专题02 相交线与平行线（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 命题 题型二 真假命题 题型三 举反例 题型四 对顶角 题型五 垂线 题型六 画垂线 题型七 同位角、内错角、同旁内角 题型八 平行公理 题型九 用直尺、三角板画平行线 题型十 利用平行线间距离解决实际问题 题型十一 平行线的判定 题型十二 平行线的性质 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 补全平行线的判定证明题 题型十七 根据平移的性质求解 题型十八 利用平移解决实际问题 题型十九 平移作图 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 命题改写、真假命题与逆命题判断 能熟练把任意命题改写成“如果…那么…”标准形式，能精准拆分题设和结论，会列举反例证明假命题，正确写出已知命题的逆命题 选择题高频基础考点，易错点是误以为原命题为真，逆命题也必然为真，期末频繁设置正误辨析陷阱 对顶角概念与性质应用 能根据两条直线相交的条件识别成对的对顶角，灵活借助对顶角相等完成角度换算与求值 选择、填空题必考内容，常见易错误区是直接判定相等的角就是对顶角 垂线定义、垂线段性质与点到直线的距离 能规范标注垂直符号，运用垂线段最短解决实际路径最短问题，清晰区分垂线段图形和点到直线的距离（线段长度） 常结合生活情境出题，最容易混淆垂线段和距离的概念，是试卷高频易错点 平行线定义、基本事实和平行传递性 能完整复述平行线的三个限定条件，依据平行公理及其推论判断同一平面内两直线位置关系 小题常设文字陷阱，命题经常省略“同一平面内”关键条件用来误导判断 三线八角（同位角、内错角、同旁内角）识别 能依托F、Z、U的图形特征，在多线条组合的复杂图形中快速分辨三类角 期末必考基础题型，多条截线叠加时，学生极易找错被截直线，混淆角的位置 平行线的判定与性质及几何书写 能分清判定（由角证平行）、性质（由平行求角）的逻辑区别，规范书写几何推理过程，完成综合角度计算题 本单元解答题核心考点，普遍易错颠倒因果，混用判定与性质的推理逻辑 平移的性质与平移作图 能利用平移前后边角不变的性质进行计算，按照定、找、作、连四步骤规范画出平移后的图形 选择搭配作图题考查，易错问题为平移方向看错、平移距离取值出错 知识点01 命题相关知识点 1.命题组成 命题由条件（题设）和结论两部分构成，常改写为“如果……，那么……”格式，“如果”后是条件，“那么”后是结论。 例：对顶角相等→如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 2.真命题、假命题 （1）真命题：条件成立，结论一定成立； （2）假命题：条件成立，结论不一定成立，举反例即可证伪。 例：相等的角是对顶角（假命题），反例：两直角相等，但不一定是对顶角。 3.原命题与逆命题 互换条件和结论得到逆命题；原命题和逆命题真假无必然联系。 例：原命题：对顶角相等（真），逆命题：相等的角是对顶角（假）。 知识点02 相交线 （一）对顶角 1.定义：两条直线相交，一个角两边是另一角两边反向延长线，两角互为对顶角（成对出现）。 2.性质：对顶角相等。 例：如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 易错：相等的角不一定是对顶角。 （二）垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或垂直于点. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点03 平行线 1.平行线定义 同一平面内不相交的两条直线记作；缺少“同一平面”表述错误，异面直线不相交也不平行。 同一平面两直线位置：相交、平行。 基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；平行传递性：同平行于一条直线的两直线互相平行。 2.平行线画法（一落二靠三推四画） 落：三角板一边贴直线；靠：直尺紧靠三角板；推：平移三角板；画：描出平行线。 知识点04 认识三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点05 平行线的判定 判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴（同位角相等，两直线平行） 判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ （内错角相等，两直线平行） ， 判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180°， ∴（同旁内角互补，两直线平行） 知识点06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵ ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵，∴（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） 知识点07 图形的平移 1.平移定义 图形沿某一直线整体移动，两大要素：平移方向、平移距离。 特点：只改变位置，形状、大小完全不变。 2.平移性质 ①新图与原图全等，对应边、对应角分别相等； ②对应点连线平行（或共线）且长度相等。 3.平移作图四步骤 定（平移方向、距离）→找（原图关键点）→作（画出各关键点对应点）→连（顺次连接对应点）。 题型一 命题 例1．对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 变式1-1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 变式1-2．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 变式1-3．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 题型二 真假命题 例2．下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 变式2-1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 变式2-2．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 变式2-3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 题型三 举反例 例3．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 变式3-1．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 变式3-2．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 变式3-3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 题型四 对顶角 例4．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 变式4-1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 变式4-2．为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是________________． 变式4-3．如图，直线与相交于，．若，求的度数． 题型五 垂线 例5．如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 变式5-1．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 变式5-2．如图，在直线外有一点，点到直线的距离是7，点在直线上，连接，则的长可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 变式5-3．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 题型六 画垂线 例6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 变式6-1．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．如图，已知直线和直线外一点C．（保留作图痕迹，不写作法） (1)尺规作图：过点C作直线； (2)用三角尺过点C画直线于点E． 题型七 同位角、内错角、同旁内角 例7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 变式7-1．下列英文大写字母中，不含有同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 变式7-2．两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 变式7-3．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 题型八 平行公理 例8．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 变式8-1．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 变式8-2．如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 变式8-3．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 题型九 用直尺、三角板画平行线 例9．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 变式9-1．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 变式9-2．如图是小华过直线外一点画这条直线的平行线的方法，其中判定直线的理由是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 变式9-3．如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 题型十 利用平行线间距离解决实际问题 例10．如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 变式10-1．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 变式10-2．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 变式10-3．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 题型十一 平行线的判定 例11．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 变式11-1．如图，在下列给出的条件中，能判定的个数（    ） ①．   ②．    ③．   ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式11-2．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（     ）．    A． B． C． D． 变式11-3．按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 题型十二 平行线的性质 例12．如图，，平分，交延长线于点，交于点，如果，与相等吗？为什么？ 变式12-1．当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式12-2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，已知，．若，求的度数． 变式12-3．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 变式13-1．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 变式13-2．如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图示方式摆放，则对与的关系描述正确的是（    ） A．与互补 B． C．与互余 D． 变式13-3．如图，已知，点E，F分别在，上，点G在，之间，连接，． (1)如图1，试写出，和满足的等式关系，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点H，试写出，和满足的等式关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的基础上，过点H作 ，和 的平分线交于点Q，试写出 和满足的等式关系，并说明理由． 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 变式14-1．已知：如图，点、、、都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 变式14-2．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_____． 变式14-3．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 例15．下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台保持水平平行． (1)如图1，若，，求的度数； (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆上选取加固点，加装支架，并将支架另一端连接至支撑杆向车身前方的延长段上，如图2，使支架与工作篮底部平行．若，，求此时的度数． 变式15-1．图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 变式15-2．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为．灯杆与底部支架所成锐角的度数为______． 变式15-3．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 题型十六 补全平行线的判定证明题 例16．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 变式16-1．如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 变式16-2．如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 变式16-3．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 题型十七 根据平移的性质求解 例17．如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 变式17-1．如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（     ）    A．点D B．点E C．点F D．点G 变式17-2．如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 变式17-3．如图，将直角三角形沿刻度尺向右平移至三角形的位置，已知点A到点的距离为3，的长度为2．若点C对应刻度尺上的数值为2.5（刻度尺上数值从左到右逐渐增大），则点对应刻度尺上的数值为______． 题型十八 利用平移解决实际问题 例18．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 变式18-1．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 变式18-2．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 变式18-3．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 题型十九 平移作图 例19．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 变式19-1．作一个边长为的正方形，然后分别作出将该正方形向北偏东方向平移，以及将该正方形向正东方向平移后的图形． 变式19-2．正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 变式19-3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、、） (2)图中与相等的角是______． (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·26七年级下·重庆·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 4．（2025·26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26七年级下·安徽亳州·期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 6．（2025·26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 7．（2024·25七年级下·宁夏银川·期末）如图：完成说理填空． (1)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (2)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (3)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）． 8．（2025·26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2026·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·26七年级上·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 11．（2025·26七年级下·河北石家庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2025·26七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，和中，，．则下列结论： ①        ② ③若，则    ④若则 其中正确的是___________．（填序号） 13．（2026·河北张家口·三模）如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（2025·26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 15．（2025·26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 16．（2025·26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 17．（2024·25七年级下·广西南宁·阶段检测）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 命题 题型二 真假命题 题型三 举反例 题型四 对顶角 题型五 垂线 题型六 画垂线 题型七 同位角、内错角、同旁内角 题型八 平行公理 题型九 用直尺、三角板画平行线 题型十 利用平行线间距离解决实际问题 题型十一 平行线的判定 题型十二 平行线的性质 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 题型十六 补全平行线的判定证明题 题型十七 根据平移的性质求解 题型十八 利用平移解决实际问题 题型十九 平移作图 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 命题改写、真假命题与逆命题判断 能熟练把任意命题改写成“如果…那么…”标准形式，能精准拆分题设和结论，会列举反例证明假命题，正确写出已知命题的逆命题 选择题高频基础考点，易错点是误以为原命题为真，逆命题也必然为真，期末频繁设置正误辨析陷阱 对顶角概念与性质应用 能根据两条直线相交的条件识别成对的对顶角，灵活借助对顶角相等完成角度换算与求值 选择、填空题必考内容，常见易错误区是直接判定相等的角就是对顶角 垂线定义、垂线段性质与点到直线的距离 能规范标注垂直符号，运用垂线段最短解决实际路径最短问题，清晰区分垂线段图形和点到直线的距离（线段长度） 常结合生活情境出题，最容易混淆垂线段和距离的概念，是试卷高频易错点 平行线定义、基本事实和平行传递性 能完整复述平行线的三个限定条件，依据平行公理及其推论判断同一平面内两直线位置关系 小题常设文字陷阱，命题经常省略“同一平面内”关键条件用来误导判断 三线八角（同位角、内错角、同旁内角）识别 能依托F、Z、U的图形特征，在多线条组合的复杂图形中快速分辨三类角 期末必考基础题型，多条截线叠加时，学生极易找错被截直线，混淆角的位置 平行线的判定与性质及几何书写 能分清判定（由角证平行）、性质（由平行求角）的逻辑区别，规范书写几何推理过程，完成综合角度计算题 本单元解答题核心考点，普遍易错颠倒因果，混用判定与性质的推理逻辑 平移的性质与平移作图 能利用平移前后边角不变的性质进行计算，按照定、找、作、连四步骤规范画出平移后的图形 选择搭配作图题考查，易错问题为平移方向看错、平移距离取值出错 知识点01 命题相关知识点 1.命题组成 命题由条件（题设）和结论两部分构成，常改写为“如果……，那么……”格式，“如果”后是条件，“那么”后是结论。 例：对顶角相等→如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 2.真命题、假命题 （1）真命题：条件成立，结论一定成立； （2）假命题：条件成立，结论不一定成立，举反例即可证伪。 例：相等的角是对顶角（假命题），反例：两直角相等，但不一定是对顶角。 3.原命题与逆命题 互换条件和结论得到逆命题；原命题和逆命题真假无必然联系。 例：原命题：对顶角相等（真），逆命题：相等的角是对顶角（假）。 知识点02 相交线 （一）对顶角 1.定义：两条直线相交，一个角两边是另一角两边反向延长线，两角互为对顶角（成对出现）。 2.性质：对顶角相等。 例：如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 易错：相等的角不一定是对顶角。 （二）垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或垂直于点. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 如图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 知识点03 平行线 1.平行线定义 同一平面内不相交的两条直线记作；缺少“同一平面”表述错误，异面直线不相交也不平行。 同一平面两直线位置：相交、平行。 基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；平行传递性：同平行于一条直线的两直线互相平行。 2.平行线画法（一落二靠三推四画） 落：三角板一边贴直线；靠：直尺紧靠三角板；推：平移三角板；画：描出平行线。 知识点04 认识三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点05 平行线的判定 判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴（同位角相等，两直线平行） 判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ （内错角相等，两直线平行） ， 判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180°， ∴（同旁内角互补，两直线平行） 知识点06 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵ ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵，∴（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵，∴（两直线平行，同旁内角互补） 知识点07 图形的平移 1.平移定义 图形沿某一直线整体移动，两大要素：平移方向、平移距离。 特点：只改变位置，形状、大小完全不变。 2.平移性质 ①新图与原图全等，对应边、对应角分别相等； ②对应点连线平行（或共线）且长度相等。 3.平移作图四步骤 定（平移方向、距离）→找（原图关键点）→作（画出各关键点对应点）→连（顺次连接对应点）。 题型一 命题 例1．对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， “如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论， ∴题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 变式1-1．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 变式1-2．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 变式1-3．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 题型二 真假命题 例2．下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】D 【详解】解：选项A、两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故A是假命题； 选项B、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两直线平行，故B是假命题； 选项C、点P到直线m的距离是这条垂线段的长度，不是垂线段本身，故C是假命题； 选项D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，故D是真命题． 变式2-1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 变式2-2．下列命题中是真命题的是（  ） A．邻补角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除 【答案】B 【详解】A、邻补角和为，不一定相等， A是假命题，不符合题意； B、对顶角的性质为对顶角相等， B是真命题，符合题意； C、只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题缺少前提条件， C是假命题，不符合题意； D、举反例：能被整除，但不能被整除，D是假命题，不符合题意． 变式2-3．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 题型三 举反例 例3．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 变式3-1．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 变式3-2．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：若成立，则． 即当时，命题为真命题， 要使命题为假命题，只需满足，如（答案不唯一）． 变式3-3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 题型四 对顶角 例4．如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 【答案】/130度 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 变式4-1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 变式4-2．为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是________________． 【答案】对顶角相等 【详解】解：∵与是对顶角， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 变式4-3．如图，直线与相交于，．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 解得． 所以． 题型五 垂线 例5．如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵， ∴直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知住在小区M的居民选择路线去A水站购买桶装水最近． 变式5-1．如图，从村庄到公路共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离近的理由是（     ） A．过一点可以作无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短． ∴居民选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短． 变式5-2．如图，在直线外有一点，点到直线的距离是7，点在直线上，连接，则的长可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵点到直线的距离是7， ∴， 只有D在范围内． 变式5-3．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 题型六 画垂线 例6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． 变式6-1．如图，过点P画出射线或线段的垂线，以下画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线的定义可知，只有C选项中的画图正确，符合题意． 变式6-2．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 变式6-3．如图，已知直线和直线外一点C．（保留作图痕迹，不写作法） (1)尺规作图：过点C作直线； (2)用三角尺过点C画直线于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求 题型七 同位角、内错角、同旁内角 例7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【详解】解：．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与不是同位角，说法错误，故该选项不符合题意； ．与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； ．与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 变式7-1．下列英文大写字母中，不含有同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察可知，D选项的字母，只有两条直线，不存在同旁内角；A，C，B中都含有同旁内角． 变式7-2．两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（     ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、 和是同位角的关系； B、和是内错角的关系； C、和是内错角的关系； D、和是同旁内角的关系． 变式7-3．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 【答案】同位角 【详解】解：由图可知，与是同位角． 题型八 平行公理 例8．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 变式8-1．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】解：根据平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，因此该命题是真命题. 变式8-2．如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 变式8-3．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由图可知，点在直线外， ∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴， ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴， ∴． 题型九 用直尺、三角板画平行线 例9．我们知道，利用三角尺和直尺可以画出直线，正确的操作顺序为______． ①按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺： ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③沿三角尺的边作出直线； ④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． 【答案】④②①③ 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线 的步骤如下： 第一步：作直线 ，并用三角尺的一条边贴住直线 ，对应步骤④； 第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边，固定直尺作为滑动的轨道，对应步骤②； 第三步：按住直尺保持不动，并沿直尺下移三角尺，利用平移的性质保证同位角相等，对应步骤①； 第四步：沿三角尺的边作出直线 ，此时 ，对应步骤③． 综上所述，正确的操作顺序为④②①③． 变式9-1．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　） A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行． 变式9-2．如图是小华过直线外一点画这条直线的平行线的方法，其中判定直线的理由是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【详解】解：由平行线的画法可知，与相等，且与是一对同位角， 所以画法的依据是：同位角相等，两直线平行． 变式9-3．如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图，射线，即为所求． 题型十 利用平行线间距离解决实际问题 例10．如图，，若的面积等于8，则的面积等于_________． 【答案】8 【详解】解：， 和同底等高， ． 变式10-1．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴边上的高与边上的高相等（平行线间的距离处处相等）， ∴（“同底等高”的三角形面积相等）． 变式10-2．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【详解】直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， 和是等底等高的两个三角形， ． 变式10-3．如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 题型十一 平行线的判定 例11．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 变式11-1．如图，在下列给出的条件中，能判定的个数（    ） ①．   ②．    ③．   ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，； ，； ，； ，； 综上所述，能判定的个数是个． 变式11-2．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（     ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，利用内错角相等、两直线平行 可判定 ，故本选项符合题意； B．，利用同位角相等、两直线平行 可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意； C．，利用同旁内角互补、两直线平行 可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意； D．，利用内错角相等、两直线平行可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意． 变式11-3．按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知） ∴（依据：垂直的定义） ∵（已知） ∴（依据：同角的余角相等） ∴（依据：内错角相等，两直线平行） 题型十二 平行线的性质 例12．如图，，平分，交延长线于点，交于点，如果，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式12-1．当光从空气中斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图所示，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． ， ． 变式12-2．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，已知，．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ， ∴， ∴． 变式12-3．如图，已知，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点，，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 例13．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式13-1．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 变式13-2．如图，直尺的对边平行，将一个直角三角板按图示方式摆放，则对与的关系描述正确的是（    ） A．与互补 B． C．与互余 D． 【答案】B 【详解】解：记三角板的直角为， 根据直尺的对边平行以及两直线平行，内错角相等， 可得，即． 变式13-3．如图，已知，点E，F分别在，上，点G在，之间，连接，． (1)如图1，试写出，和满足的等式关系，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点H，试写出，和满足的等式关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的基础上，过点H作 ，和 的平分线交于点Q，试写出 和满足的等式关系，并说明理由． 【答案】(1) ；理由见解析 (2) ；理由见解析 (3) ；理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：，理由如下： 过点G作． ∵， ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． （2）解： ，理由如下： 由（1）同理可得 ． ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴ ． （3）解：，理由如下： 设 ， ． ∵ ，平分， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ． ∴由（1）同理可得 ， ， ∴  ． 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 例14．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， 又， ， ； （2）解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 变式14-1．已知：如图，点、、、都在的边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)， 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 变式14-2．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 变式14-3．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 【答案】8或20 【详解】解：如图1时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 如图2时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 综上可知，边与平行的时间为或． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 例15．下面是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台保持水平平行． (1)如图1，若，，求的度数； (2)为提升作业时的结构稳定性，工人在支撑杆上选取加固点，加装支架，并将支架另一端连接至支撑杆向车身前方的延长段上，如图2，使支架与工作篮底部平行．若，，求此时的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】拐点问题常用辅助线：过拐点作平行线． 变式15-1．图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图2， ∵，平分， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 变式15-2．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，顶部支架与灯杆所成锐角的度数为，与所成锐角的度数为．灯杆与底部支架所成锐角的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：如图，过点作． ， ， ，． ， ， 又∵， ， 解得： 变式15-3．自行车尾灯内部的角反射器由平面镜组成，其工作原理如图所示，当光线射向镜面时，经过两次反射，光线沿平行于的方向射出（此时，）．若，则的度数为__________． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型十六 补全平行线的判定证明题 例16．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 变式16-1．如图，下列三个条件：①；②；③．从中任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，并写出证明过程． 条件： ，结论： ．（填序号） 证明： 【答案】见解析 【分析】 【详解】答案不唯一 （一）条件：①②    结论：③ 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （二）条件：①③结论：② 证明：∵ ∴ ∵ ∴ （三）条件：②③结论：① 证明：∵， ∴ ∴． 变式16-2．如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　　　，结论是　　　　（填写序号）； (2)证明上述命题． 【答案】(1)①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一） (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或者选择条件是①③，结论是②；或者选择条件②③，结论是①． 故答案为：①②，③；（或①③，②；或②③，①答案不唯一）． （2）解：若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： ，， ， ， ． ∵， ， ∴ ∴， ， ， ． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 延长、交于点， ∵， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式16-3．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 题型十七 根据平移的性质求解 例17．如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴. 变式17-1．如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（     ）    A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【详解】解：设小正方形的边长为1．观察图形可知，从点到点，水平方向向右移动个单位，竖直方向向下移动个单位．  直线，点在直线上， 从点出发，向右移动个单位，向下移动1个单位，应到达直线上的另一个格点．观察图形，点向右格、向下格恰好到达点． 直线可能经过点． 变式17-2．如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 【答案】/16厘米 【详解】解：∵四边形的周长是， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∴，即， ∴三角形的周长是 ． 变式17-3．如图，将直角三角形沿刻度尺向右平移至三角形的位置，已知点A到点的距离为3，的长度为2．若点C对应刻度尺上的数值为2.5（刻度尺上数值从左到右逐渐增大），则点对应刻度尺上的数值为______． 【答案】3.5 【详解】解：∵直角三角形沿刻度尺向右平移至三角形的位置，点A到点的距离为3， ∴平移的距离为， ∴， ∵点C对应刻度尺上的数值为2.5（刻度尺上数值从左到右逐渐增大）， ∴点对应刻度尺上的数值为， 由平移的性质得， ∴点对应刻度尺上的数值为． 题型十八 利用平移解决实际问题 例18．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 【答案】 【详解】解：由题意得： 绿化的面积为． 变式18-1．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 【答案】C 【详解】解：利用平移的性质，将图中的两条小路分别平移到长方形的边缘（例如最下方和最左侧），则剩余的绿化部分可以拼成一个新的长方形， 新长方形的竖直边长为，水平边长为， 花园中可绿化部分的面积为． 变式18-2．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：绿化区的面积是：． 变式18-3．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，道路的总长为． 题型十九 平移作图 例19．如图，每个小正方形边长都相等，三角形的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上． (1)平移三角形使顶点平移到点的位置，得到三角形，请在图中画出三角形．（注：点的对应点为点，点的对应点为点） (2)若直线与直线相交于点，则与的大小关系是_____，依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)相等； 两直线平行，内错角相等 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴与的大小关系是相等，依据是两直线平行，内错角相等． 变式19-1．作一个边长为的正方形，然后分别作出将该正方形向北偏东方向平移，以及将该正方形向正东方向平移后的图形． 【答案】 【详解】略 变式19-2．正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)平行且相等 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，直线即为所求平行线； （3）解：如图， ∵由平移得到， ∴，且，即与之间的关系是平行且相等． 变式19-3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、、） (2)图中与相等的角是______． (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：与相等的角是． （3）解：图中与相等的线段有． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 2．（2025·26七年级下·重庆·期中）如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 3．（2025·26年级下·四川泸州·期末）有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 4．（2025·26七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 5．（2025·26七年级下·安徽亳州·期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，，转动木条a．当______°时，木条a与b平行． 【答案】70 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 6．（2025·26七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知点，，都在格点上．利用网格画出下列各图． (1)在图中标出格点，使得，并画出； (2)在图中标出格点，使得，并画出标出垂足． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，点即为所求： 7．（2024·25七年级下·宁夏银川·期末）如图：完成说理填空． (1)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (2)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）， (3)若，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ ， ____________（____________）． 【答案】(1) ，，内错角相等，两直线平行， (2) ，，同旁内角互补，两直线平行 (3) ，，平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】 【详解】（1）解：， （内错角相等，两直线平行）； （2）解：， （同旁内角互补，两直线平行）； （3）解：， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 8．（2025·26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴． ， ， ． ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2026·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（2025·26七年级上·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 11．（2025·26七年级下·河北石家庄·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 12．（2025·26七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，和中，，．则下列结论： ①        ② ③若，则    ④若则 其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 令与的交点为M，如图 ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 13．（2026·河北张家口·三模）如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 【答案】 【详解】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（2025·26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：；；设，则；，其中，正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由知， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，故正确，符合题意； 综上可知，正确． 15．（2025·26七年级下·全国·期末）已知：如图1，直线，被直线所截，． (1)试说明：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、 ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：设与相交于点O，与交于点K， 因为，， 所以， 所以； (2)①360； ②．理由：过点E向右作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以， 同理可证：． 因为，，，， 所以， 所以， 所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）①解：过点E向右作 因为， 所以， 所以， 所以 因为 所以； ②略 16．（2025·26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】(1) (2)①②见解析 【分析】 【详解】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 17．（2024·25七年级下·广西南宁·阶段检测）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $