专题05 三角形（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题05 三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 三角形的分类 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 三角形内角和定理的证明 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型十 三角形折叠中的角度问题 题型十一 三角形的外角定义及性质 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 题型十三 画三角形的高 题型十四 重心的概念 题型十五 根据三角形中线求长度 题型十六 根据三角形中线求面积 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的概念与表示 能准确描述三角形定义并规范书写三角形符号与名称 基础送分考点，多以选择题、填空题形式考查 三角形的分类 能按照边、角两种标准对三角形正确分类 常规基础考点，常结合图形辨析出题，易混淆等腰三角形与等边三角形从属关系 三角形的稳定性 能区分图形是否具备稳定性，并掌握多边形变稳定的方法 高频小题考点，常结合生活实例考查，题型固定、难度较低 三角形三边关系 会利用三边关系判断线段能否构成三角形、求解第三边取值范围 核心必考考点，选择、填空、解答题均有涉及，易错点为忽略三边限制条件、取值范围书写错误 三角形内角和定理 能运用内角和定理及推论计算三角形内角度数 重点考查内容，计算类题型为主，常结合角度比例、直角三角形综合命题 三角形外角性质与外角和 能利用外角定理进行角度计算与大小比较 重难点考点，角度综合计算高频出题，易错点为混淆相邻外角与不相邻内角关系 三角形的高、中线、角平分线概念与性质 能识别三种线段，熟练运用其几何性质进行推理与计算 综合考点，中线常结合面积考查，高易因不同三角形高的位置判断出错 知识点01 三角形的相关概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。 三角形可用符号“”表示，若三角形三个顶点分别为，则记作，读作三角形。 知识点02 三角形的分类 1.按边分类 三边都不相等的三角形、等腰三角形（包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。 2.按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形； 直角三角形：有一个内角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。 知识点03 三角形的稳定性与三边关系 一、三角形的稳定性 三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就固定不变，这一性质就是三角形的稳定性。 四边形以及边数更多的多边形不具备稳定性；若想让多边形具备稳定性，可将多边形分割成若干个三角形。 二、三角形三边关系 基本定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 常用结论：设三角形三边长为，则。 三边关系实际应用 1.判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段即可。 2.已知三角形两条边长为，可利用公式确定第三边的取值范围。 3.根据周长计算三角形边长时，若求出多组结果，必须结合三边关系检验，排除无法构成三角形的情况。 知识点04 三角形的内角与外角 一、三角形内角和定理 三角形的三个内角相加和为。 推论：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角相加等于。 内角和定理应用 1.已知三角形其中两个内角度数，可直接求出第三个内角的度数。 2.已知三个内角的比例关系，可结合内角和求出每个内角的具体度数。 3.在直角三角形中，已知一个锐角度数，就能求出另一个锐角的度数。 二、三角形外角相关定理 三角形的外角和为。 三角形外角的性质 1.三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。 2.三角形的一个外角，大于任意一个与它不相邻的内角。 知识点05 三角形的高、中线、角平分线 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 几何表示：若是中边上的高，则。 图形： 主要作用：得到垂直关系、判定直角、计算角度。 2.三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何表示：若是中边上的中线，则，且。 图形： 主要作用：平分线段、平分三角形面积。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 几何表示：若是中的角平分线，则。 图形： 主要作用：平分角、推导相等角度。 题型一 三角形的识别与有关概念 例1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 变式1-1．在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 变式1-2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 变式1-3．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 【答案】 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 题型二 三角形的个数问题 例2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 变式2-1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 变式2-2．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 变式2-3．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 题型三 构成三角形的条件 例3．下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A、，能摆成三角形，该选项符合题意； B、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； C、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，该选项不符合题意． 变式3-1．下列各组条件中，不能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】A选项，，能组成三角形； B选项， ，能组成三角形； C选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D选项， ，能组成三角形； 变式3-2．在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 变式3-3．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 题型四 三角形的分类 例4．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 变式4-1．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 变式4-2．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 变式4-3．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 题型五 确定第三边的取值范围 例5．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 变式5-1．三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得：， ． 变式5-2．小明同学计划从一堆木条中取出三根来拼接成一个三角形，若他选择了长度（单位：分米）为3和4的两根木棒，那么第三根木棒的长度不能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：设第三根木棒的长度为分米，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∵ 已知两根木棒长度分别为和， ∴ ， 化简得 ， ∵ 选项中只有不满足该范围， ∴ 第三根木棒的长度不能是． 变式5-3．已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 则可以取的值为（答案不唯一）． 题型六 三角形三边关系的应用 例6．已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设篮球场和图书馆的直线距离为． 当校门口、篮球场和图书馆不共线时，根据三角形三边关系得：，即； 当校门口、篮球场和图书馆共线时，或， 综上，的取值范围为，故不可能是． 变式6-1．如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（    ） A．只有截①可以 B．只有截②可以 C．截①②都可以 D．截①②都不可以 【答案】B 【详解】解：∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴两根长度分别为和的细直木棒搭一个三角形框架时，只能把长度为的木棒分为两截， 即只有截②可以． 变式6-2．在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】D 【详解】解：设第三条边的长度为米， ∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 化简得：． ∵25不在的范围内， ∴第三条边的长度不可能是25米． 变式6-3．如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 题型七 三角形内角和定理的证明 例7．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 变式7-1．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 变式7-2．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 变式7-3．（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 例8．实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ 由折叠可得， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 变式8-1．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式8-2．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 变式8-3．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 例9．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式9-1．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 【答案】或或 【详解】解：如图，当时， ，， ， 平分， ， ； 如图，当于时， ， ； 如图，当时， ，， ． 综上所述，的度数为或或． 变式9-2．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 【答案】 或 【详解】平分，平分， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， 直线平分， ， 点在射线上， ， 在中，， ， ， 为“倍角三角形”，且， 分以下情况讨论： 当直角是锐角的倍时， 若， ，解得，此时，符合题意； 若， 则， 解得， ，此时，不符合题意，舍去； 当一个锐角是另一个锐角的倍时， 若， ， ， 解得， 此时，符合题意； 若， 则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 变式9-3．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 题型十 三角形折叠中的角度问题 例10．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 变式10-1．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 变式10-2．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 变式10-3．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴. 题型十一 三角形的外角定义及性质 例11．一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ． 变式11-1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式11-2．如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】 180 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式11-3．将含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ， ． 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 例12．如图，是边上的一点，连接，． (1)是的__________； (2)根据图中数据，求的度数． 【答案】(1)角平分线 (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 变式12-1．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 变式12-2．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 变式12-3．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】证明：∵是角平分线（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． ∴平分． 故答案为：； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 题型十三 画三角形的高 例13．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 变式13-1．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图知：在中，边上的高是． 变式13-2．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 变式13-3．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 题型十四 重心的概念 例14．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 变式14-1．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 变式14-2．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 变式14-3．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 题型十五 根据三角形中线求长度 例15．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 变式15-1．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2）， ， 又点E为线段的中点， ． 变式15-2．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 变式15-3．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 题型十六 根据三角形中线求面积 例16．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 变式16-1．如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵是的中线， ∴． 变式16-2．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式16-3．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 例17．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 【答案】12 【详解】解：由题意得， 是边上的中线， ． 变式17-1．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式17-2．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是的高，则．当，，时，的长为______． 【答案】2 【详解】解：把，，代入得： ， ∴． 变式17-3．如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：在中，． （2）解：平分，， ， ． （3）解：是的高，即， ， ． 由（2）可知，， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列长度的4组细木棒中，能摆成一个三角形的是（     ） A．1，2，3 B．6，3，5 C．4，4，9 D．2，6，10 【答案】B 【详解】解：A、，不满足三边关系，不能摆成三角形； B、，满足三边关系，能摆成三角形； C、，不满足三边关系，不能摆成三角形； D、，不满足三边关系，不能摆成三角形． 2．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 3．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，，，则． 4．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 5．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 7．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 8．如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 【答案】4 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 9．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 10．如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两条边平行，即， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵是等腰直角三角尺的一个锐角， ∴， 又∵是的一个外角， 所以． 2．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 3．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 4．如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 5．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 2．如图，在中，为中点，点、分别在、边上，且满足，，连接、，若的面积为，则四边形的面积为____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作，过点作， 为中点， ， ，， ， ，， 四边形的面积为， 故答案为：． 3．如图，、是的中线，若的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】 2 【详解】解：是的中线， 为的中点，为的中点 为的中点， 设 为的中点， 是的中线， 是的中线， ， 解得 ． 4．如图，点C为直线外一点，，连接，，点D，E分别是，的中点，连接，交于点F，已知图中阴影部分的面积为4．线段长的最小值为________． 【答案】8 【详解】解：如图：连接，过点作于点， ∵点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 又 ∵点到直线的距离垂线段最短， ， ∴的最小值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 三角形的分类 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 三角形内角和定理的证明 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型十 三角形折叠中的角度问题 题型十一 三角形的外角定义及性质 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 题型十三 画三角形的高 题型十四 重心的概念 题型十五 根据三角形中线求长度 题型十六 根据三角形中线求面积 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的概念与表示 能准确描述三角形定义并规范书写三角形符号与名称 基础送分考点，多以选择题、填空题形式考查 三角形的分类 能按照边、角两种标准对三角形正确分类 常规基础考点，常结合图形辨析出题，易混淆等腰三角形与等边三角形从属关系 三角形的稳定性 能区分图形是否具备稳定性，并掌握多边形变稳定的方法 高频小题考点，常结合生活实例考查，题型固定、难度较低 三角形三边关系 会利用三边关系判断线段能否构成三角形、求解第三边取值范围 核心必考考点，选择、填空、解答题均有涉及，易错点为忽略三边限制条件、取值范围书写错误 三角形内角和定理 能运用内角和定理及推论计算三角形内角度数 重点考查内容，计算类题型为主，常结合角度比例、直角三角形综合命题 三角形外角性质与外角和 能利用外角定理进行角度计算与大小比较 重难点考点，角度综合计算高频出题，易错点为混淆相邻外角与不相邻内角关系 三角形的高、中线、角平分线概念与性质 能识别三种线段，熟练运用其几何性质进行推理与计算 综合考点，中线常结合面积考查，高易因不同三角形高的位置判断出错 知识点01 三角形的相关概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。 三角形可用符号“”表示，若三角形三个顶点分别为，则记作，读作三角形。 知识点02 三角形的分类 1.按边分类 三边都不相等的三角形、等腰三角形（包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。 2.按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形； 直角三角形：有一个内角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。 知识点03 三角形的稳定性与三边关系 一、三角形的稳定性 三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就固定不变，这一性质就是三角形的稳定性。 四边形以及边数更多的多边形不具备稳定性；若想让多边形具备稳定性，可将多边形分割成若干个三角形。 二、三角形三边关系 基本定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 常用结论：设三角形三边长为，则。 三边关系实际应用 1.判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段即可。 2.已知三角形两条边长为，可利用公式确定第三边的取值范围。 3.根据周长计算三角形边长时，若求出多组结果，必须结合三边关系检验，排除无法构成三角形的情况。 知识点04 三角形的内角与外角 一、三角形内角和定理 三角形的三个内角相加和为。 推论：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角相加等于。 内角和定理应用 1.已知三角形其中两个内角度数，可直接求出第三个内角的度数。 2.已知三个内角的比例关系，可结合内角和求出每个内角的具体度数。 3.在直角三角形中，已知一个锐角度数，就能求出另一个锐角的度数。 二、三角形外角相关定理 三角形的外角和为。 三角形外角的性质 1.三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。 2.三角形的一个外角，大于任意一个与它不相邻的内角。 知识点05 三角形的高、中线、角平分线 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 几何表示：若是中边上的高，则。 图形： 主要作用：得到垂直关系、判定直角、计算角度。 2.三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 几何表示：若是中边上的中线，则，且。 图形： 主要作用：平分线段、平分三角形面积。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 几何表示：若是中的角平分线，则。 图形： 主要作用：平分角、推导相等角度。 题型一 三角形的识别与有关概念 例1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，若，则，其依据是___________． 变式1-2．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 题型二 三角形的个数问题 例2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 变式2-1．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2-2．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 变式2-3．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 题型三 构成三角形的条件 例3．下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 变式3-1．下列各组条件中，不能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3-2．在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 题型四 三角形的分类 例4．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 变式4-1．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 变式4-2．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 变式4-3．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 题型五 确定第三边的取值范围 例5．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式5-1．三角形的两边长分别为1和5，则第三条边a的取值范围是________． 变式5-2．小明同学计划从一堆木条中取出三根来拼接成一个三角形，若他选择了长度（单位：分米）为3和4的两根木棒，那么第三根木棒的长度不能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-3．已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 题型六 三角形三边关系的应用 例6．已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(     ) A． B． C． D． 变式6-1．如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（    ） A．只有截①可以 B．只有截②可以 C．截①②都可以 D．截①②都不可以 变式6-2．在青少年机器人越野竞赛中，参赛机器人需要沿着三角形赛道完成绕行任务.组委会已经设定好赛道的两条边，长度分别为8米和15米，第三条边的长度为整数．为保证机器人能正常行驶，第三条边的长度不可能是（     ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 变式6-3．如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 题型七 三角形内角和定理的证明 例7．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 变式7-1．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 变式7-2．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 变式7-3．（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 例8．实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 变式8-1．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式8-2．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 变式8-3．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 例9．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 变式9-1．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 变式9-2．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 变式9-3．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 题型十 三角形折叠中的角度问题 例10．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 变式10-1．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式10-2．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 变式10-3．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 题型十一 三角形的外角定义及性质 例11．一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 变式11-1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，使两个三角尺的斜边平行，则（     ） A． B． C． D． 变式11-2．如图，与、分别交于点、，则______ 变式11-3．将含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 例12．如图，是边上的一点，连接，． (1)是的__________； (2)根据图中数据，求的度数． 变式12-1．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 变式12-2．如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 变式12-3．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 题型十三 画三角形的高 例13．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 变式13-1．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 变式13-2．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 变式13-3．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 题型十四 重心的概念 例14．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 变式14-1．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 变式14-2．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 变式14-3．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 题型十五 根据三角形中线求长度 例15．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 变式15-1．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 变式15-2．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 变式15-3．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 题型十六 根据三角形中线求面积 例16．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式16-1．如图，是的中线．若，则_____． 变式16-2．如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式16-3．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 例17．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 变式17-1．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 变式17-2．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是的高，则．当，，时，的长为______． 变式17-3．如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列长度的4组细木棒中，能摆成一个三角形的是（     ） A．1，2，3 B．6，3，5 C．4，4，9 D．2，6，10 2．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 7．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 8．如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 9．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 10．如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 4．如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 5．如图，在中，是高，是角平分线， (1)求的度数； (2)求的度数； (3)试探究与之间的数量关系（)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．如图，在中，为中点，点、分别在、边上，且满足，，连接、，若的面积为，则四边形的面积为____． 3．如图，、是的中线，若的面积为1，则四边形的面积为______． 4．如图，点C为直线外一点，，连接，，点D，E分别是，的中点，连接，交于点F，已知图中阴影部分的面积为4．线段长的最小值为________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $