第五章《 图形的轴对称》章节综合测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本章综合测试卷聚焦图形的轴对称，通过选择、填空、解答题（30+24+66分）覆盖概念、性质及应用，结合文化与生活情境，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、折叠性质、最短路径|以“沙磁文化日”图案、剪纸折叠为情境，考查空间观念| |填空题|8/24|角平分线与垂直平分线、光的反射、网格对称|多次折叠角度计算、添加正方形使成轴对称，体现创新意识| |解答题|10/66|折叠探究、尺规作图、最短路径应用|将军饮马模型应用（饮马、水厂选址）、综合证明，培养推理能力与模型意识|

第五章《图形的轴对称》章节综合测试卷 一、选择题(10小题，每小题3分，共30分) 1.为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”.下列文字图案 中，是轴对称图形的是() 沙袭文化 2.剪纸是我国传统民间艺术之一.嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线 对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是() 图3 ● 0 A B 0 0 C D. 3.如图， 在正方形网格中，点A,B为格点，点P为直线1上的动点，则使PA+PB的值为最小 的点是() B PP Ps P A.P B.B C.P D.P 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点 E恰好落在边AC上.若LADE=30°，则∠A的大小是() B D A.30° B.40° C.50° D.60° 5.如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为【；第2次碰到长方形的边时落 脚点为E,;第2025次落脚点为() A. J HGFE DCBA Z C -↓--」W Dk--- E r-1U T G H JRLMNòP0R A.D B./ C.E D.V 6.虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近4：10的是( A 7.已知四边形ABCD为长方形.如图1，点E在线段CD上，将其沿BE折叠得到图2，BC',EC'分 别交AD于G,H,再将△C'GH沿GH折叠得到图3，点C"恰好落在线段BE上.若LEBC=a,则 ∠C"HE=() 图1 图2 图3 A.180°-4a B.4a C.90°-2a D.2a 8.如图，地面上有不在同一直线上的A,B,C三点，一只青蛙位于地面异于A,B,C的P点， 第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P,第二步从P跳到P关于B的对称点B,第三步从跳 到B关于C的对称点P,第四步从P跳到P关于A的对称点P以下跳法类推，青蛙至少跳几 步回到原处P.() A· •B P C· A.4 B.5 C.6 D.8 9.如图，RtAABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点， 则DE+EF+FD的最小值是() B E A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6 10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相 交于点F,H是BC边的中点，DH与BE交于点G.某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论： ①△BDF≌△CDA;②DH⊥BC;③GD=GH;④BF=2CE.上述结论一定正确的是() D G B H C A.①③ B.②④ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题(8小题，每小题3分，共24分) 11,如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直平分AB,垂足为点D,连接CE, LB=50°，则∠BCE的度数为 b 12.如图是光的反射示意图，其中PO是入射光线，00是反射光线，法线K0⊥MN.若∠1=50 ,则∠2的度数为 13.如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿EF所在直线折叠，LAED'=110°，将图①纸 带继续沿BF所在直线折叠成图②，则∠EFC= D D H --C D' D' 图① 图② 14.如图，P为∠AOB内一定点，M,N分别是射线OA,OB上的点，当△PMN的周长最小时， ∠NPM=50°，则∠AOB= A -B 15.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中， 使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种. 16.如图，∠AOB=45°，点M,N分别在射线OA,OB上，MN=10,△OMN的面积为20，点P是直线 MN上的动点，点P关于OA对称的点为B,点P关于OB对称的点为B.当点P在直线MN上运 动时，△OP的面积最小值为 N B P 17.小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家.如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A, B两点到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD.若点A到河岸CD的中点的距离为1000m, 则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是 m. B 一河 C 18.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点C作CD⊥AD,AD交BC于点G,DE∥AB交AC于点 E,作LBCA的平分线CF交AD于点P,交AB于点F,若∠B=60°，下列结论： ①LPCD=30°；②LAFC+LDCG=90°；③BG=AE;④AC=AF+CG;⑤SAAPE+SACPG=SAAPC.其 中正确的是 B G D E 三、解答题(10小题，共66分) 19.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C、D的位置，CD交BC于 点G,再将△CFG沿FG折叠，点C落在C"的位置(C"在折痕EF的左侧). E D D G (1)如果∠FED'=65°，求∠EFC的度数： (2)如果∠AED'=40°，则LEFC"=°； (3)探究∠EFC"与∠AED的数量关系，并说明理由. 20.如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然后回到B地.牧民到河边的什 么地方饮马可使所走的路程最短？ B R 图① 图② 图③ 图④ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线1的对称点B,连 接AB'与直线1交于点P,点P就是饮马的位置. 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线1的对称点B,连接AB与直线1交于点P,在直线1上任取 一点P(与点P不重合)，连接BP 点B与点B关于直线1对称 ∴.PB= ,P'B= ； AP+PB=AP+PB'≥ 当A,P,B三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就 是饮马的位置. (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD上建一水 厂P,并从水厂向两村铺设管道以输送自来水，请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设 管道的长度最短.（保留作图痕迹，不写作法） 21.图1是一个平分角的仪器，其中OD=0E,FD=FE. (O) 4X0) DS D E D B IP 图1 图2 图3 (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画 射线交BC于P,则AP是∠BAC的平分线，说明理由； (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于Q,若AB=7,AC=5,PQ=1,求△ABC的 面积. 22.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E. D EB (1)若∠ADC+∠ABC=180°，求证：AD+ABE2AE; (2)若AD+AB=2AE,求证：CD=CB. 23.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在△ABC中. B (1)作∠BAC的角平分线交BC于点D: (2)作AC边上的垂直平分线I交AD于点E: (3)连接EC,若∠B=55°，∠BCA=60°，则∠AEC= 24.如图是由相同的小正方形组成10×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.长方台球桌 ABCD的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P,Q处. D 图1 图2 (1)在图1中，先在边BC上画点E,使EQ1P2,再在边AD上画点F,使∠FPQ=135°； (2)在图2中，先在边CD上画点G,连接PG,QG,使∠PGD=∠QGC,再画一条路径，使球两 次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球Q, 25.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三 角形)△ABC关于直线1对称的图形为△AB,C,其中A是A的对称点. (1)请作出对称轴1及△ABC关于直线I对称的△A,B,C; (2)如果每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为一； (3)在直线1上找到点P,使得PA+PB最小. 26.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，△A'B'C'和△A"B"C"关于直线EF对称 M B N (1)请用无刻度的直尺画出直线F(保留画图痕迹，不写画法). (2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB"与直线MN,EF所夹锐角a的数量关系. 27.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上一个点，PE∥AB,交BC于点E, PF∥AC,交BC于点F. B (1)求证：点D到PE和PF的距离相等； (2)若AB:AC=3:2,且△ADB的面积是15，求△ADC的面积. 28.综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出 数学模型：直线1同侧有两个定点A,B,在直线1上存在点C,使得CA+CB的值最小. 小明的作法是：如图2，作点B关于直线1的对称点B,连接AB',则AB'与直线1的交点即为 点C,且CA+CB的最小值为AB的长， B 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C,连接AC', BC',B'C',证明AC+BC<AC'+BC'即可. (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=6, AC=5,BC=8,则△APC周长的最小值为 ； (3)如图5，已知LM0N=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB 的周长取最小值时，∠APB的大小为 度. 参考答案 一、选择题 1.C 解：A,不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，故该选项符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意. 2.A 解：A、 中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B 中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 0 中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A 3.B 解：如图所示：作点A关于直线1的对称点A;连接A,B,与直线1相交于点B,点B即为所 求； A P/BP 故选：B 4.B 解：，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上， LA8C=∠CED,∠BDC=∠EDC,∠BcD=∠BD-4CB, ADE=30°， ∠BDC=∠EDC-l80-309=75, AB=AC, ∴.∠ABC=LACB, ∠BCD=∠ECD-ABc, ∠ABC+∠BCD+∠BDC=180°， .∠ABC+∠ABC+75°=180°， .∠ABC=70°， .∴.∠ABC=∠ACB=70°， ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°. 故选：B. 5.B 解：如图所示， A.GFED CB AZ B- X 」W D---- V U Fi- JKLMNOPOR S 可知弹性小球经过8次碰到长方形的边后回到出发点D, 2025÷8=253…1, ∴.弹性小球第2025次落脚点为图中的点1， 故选：B· 6.A 解：A.墙上的时钟时间约为4：11，最接近4：10，符合题意； B.墙上的时钟时间约为3：54，不符合题意； C.墙上的时钟时间约为7：45，不符合题意； D.墙上的时钟时间约为8：06，不符合题意. 故选：A. 7.B 解：四边形ABCD是长方形， .∠C=90°，AD‖BC, 由折叠得：LEBC'=LEBC=a,∠BC'E=∠C=90°， ∴.∠CBC'=2a, ,AD‖BC, .'ZAGB=ZCBC'=2a, 由折叠aC'GH得ACGH,且C在BE上， ∴.∠C'GH=∠AGB=2a、∠GC'H=90°， .∴.∠C'HG=∠CHG=90°-2a ∴.∠C'HE=180°-∠C'HG-LC`HG=180°-(90°-2a)-90°-2a）=4a, 故选：B. 8.C 解：如图： P P P B P P 根据题意：A是P与P的中点；B是P与B的中点；C是B与B的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P 所以至少要跳6步回到原处P. 故选：C 9.C 解：如图作D关于直线AC的对称点M,作D关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD, DN,DM,EN,FM, B E N :LMCA=∠DCA,LBCD=LBCN,LBCD+LACD=90°， :∠DCN+∠DCM=180°， M、C、N共线， 根据对称的性质可知DE=EN,DF=MF, :DF DE EF FM EF EN :FM+EF+EN≥MN, :当F、E、M、N共线时，FM+EF+EN的值最小，即此时DF+DE+EF的值最小， 由对称性可知CD=CN=CM, :CM+CN =2CD 根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小， :当CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为2CD, BCD-BCAC. :CD=3x4=2.4 5 DE+EF+FD的最小值为4.8. 故选：C 10.C 解：：∠ABC=45,CD⊥AB, ∴∠BCD=∠ABC=45°， :BD =CD ,H是BC边的中点， .DH⊥BC,故②正确； :CD⊥AB,BE⊥AC, :∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°， ∠DBF=∠ACD, 在△BDFC和aCDA中， ∠DBF=∠ACD BD=CD, ∠BDF=∠CDA △BDF≌△CD(ASA),故①正确； :BF=AC :BE平分∠ABC,且BE⊥AC, ∠ABE=LCBE,∠AEB=∠CEB=90°， 在△ABE和△CBE中， I∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB ∴△ABE≌△CBE(ASA), AE-CE-TAC, :BF=2CE,故④正确； 如图，过点G作GK⊥AB于K, G B H :BE平分∠ABC,且BE⊥AC, .GK =GH 在R1aDGK中，GD>GK, .GH<GD,故③错误. 故选：C 二、填空题 11.10° 解：连接EB, D B .AB=AC,AE平分∠BAC, .AE垂直平分BC, ∴.EB=EC, ∴.LEBC=LECB, .∠ABC=50°， ∴.∠ACB=LABC=50°， ∴.∠BAC=180°-50°x2=80°， AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=40°， DE垂直平分AB, .AE EB .∴.LABE=∠BAE=40°， ∴.∠BCE=LEBC=LABC-∠ABE=50°-40°=10°. 12.50° 解：：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相 等， L2=∠1=50°. 故答案为：50°. 13.75° 解：根据题意，AD川BC,LAED'=110°， ∴.∠BHE=180°-LAED'=70°=∠DED', ∴.∠BHE=∠D'HF=70°， 折叠， ∠DEF=∠DEF=∠DED'=35,FC'IDE, 2 .∠DEF=∠EFB=35°，∠C'FH=180°-∠D'HF=180°-70°=110°， .∴.∠HFC'=∠HFC'=110°， ∴.∠EFC=∠HFC-∠EFB=110°-35°=75°， 故答案为：75°. 14.65° 解：如图，作P关于OA,OB的对称点P,P,连接OP,OP,PP.则当M,N是PP与OA,OB的交 点时，△PMN的周长最小. P,关于OA对称，∠NPM=50°， B P .∠POP=2∠MOP,OP=OP,PM=PM,∠OPM=∠OPM. 同理，∠POP=2∠NOP,OP=OP,∠OPN=∠OPN, ∴.∠POP=∠P0P+∠P,0P=2∠M0P+∠N0P)=2∠A0B. 又.0M=0M, .∴.aOMP≌aOMP(SAS), .∴.∠OPM=∠OPM, 同理可得∠OP,N=∠OPN, .∠0PM+∠0PN=∠MPN=50°， .∴.∠0PM+∠0PN=50°， ∴.∠P0P=180°-50°=130°， ∴.LA0B=65°. 15.4 解：如图所示. 图1 图2 图3 图4 这样的添法共有4种. 故答案为：4. 16.8 解：如图所示，连接OP,过点O作线段MW的垂线，交MN的延长线于点H. A P ,点P与点B关于OA对称，点P与点B关于OB对称， ∴.OP=OP,OP=OP,∠POA=∠POA,∠POB=∠POP, .'OPOP =OP, ∴.·∠AOB=45°，∠AOB=∠POA+∠POB, ∴.∠POP=∠POA+∠POA+∠POB+∠P,OB=2∠AOB=90°， ∴.△P0P,是个等腰直角三角形， S△gOR=2 r-og-or, ∴要使△POP面积最小，需要OP的值最小， 当OP垂直MN时，即OP与OH重合时，OP的值最小. :Sa=)MN-OH=20,MN=10,解得0H=4: △P0P面积的最小值为×42=8. 17.2000 解：如图，作点A关于CD的对称点A,连接AB与CD相交于点M,连接AM, B 河 M - A 根据轴对称可知AM=A'M, :AM +BM =A'M BM, ,两点之间线段最短， ∴.A'M+BM的值最小，即AM+BM的值最小， 小刚从A处到河里M处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小. 根据作图并结合题意可知LA'MC=∠BMD,LA'CM=LBDM=90°，AC=BD=A'C, 在△A'CM和△BDM中， I∠A'MC=∠BMD, ∠A'CM=∠BDM, A'C=BD, △A'CM≌aBDM(AAS), :A'M =BM,CM DM .M为CD的中点. ,点A到河岸CD的中点的距离为1000m, .AM=1000m, :AM A'M BM =1000m :A'B=1000+1000=2000(m. 故小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是2000m. 故答案为：2000. 18.①②④⑤ 延长CD,交AB的延长线于H,连接HP、HG,作PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PQ⊥BC于Q :AD⊥CH,即∠ADC=∠ADH=90°，∠HAD=∠CAD :∠AHC=∠ACH :AH=AC,即△ACH为等腰三角形 :CD=DH DEIlAB AE=CE,∠ADE=∠BAD .AD平分∠BAC .∠BAD=∠DAE .∠DAE=∠ADE .AE DE .AE=DE=CE :CD⊥AD,CD=DH ∴AD为HC的垂直平分线 .∠AHP=∠ACP,PC=PH ,∠BCA的平分线CP交AD于点P .LACP=∠BCF .∠AHP=LBCF .∠AHP+∠CFH=LBCF+∠CFH :180°-∠AHP+∠CFH=180°-（∠BCF+∠CFH .∠FPH=∠CBF CP=HP :.∠FPH=∠PCD+LPHD=2∠PCD ∠FPH=∠PCD+∠PHD=2LPCD ∠PCD=}∠CBF=30°，故①正确 2 ,AD平分∠BAC,作∠BCA的平分线CF交AD于点P,交AB于点F ∴.∠BAG=∠CAG,∠BCF=∠ACF ,CD⊥AD .∴.∠CAG+∠ACD=90° .∴.∠CAG+∠DCG+2∠ACF=90° ∴.∠DCG=90°-∠CAG-2∠ACF ,∠AFC=180°-2∠CAG-∠ACF .∴.∠DCG+∠AFC=90°-∠CAG-2∠ACF+180°-2∠CAG-∠ACF =270°-3∠CAG-3∠ACF .∠B=609 ∠CAG+∠ACF=180°∠B=60 2 ∴.∠DCG+∠AFC=270°-3∠CAG-3∠ACF=270°-3×60°=90°，故②正确 .∠PCD=30°=∠PHD ..∠CPD=∠HPD=60 ,CF为∠ACB的角平分线 HP为∠HG的角平分线 在△HFP和△HGP中 ∠FHP=∠GHP PH=PH ∠HPF=∠HPG=60 ∴△HFP=△HGP(ASA) .∴.HG=HF=CG,FP=GP ∴.CG+AF=HF+AF=AH=AC,故④正确 ,PM⊥AB,PN⊥AC,PQ⊥BC .∴.PM=PN=Pg 5w S.nCxPO 5.wCxP ∴S。APr+SCPG=S,APC,故⑤正确 故答案为：①②④⑤. H B D G N E 三、 解答题 19.(1)解：根据题意，得AD∥BC, ∴.∠DEF+∠EFC=180, 由折叠的性质得，∠FED'=65°， ∴.∠DEF=∠D'EF=65°， ∴.∠EFC=180°-∠DEF=115°； (2)解：，∠AED'=40°， ∴.∠DED'=180°-∠AED'=140°， 由(1)知：∠DEF=∠D'EF, .∠DEF=∠DEF=∠DED=70°， AD∥BC, .∴.∠EFC=180°-∠DEF=110°， 由折叠的性质得，∠EFC'=∠EFC=I10°， ∴.∠EFG=180°-∠EFC=70°， .∴.∠C'FG=∠EFC'-∠EFG=40°， 由折叠的性质得，∠C'FG=LC"FG=40°， ∴.∠EFC"=LEFG-LGFC"=30°. （3)解：Enc+号4n-0 理由：设LAED'=, .∠DED'=180°-∠AED'=180°-a, 由(1)知：∠DEF=∠D'EF, ∠DEF=LD'EF-DED180°二M 2 .AD∥BC, ∠EFC=180°-∠DEF=90°+2a, 由折叠的性质得∠EFC'=∠EFC=90°+)a, 2 1 .∠EFC=90°+5a, 2 .∠EFG=180°-∠EFC=90°- 0， 2 ∴.∠C'FG=∠EFC'-LEFG=a, 由折叠的性质得LC'FG=LC"FG=a, .∠EFC"=LEFG-∠GFC"=90-3a 2 :∠EFC"=90°-3∠AED', ∠EFC"+3∠ABD=90. 20.(1)解：如图③，作点B关于直线l的对称点B,连接AB'与直线1交于点P,连接B'P', BP', :PB=PB',P'B=P'B', AP+PB=AP+PB'≥AB', :当A,P,B三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点 P就是饮马的位置， 故答案为：PB,P'B,AB; (2)解：如图，作点A关于CD的对称点A,连接BA'交CD于点P,则点P即为所求的水厂位 置，使铺设管道的长度最短· B 21,(1)证明：在△0DF和a0EF中， OD=OE DF=EF OF=OF ∴.aODF≌aOEF(SSS), .∴.∠DOF=LEOF. .点0与点A重合， ∴.∠DAF=∠EAF, ∴.AP是∠BAC的平分线； (2)解：如图，过点P作PH⊥AC,交AC于点H. 4X0) D B p ,AP是∠BAC的平分线，PH⊥AC,PQ⊥AB,PQ=1, ∴.PQ=PH=1」 AB=7,AC=5, .SAAc=SAABP+S△ACn= 22.(1)如图1.延长AB到点M,使AE=ME. D EB -------M AE=EM,CE⊥AB, .'AC=CM ∴.∠2=LM. AC平分∠DAB, .∠1=∠2. ..∠1=∠M. ∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBM=I80°， .∴.LADC=LCBM. ∠1=∠M 在△ADC和△MBC中， ∠ADC=∠MBC, AC=MC .∴.△ADC≌△MBC. ∴.AD=BM. ∴.AM=2AE=AB+BM=AB+AD,即AB+AD=2AE. (2)如图2所示，延长AB到点M,使BM=AD. D EB 2----M .2AE=AB+AD AB+BM AM .AE ME. 又CE⊥AM, ∴.AC=MC. ∴.∠2=∠M. ,AC平分∠DAB, ∴.∠1=∠2. .∠1=∠M. AD=BM 在△ADC和△MBC中， ∠1=∠M, AC=MC ∴.aADC≌△MBC. ∴CD=CB. 23.(1)解：∠BAC的角平分线AD如图所示， B (2)解：AC的垂直平分线1如图所示， (3)解：，在△ABC中，∠B=55°，∠BCA=60°， E D ∴.∠BAC=180°-∠B-LACB=65°， AD平分∠BAC, CE-C ,1垂直平分AC, .'AE=CE, ∴.∠CAE=LACE=32.5°， ∴.∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=115°. 24.(1)解：如图1中，点E,点F即为所求； G B 图1 由勾股定可得：QT=Pg=V2+32=3,PT=V52+P=√26，AM=MG=52+1P=√26， AG=V42+62=213,AP=PQ=V22+32=√3，AQ=V12+52=√26， :PO2+OT2=PT2,AM2+MG2=AG2,AP2+PO2=A02, △PQT、△AMG、△APQ是等腰直角三角形， ∴.PQ⊥OE,MG⊥AM, 由平移的性质可得PN⊥AM, :△AMP是等腰直角三角形， ∠NPA=45°， .∠FPQ=∠FPA+∠APQ=135°； (2)解：如图2中，点G即为所求，路径P→E→F→Q即为所求 A B 图2 25.(1)解：如图，对称轴直线1及△A4,B,C,即为所求； B 2)解：5r34-}×2x4+分2x3+1x2小-12-8-4： (3)解：如图，点P即为所求， 根据轴对称的性质，PA=PA, 此时PA+PB=PA+PB=A,B最小. 26.(1)解：直线EF如图所示 M (2)解：如图，连接B'0,BO,B"O. :△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称， :∠BOM=∠B'OM. :△A'B'C'和△A"B"C"关于直线EF对称， .∠B'OE=∠BOE, :∠B0B"=∠B0M+∠B'OM+∠B'OE+∠BOE=2(LB'OM+∠B'OE)=2a. 27.(1)证明：过D作DG⊥PE,DH⊥PF, A G B D ”AD是∠BAC的角平分线， :∠DAB=∠DAC ”PE∥AB,PF∥AC ∠DAB=∠DPE,∠DAC=∠DPF ∴.∠DPE=∠DPF :DG⊥PE,DH⊥PF, :DG=DH (2)解：：AD是∠BAC的角平分线， :D到AB和AC的距离相等， SAARD=AB ·SAADC AC, :AB:AC=3:2,S.ABD=15, 153 S△c2 .S△4c=10. 28.(1)证明：由轴对称的性质可知，B'C=BC,BC'=B'C', AC+BC=AC+B'C=AB′，AC+BC'=AC'+B'C'>AB', ∴.AC+BC<AC'+BC',AC+BC≥AB', .当A、C、B'三点共线时，AC+BC值最小， ∴.点C的位置即为所求； (2)解：如图，连接BP, m (P) ,m是边BC的垂直平分线， .'PB=PC, ∴.△APC的周长为PC+AC+AP=PB+AP+5≥AB+5=6+5=11, 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是m与AB的交点时，△APC的周长最小，最小为11， 故答案为：11； (3)解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P、B,连接OR、OPPD,当P、PA、 B四点共线时，△PAB的周长取最小值， P M P 根据对称性可知，∠POA=∠POA,∠POB=∠POB,OP=OP=OP, ∴.∠POP=2∠MON, :∠M0N=35°， .∠P0P=70°， ∠AP0=∠BP0=180°-70 =55°， 2 :∠APO=∠APO,∠BPO=∠BP0, .∠APB=∠AP0+∠BP0=∠AP0+∠BP,0=2×55°=110°， 故答案为：110.