次不等式组 能完整求解一元一次不等式组，并在数轴上表示结果 解答题高频考点，常与数轴结合考查，命题偏向基础计算 一元一次不等式（组）的实际应用 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）解题并检验结果 压轴类解答考点，常结合生活场景命题，易错点为找错不等关系、结果不符合实际意义 知识点01 不等式的概念 用符号、表示大小关系的式子，叫做不等式；用表示不等关系的式子，也属于不等式。 常见不等语言与符号对应关系： 是正数：； 是负数： 是非负数：； 是非正数： 同号：； 异号： 知识点02 不等式的解与解集 1.不等式的解：能够使不等式成立的未知数的值，称为不等式的解。 2.不等式的解集：一个不等式所有解的集合，叫做不等式的解集。 3.解集的两种表示方法：一是直接用不等式表示；二是利用数轴表示。 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 数轴表示解集注意事项： 1.边界点：若数值包含在解集中，画实心圆点；若不包含，画空心圆圈。 2.方向：小于该数向左绘制，大于该数向右绘制。 3.解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 知识点03 不等式的基本性质 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变。 若，则。 性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若，则，。 性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 若，则，。 使用补充说明： 1.不等式两边必须进行同一种、同一个数（或式子）的运算。 2.乘除运算时，先判断数的正负，负数运算一定要改变不等号方向。 3.不等号方向改变，指与互换、与互换。 知识点04 一元一次不等式 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数为，且左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。一般形式：、。 满足条件：左右两边为整式；只含一个未知数；未知数次数为。 2.解集及表示：一元一次不等式所有解构成它的解集，可使用不等式或数轴两种方式表示。 3.解一元一次不等式的步骤： （1）去分母：两边同乘各分母最小公倍数，不要漏乘无分母的项；分子为多项式时需添加括号。 （2）去括号：遵循去括号法则，括号前为负号时，括号内所有项都要变号。 （3）移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必须变号。 （4）合并同类项：将式子化为或的最简形式。 （5）系数化为1：两边同时除以未知数系数；系数为负数时，不等号方向改变。 补充：解题步骤可根据不等式形式灵活取舍，无需严格按顺序执行。 知识点05 一元一次不等式组 1.定义：将几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立，就组成一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集；若无公共部分，则该不等式组无解。 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解不等式组步骤： （1）分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； （2）把所有解集在数轴上标注出来； （3）找出解集的公共部分，即为不等式组的解集。 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 解题流程：审、设、列、解、验、答。 审：读懂题意，抓取“至少、至多、不超过、不少于、大于、小于”等关键词，找出题目中的不等关系。 设：合理设出未知数，设语句中不出现“至少、最多”等不等描述。 列：根据不等关系，列出一元一次不等式或不等式组。 解：按照解法求出不等式（组）的解集。 验：结合生活实际，检验解是否符合题意，舍去不合理数值。 答：完整写出答案，答案中体现题目要求的不等含义。 补充要点：部分题目不等关系隐藏在生活常识中，需结合实际场景分析；求解后若未知数代表人数、物品个数等，一般取正整数。 题型一 不等式的定义 例1．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 变式1-1．“a的9倍与b的的和是正数”可表示为______． 【答案】 【详解】解： 的倍为，的为，因为两个式子的和是正数，正数都大于， 因此可得不等式：． 变式1-2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 变式1-3．来自市气象台的天气预报显示，某日郑州市最高气温，最低气温，则当天气温的变化范围是________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，当日最高气温为，最低气温为， 气温不低于最低气温，且不高于最高气温， 因此可得 ， 故答案为 ． 题型二 不等式的性质 例2．若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； B. 不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，两边同时加3，不等号方向不变，得，结论一定成立，故此选项不符合题意； C. 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； D. 举例：当，时，满足，但，，此时， 因此结论不一定成立，故此选项符合题意． 变式2-1．若，则_____（填＞，＜）． 【答案】＜ 【详解】解：若，则，理由是不等式的性质3． 变式2-2．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据不等式的性质进行推导： ∵， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴， 不等式两边同时加5，不等号方向不变， ∴ ． 因此“□”中应填． 变式2-3．如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴得，， ∴当时，则，故A错误； ∵， ∴，，，故B错误，C正确； ∴，故D错误． 题型三 不等式的解集 例3．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：∵是不等式的一个解． ∴将代入不等式得 ， 解得：． 四个选项中只有，符合要求． 变式3-1．若代数式有意义，则的取值范围是___________________． 【答案】 且 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 变式3-2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 变式3-3．已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则__． 【答案】 【详解】解：∵当时x的最小值为a，当时x的最大值为b， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 求一元一次不等式的解集 例4．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 先去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1可得， 即不等式的解集为，B选项符合题意． 变式4-1．解不等式：． 【答案】 【详解】解： 不等式两边同乘，得 移项得 合并同类项得 系数化为，不等号方向改变，得． 变式4-2．解不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 变式4-3．若不等式的解集是：，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向发生改变， ∴不等式两边同时除以时，不等号方向改变． 根据不等式的基本性质可得 ， 解得 ． 题型五 数轴上表示不等式的解集 例5．不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式， 移项，得：， 合并同类项，得：． 解集在数轴上表示 变式5-1．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象得，不等式组的解集为． 变式5-2．不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得， 在数轴上表示为： 变式5-3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示： 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把未知数系数化为1得：． 数轴略． 题型六 求一元一次不等式的整数解 例6．不等式 的最大整数解是______． 【答案】 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 即不等式的最大整数解为． 变式6-1．满足的所有的整数的和为_______． 【答案】 【详解】解： 不等式各边同时减去得：， 不等式各边同时除以得：， 则满足条件的整数解为：，0，1， 整数和为：． 变式6-2．不等式的所有正整数解之和为___________． 【答案】10 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵为正整数 的取值为 ， 所有正整数解之和为 ． 变式6-3．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：， 移项，得， ∵该不等式只有个正整数解， ∴正整数解为，，， ∴的取值范围为． 题型七 列一元一次不等式 例7．下面由文字叙述列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”可表示成 B．“不大于9”可表示成 C．“与4的差是负数”可表示成 D．“与2的和是非负数”可表示成 【答案】C 【详解】解：A、“不是负数”可表示成，原表示错误； B、“不大于9”可表示成，原表示错误； C、“与4的差是负数”可表示成，正确； D、“与2的和是非负数”可表示成，原表示错误. 变式7-1．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能AI知识竞答活动．一共25道题．每一题答对得4分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵总题数为25道，答对x道题， ∴答错或不答的题数为道， 根据题意得． 变式7-2．如图，是校园内限速标志，若用表示速度，请用含字母的不等式表示这个标志的实际意义_____． 【答案】 【详解】解：由图限速可知，含字母的不等式表示为：． 变式7-3．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 题型八 用一元一次不等式解决问题 例8．某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 【答案】小明至少答对了17道题 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答的共有道题． 根据题意，得 整理得 解得 答：小明至少答对了17道题． 变式8-1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过，他返程的平均速度不能小于________． 【答案】70 【详解】解：根据路程公式，甲乙两地的路程， 设司机返程的平均速度为，由速度的实际意义可知， 根据题意列不等式得， 解得， 故他返程的平均速度不能小于． 变式8-2．端午节是中国的传统四大节日之一，在遵义有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2026年端午节前期某超市销售A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒售价比B种礼盒少4元，购买5盒A种礼盒和6盒B种礼盒共需596元． (1)该超市销售的A、B两种礼盒的售价分别是多少元？ (2)某公司需要购买A、B两种端午节礼盒共30盒作为员工的节日礼物，两种礼盒所购买费用不超过1610元，求最多购买B种礼盒多少盒？ 【答案】(1)A种礼盒的售价是52元，B种礼盒的售价是56元． (2)最多购买B种礼盒12盒． 【分析】 【详解】（1）解：设A种礼盒的售价为元，则B种礼盒的售价为元． 根据题意得：． 去括号得． 合并同类项得． 解得． 则． 答：A种礼盒的售价是52元，B种礼盒的售价是56元． （2）解：设购买B种礼盒盒，则购买A种礼盒盒． 根据题意得：． 整理得． 解得． 是非负整数． 的最大值为12． 答：最多购买B种礼盒12盒． 变式8-3．甲、乙两家育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮、种好粮，计划优惠出售一批水稻良种．甲育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过500元，则按原价收费；若超过500元，则超出500元的部分按原价的收费．乙育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过300元，则按原价收费；若超过300元，则超出300元的部分按原价的收费．假设甲、乙两家育种场水稻良种的单价相同，你认为购买哪家的水稻良种更合算？ 【答案】当或时，两家收费都一样；当 时，购买乙育种场的更合算；当时，购买甲育种场的更合算 【详解】解：设购买水稻良种的累计金额为元，根据题意得： （1）当时，两家育种场都不优惠，则两家收费都一样； （2）当时，甲收费不优惠，乙收费优惠，则购买乙育种场的更合算； （3）当时，设甲育种场收费为元，乙育种场收费为元． 则 ， ， ①由，得 ，解得； ②由，得 ，解得； ③由，得 ，解得； 综上所述，当或时，两家收费都一样；当 时，购买乙育种场的更合算；当时，购买甲育种场的更合算． 题型九 求不等式组的解集 例9．解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来：． 【答案】， 【详解】解：， 解不等式①可得， 解不等式②可得， ∴不等式组的解集是， 图略． 变式9-1．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 无解， 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组无解； 不等式组的解集在数轴上表示略． 变式9-2．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 【答案】 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内， 得， 由①得， 由②得 不等式组的解集是， 整数． 变式9-3．已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果，那么不等式组的解集是， ②如果不等式组的解集是，那么， ③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么， ④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________． 【答案】①②/②① 【详解】解：解不等式组得， ①如果，不等式组的解集是，故本说法正确； ②如果不等式组的解集是，可得，故本说法正确； ③如果不等式组的整数解只有，，，，可得，故本说法错误； ④如果不等式组无解，可得，故本说法错误； ∴所有正确说法的序号是①②． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 例10．不等式组的整数解的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解： 由①可得； 由②可得， 不等式组的解集为； ∴该区间内的整数只有，整数解共个． 变式10-1．按照如下程序，输入的值并计算.规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作.若输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A．23 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：由题意得：， 解得． ∵输入正整数，程序操作了两次停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 变式10-2．若关于x的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ∴关于的不等式组的个整数解是、、、， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 变式10-3．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况 例11．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 变式11-1．如果不等式组无解，的取值可以是_____（写一个符合要求的即可）． 【答案】1（不唯一，不大于3即可） 【详解】解：由，得， ∵不等式组无解， ∴， ∴的取值可以是1． 变式11-2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 变式11-3．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 例12．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 变式12-1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 变式12-2．已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：方程组中的两个方程相加得： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵不等式 即为，且此不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴结合（2）的结论可得：m满足， ∵m为整数， ∴． 变式12-3．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ，得，解得， 将代入②，得，解得． ∵，， ，解得． （2）解：∵， ∴，． ∴． 题型十三 列一元一次不等式组 例13．野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 变式13-1．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 变式13-2．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 变式13-3．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【答案】(1) (2)租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆 【分析】 【详解】（1）略 （2） 不等式组的解集为 x为非负整数，，3，4 方案1：甲2辆，乙3辆 方案2：甲3辆，乙1.5辆(舍去，车辆整数) 方案3：甲4辆，乙0辆 可行方案∶租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 例14．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 变式14-1． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 变式14-2．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 变式14-3． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】(1)每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 (2)有2种购买方案，详见解析 【分析】 【详解】（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 题型十五 一元一次不等式组的新定义问题 例15．阅读下列新定义，解答后面的问题．对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算， 例如，． 已知，． (1)求，的值； (2)若关于的不等式恰好有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 联立，解得． （2）解：依题意得：，解得：． 不等式恰好有2个正整数解， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查了新运算法则、 解二元一次方程组、解不等式等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． 变式15-1．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 变式15-2．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为______． 【答案】，0，1 【详解】由题意可得， 不等式组转化为， 解得． 所以不等式组的整数解为，0，1． 故答案为：，0，1． 变式15-3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ①，解得； ②，解得； ③，解得， 只有在内， ∴不等式组的“和谐方程”有③； 故答案为：③ （2）解：解得到， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的“和谐方程”， ∴， 解得 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 2．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项A正确. 3．在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴可知，， ∵， ∴． 4．若不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵不等式的解集为，不等号方向发生改变， 根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 解得． 5．不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：对不等式 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解得：． 6．解不等式组：的解集为_____． 【答案】 【详解】解： 解不等式得：， 移项得， 解不等式得：两边同乘得， 移项得， 原不等式组的解集为 7．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 【答案】1 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， ， ， 解得：， ． 8．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 9．某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 10．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上只有选项A正确. 2．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为______． 【答案】33 【详解】解：根据题意可列不等式组：， 解得， x取整数，输入的x的最大值m是24，最小值n为9， ∴． 3．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 7．已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程． 【拓展】已知关于、的方程组满足为非正数、为非负数； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1)过程见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 解得， ∵是非负数， ∴， 解得； （2）解：， 解得， ∵为非正数、为非负数， ∴， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴，， ∴． 4．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元 (2)该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台 【分析】 【详解】（1）解：设型空调每台需元，型空调每台需元． 由题意得，，2分 解得， 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元； （2）解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， 为整数， 或11或12， ∴该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若关于x的不等式组，下列说法不正确的是（     ） A．若不等式组的解集是，则 B．若不是不等式组的一个解，那么 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组无解，则 【答案】C 【详解】解：解不等式组，得，． 若不等式组的解集是，则，故选项A说法正确，不符合题意； 若不是不等式组的一个解，那么，故选项B说法正确，不符合题意； 若不等式组只有3个整数解，则，故选项C说法错误，符合题意； 若不等式组无解，则，故选项D说法正确，不符合题意． 2．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 3．已知不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】或 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式的解集为：， x的值均不在的范围内，如图， 不等式的解集中的最小值应不小于5或者最大值不超过2， a的取值范围是：或，即； a的取值范围是：或． 4．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (3)若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①3；② (3)或 【分析】 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 解，得； 解不等式组，得， ∵和在的范围内，不在的范围内， 故不等式组的“关联方程”是①③； （2）解：①当时，方程化为，解得， 不等式组化为，解得， 由题意，， 解得3， ②当时，方程化为，解得， 解不等式组得， 由题意，， 解得； （3）解：解方程，得， 解不等式组，得， 由题意，， ∴， ∵所有符合要求的整数之和为14， 又或， ∴或. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $