2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末测试卷

**基本信息** 以几何直观与运算能力为核心，通过电热毯销售、图形动态探究等真实情境，考查抽象能力与推理意识，适配八年级下册期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、分式意义|结合图形辨析考查空间观念| |填空题|6/18|因式分解、等腰三角形分类|通过中点构造平行四边形考查几何直观| |解答题|9/72|一次函数应用、几何变式探究|22题以电热毯销售建模考查应用意识，24题通过等腰直角三角形旋转探究推理能力|

2026学年八年级数学下册期末测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.） 1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() % D. 2.下列说法不正确的是() A.若a>b,则a-3>b-3 B.若a>b,则3a>3b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,则-2a<-2b 3.下列各式从左到右的变形为因式分解的是() A.x-4=(x-2}+4x B.r-6x+9=(c-3} c.(a+1a-l)=a2-1 a2-1+2a=(a+1)(a-1)+2a D. 4.下列说法正确的是() x+2 31 A.当x≠-2时，分式x有意义 B.分式2x与w的最简公分母是2ry2 m2-16 1 C.当分式m+4值为0时，m=4D.无论x为何值，x+1的值总为正数 5.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F,若AB=4,BC=6,则EF的 长为() A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 6.如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边 形、正六边形和正方形构成，其中边AD的延长线与对角线BC交于点E,则∠AEC的度数为 图① 图② A.100° B.105° C.110° D.115° 7.若筑a使关于x的分式方程子吕，3的解为正数，则的取值范围() 2 A.a>-5且a≠-2 B.a<5且a≠2 C.a>-5 D.a<5 M2).下 8.如图所示，一次函数'=c+b0)与正比例函教'=m(伽≠0)的图象相交于 列判断错误的是() y=mx 2M(1,2) y=kx+b A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B.关于x的不等式mx之x+b的解集是x≤1 C.当x<0时，函数y=r+b的值比函数y=mr的值大 [y-mx=0 「x=1 D.关于x,y的方程组y-a=b的解是y=2 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于 点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于2BD的长为半径作弧，两弧交于点尸，作射 线4AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中：①BE=DE;②CE=2BE；③5c=V3S.mc； ④DE垂直平分线段AC,正确的个数有()个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD,动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA 匀速运动，回到点A后停止，设点P运动的路程为X,线段AP的长为y,图2是y与x的函数 关系的大致图象，下列结论中正确的有()个 (1)BD=10;(2)AD=12;(3)平行四边形ABCD的周长为44：(4)当x=15时，△APD 的面积为20 珠 12 M 10-- D 0 10 20 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.若式子Vx-2026在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.因式分解：a-25a=. CD=LBC 13.如图，在△ABC中，延长BC到点D,使得2，过AC的中点E作EFCD(点F在 点E的右侧)，且EF=2CD,连接DF,若AB=6,则DF的长为一 14.在平面直角坐标系x0y中，点A是一次函数y=-3x+6图像上一点，将线段OA绕点0顺时 针方向旋转90°后，点A的对应点B恰好落在一次函数y=-3x+6图像上，则点A的坐标是 x+2>*-1 4 15.关于x的不等式组5x-3≤a-x有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程 2+4a4 y-44-y的解为整数，则满足条件的整数a的和是 16.如图，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=48°，若以BC为一边画等腰三角形，且使它的第 三个顶点在边AB或AC上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.） 2(x+2)>x 1.解不等式组-22生”。并把宫的解矣老教能上克示出来 -5-4-3-2-1012345 区.先化简：2a4a+2a-2再从，23,4中选择一个合适的数作为a的值代入灵 值. 19.如图，已知在ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E. D B E (1)求证：CD=CE; (2)若BE=CE,∠B=70°，求∠DAE的度数. 20.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,2)B(-1,4),C(0,2) B (1)将△ABC向下平移6个单位长度得到△4B,C,请画出△AB,C: (2)画▣出△4B,C关于原点0成中心对称的△4，B,C; (3)若将△ABC绕某一点旋转就可以得到△4，B,C,则旋转中心M的坐标是_· 21.观察以下等式： 12 4 22 4 1+2中2：第2个等式：2+ -2+2= 第1个等式：1+2 2+2; 32 4 42 -3+2= 第3个等式：3+2 3+2;第4个等式：4+2 4+2=4 4+2;… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：一； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 22.随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电 热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐.已 知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高3，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比 用4500元购进的B款电热毯的床数多20床. (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买)，且花费的总价不高于 10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商 场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识， 求出最大利润. 23.定义运算：f)=ar+.已知B,2)=7,f43)=10 (1)直接写出：a=-,b=_; f(-x-3,2+x)≥0 (2)若关于x的不等式组f(2x,x-)<0无解，求，的取值范围； (3)若f(mx+3m,2m-x)≥3m+4n的解集为x≤3，求不等式：f(mx-2m,3n-nx)>-m+n的解集. 24.(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC边上一点（不与点B, 重合)，莲接D,过点作ELD,并满足证=D,连接CE.则线段BD和线段CE的 C 数量关系是，位置关系是 E B∠ D 图1 图2 图3 (2)探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B,C重合），Rt△ABC与RtAADE均为等 腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE.试探索BD2,CD.AD之间满足的 等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=5,CD=3,请 求出线段AD的长. 25.如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接DE,交AP于点M,W是 AP AM=MN BN DC 上一点，且 ，连接并延长交于点F M M E 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)四边形EBFD是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程如果不是，请说明理由； 【深入探究】 (2)如图2，若在图1的基础上连接MC交BF于点H,过点A作AG∥MC交DE于点G, ①猜想MC与AG的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为BC中点时，若BF=a,AP=b,且4 5AB=d+4,请求出口ABCD的面积 (结果用含a,b的式子表示)， 参考答案 一、选择题 1.B A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意. 2.C 解：不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴.若a>b,则a-3>b-3,选项A正确； 不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， .若a>b,则3a>3b,选项B正确； :当c=0时，c2=0,此时ac2=bc2=0,不满足ac2>bc2, .选项C的说法不正确； 不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴.若a>b,则-2a<-2b,选项D正确； 故选：C. 3.B 解：因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， A选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项中，左边是多项式，右边《-3犷=(《-3x-3》,是两个整式的积的形式，变形正确，是 因式分解： C选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解. 4.D .x+2 解：对于A选项，：分式x有意义的条件是分母不为0，即x≠0，不是x≠-2，A错误； 对于B选项，确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式 31 2x与y的最简公分母是2w2,不是2ry,B错误； 对于C选项，，分式值为0需满足分子为0且分母不为0，由m2-16=0得m=±4，又m+4≠0即 m4,m=4,不是m=4。 ，.C错误； 对于D选项，：对任意x都有x≥0，…x+1≥1>0，分子1>0，…x+1 .>0恒成立，D正确。 故选：D 5.B 解：，DE是△ABC的中位线，AB=4,BC=6, DEIBC.DEC-63.D-2 ,BF平分∠ABC, .∠DBF=∠FBC, 又：DE川BC, ∴.∠DFB=∠FBC, ∴.∠DBF=∠DFB, ∴.DF=DB=2, .EF=DE-DF=3-2=1; 故选：B 6.B (12-2180°=150 解：正十二边形的每个内角为12 六248c=X150=75, 正六边形的每个内角为6-2180=120， 6 .∠BAD=180°-120)=30° .∠AEC=75°+30°=105°， 故选：B. 7.B :原方程为名品=3、将方程变形为品品3， 2 2 a 两过同乘-)去分母得： 2-a=3(x-1) 整理求解得：x= 5-a 3 ,方程的解为正数，且分式分母不能为0， 5-a .3 5-0+1, >0,且 解第一个不等式得：a<5, 解第二个不等式得：a≠2， ∴.a<5且a≠2. 8.B 解：：一次函数y=c+bk,b是常数，k≠O)与正比例函数y=mxm是常数，m≠0)的图象相交 于点M(1,2). ∴.关于x的方程x=ac+b的解是x=1,选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式mx≥cr+b的解集是x≥1，选项B判断错误，符合题意； 当x<0时，函数y=c+b的值比函数y=mr的值大，选项C判断正确，不符合题意： y-mx=0 x=1 关于x,y的方程组y-=b的解是y=2,选项D判断正确，不符合题意； 故选：B. 9.C 解：连接PB,PD, 由作法得AB=AD,PB=PD, .AP 垂直平分D, BE=DE,故①正确： :∠ABC=90°∠C=30° .∠BAC=60° 由作法得AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAE=30° .∠CAE=∠C ∴.AE=CE 在Rt△ABE中，∠BAE=30°， .AE =2BE ∴.CE=2BE ,故②正确； 在Rt△ABC中，∠C=30°， ..AC=2AB AD=AB .AD=CD CE=2BE .CE-28C 3 .SACE= S.uw, 5号8m,放国餐误： 1。 AD=CD AE=CE .DE⊥AC ∴.DE 垂直平分线段1C,故④正确。 故正确的个数有3个. 10.C 解：根据图形和图象，得当0≤x≤10时，y=x,故AB=10; 点P从点B运动到点D,行走路程为20-10=10，BD=10; 当点P运动到点D时，AP=12,此时AD=12; 故平行四边形BCD的周长为210+12)=4， 当x=15时，BP=5,此时点P为BD的中点， 故△APD的面积与△APB的面积相等，且为△ABD的面积的一半， 过点B作BH⊥AD于点H, .AB=BD=10, .AH=HD=AD=6 2 故BH=VAB2-AH=8, ⊙ H 故△ABD的面积为2AD-BH= 2×12x8=48 故△APD的面积为24； 故(1)(2)(3)正确；(4)错误； 故选：C. 二、填空题 11.x≥2026 解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 x-2026≥0 解得x≥2026 12. a(a+5)(a-5) 解：a3-25a =a(a2-25) =a(a+5)(a-5) 13.3 解：如图所示，取AB的中点G,连接GE, G B C .G为AB的中点，点E为AC的中点，AB=6, GEBC,GE-BC,AG-BG-B3 2 2 :EFCD,直线CD与直线BC重合， ∴.直线GE与直线EF重合， CD-C:EF-2CD ∴.CD=GE,EF=BC, ∴.CD+BC=GE+EF, 即GF=BD, .GF∥BD, ∴.四边形GBDF是平行四边形， .'DF=GB=3, 故答案为：3. 解：因为点A在一次函数y=-3x+6的图像上， 设点1的坐标为a-3a+6) 则点4旋转后的对应点B的坐标为-3a+6a)） 因为点B在一次函数y=-3x+6的图像上， 6 所以-a=-3(-3a+6)+6,解得a=5 将0一代入点4的级坐标表达式，得36-号 .6 5 612 故点A的坐标为5'5) 15.-1 解：解不等式x+2> 4,得x>-3, 解不等式5x-35a-,得s) 6, x+2-1 4 :关于x的不等式组5x-3≤a-x有且仅有3个整数解， 解得-3≤a<3, 将关于y的分式方程2+4和4 +y-44-“的两边都乘以y-4得， 2y-8+4a=-4-ay+4a 4 解得y= a+2, ”关于y的分式方程2+4和：4 y-44-y -a的解为整数， ∴.a+2=±l或a+2=±2或a+2=±4， 解得a=2或a=0或a=-l或a=-3或a=-4或a=-6, 又，分式方程的增根是y=4, 4 .a+2 4 即a+2≠1， 解得a≠-1， 又.-3≤a<3, .符合条件的整数a的和为2+0-3=-1. 16.90°或84°或48° 解：当BC=BD时，顶角为∠B=48°； B 当DC=DB时，∠DCB=∠B=48°，顶角为∠CDB=180°-∠DCB-∠B=84°； A B 当CD=CB时，D在边AB上，∠CDB=∠B=48, 顶角∠DCB=180°-∠CDB-∠B=84°； B 当CD=CB时，D在边AC上，顶角为∠DCB=90°： ▣ B 综上所述：顶角为：90°或84°或48°； 故答案为：90°或84°或48°. 三、解答题 2(x+2)>x① 17.解： 1-2r7@ 解不等式①得：x>-4, 解不等式②得：x≤-1， ∴.不等式组的解集为：-4<x≤-1， 表示在数轴上为： -5-4-3-2-1012345 3-aa+2-5】 18.解：2a-4(“ a-2 3-a a-2 2(a-2）(a+3)(a-3) 1 2a+6, 当a=2或a=3时，原分式没有意义； 11 当a=1时，原式=2a+68; 11 当a=4时，原式=2a+6=14 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, .∠ADE=∠CED, 又，DE是∠ADC的角平分线， .∠ADE=∠CDE. ∴.∠DEC=∠CDE, ..CD=CE; (2)解：由(1)可知CD=CE, 四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD, .BE=CE, .AB=BE, .∠AEB=∠B4E= 180°-∠B=559」 2 .AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB=55° 20.(1)解：如图所示，△4BC即为所求； y个 B A C B :A1 (2)解：如图所示，△4，B,C即为所求； B A2 B B A C (3)解：如图，连接BB,CC,交点即为旋转中心点M, VA B B A 由图可知，点M的坐标为(0,3) 故答案为： (0,3) 5 2-5+2=4 21.(1)解：5+2 5+2； 52 4 -5+2= 故答案为：5+2 5+2 (2)第n个等式：n+2n+2= n n+2, 证明如下： n2 等式左边m+2a-2刃 -n2-m+20n-2) n+2 =n2-n2-4) n+2 4 n+2 =等式右边， 故等式成立. n2 故答案为：n+2 n+2=4 n+2 14 2。)解：设藏电热毯的进价为每末x元，则藏电热毯的注价为每床1引元. 84004500 =20 根程题离，得 x 解得：x=90, 经检验，x=90是所列分式方程的解， 4×90=120(元)· 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元. 120a+90(100-a)≤10000 (2)解：根据题意，得： 解得：as100 3， 120×1+20%)=144 A款电热毯的售价为 中（元）， 0×(1+20%)=108 B款电热毯的售价为 (元)， 则"=04-120)a+(08-90j0100-o）)=6g+1800 .6>0, ∴.W随a的增大而增大， 100 .as- 3且x为正整数， .当a=33时，W的值最大，W袁大=6×33+1800=1998 答：最大利润为1998元. 23.( D解：托82)=7，f43)=0代入f川=a+, 3a+2b=7 得： 4a+3b=10, a=1 解得：b=2; 故答案为：1,2； -x-3+2(x+2)≥0 (2)根据题意得2x+2(x-t)<0; x≥-1 部得：号 f(-x-3,2+x)≥0 :关于x的不等式组f(2x,x-)<0无解， ∴.t≤-2； (3)根据题意得mx+3n+2(2m-n)≥3m+4n (m-2n)x≥n-m 整理得： 1 ~此不等式解集为x≤3， n-m_1 m-2n<0,且m-2n3, 5 整理得：m=4n(m≠0，n≠0)， 所求不等式化简得：m-2m+2(6n->-m+”,即0-2nr>m-5, 5 把m=4”代入得： 5 m-2m=”-2m<0,解得：n>0, (5n-2m x>in-5m 5 4 4 解得：x<5. 24.解：（1).∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=45°， .AD⊥AE, ∴.∠DAE=90°， ∴.∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE, :BHD≌C4E(SAS) ∴.BD=CE,∠B=∠ACE=45°， ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， .BD⊥CE: ∴.BD=CE,BD⊥CE; 故答案为：BD=CE,BD⊥CE; (2)2DA=BD+CD,证明如下： 如图所示，连接CE, .∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=45°， .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又，AB=AC,AD=AE, :△BAD≌aCAE(SAS) ∴.BD=CE,∠B=∠ACE=45°， ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴.CD2+CE2=DE2 .'CD2+BD2=DE2: .AD=AE,∠DAE=90°， .'DE2=AD2+AE2=2AD2, ..2AD2=BD2+CD2: (3)将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接DE,CE, .AD=AE,∠DAE=90°， .DE2=AD2+AE2=2AD2,∠ADE=45°， .∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又，AB=AC,AD=AE, :△BADCAE(SAS) ∴.BD=CE=5, .∠ADE=45°，∠ADC=45°， .∠CDE=90°， .'DE2 CE2-CD2 又BD=CE=5,CD=3, .DE2=CE2-CD2=16, DE2=AD2+AE2=2AD2, AD2=8, ∴.AD=2N2. 25.(1)解：四边形EBFD是平行四边形，理由如下， 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ,点E是AB的中点， ∴AE=EB, AM MN, ∴EM是△ABN的中位线， ∴.EM∥BN, .BE∥DF,DE∥BF, 四边形EBFD是平行四边形. (2)①解：MC=2AG;理由如下： 如图，作FK∥MC交DE于点K, D B .'FK∥MH,FH∥MK, .四边形MHFK是平行四边形， ∴.MH=FK, .四边形EBFD、ABCD是平行四边形， .FD=BE=AB 1 2 AB=CD FD-CD ∴CF=FD, ,FK∥MH,DE∥BF, .∠CFH=∠FDK,∠FCH=∠DFK, :aCFH≌AFDK(ASA) ∴.CH=FK, ∴.CH=FK=MH, .MC=2FK, .AG∥MC,FK∥MC, .AG∥FK, ∴.∠AGD=∠FKE, .180°-∠AGD=180°-∠FKE, ∴.∠AGE=∠FKD, .AB∥CD, ∴.∠AEG=∠FDK, 又AE=BE=FD, △AEG≌△FDK(AAS) ∴.AG=FK, ∴.MC=2AG. ②如图，延长AP交DC的延长线于点R, D F :点P为BC中点，AB∥CD, ∴.∠PCR=∠PBA,CP=BP, 又∠CPR=∠BPA, △CPR≌△BPA(ASA) .RC=AB,RP=AP=b. ∴.AR=2AP=2b, 作RL∥BF交AB的延长线于点L,作C⊥AL于点Q, RF∥BL, ∴四边形RFBL是平行四边形， ∴.RL=BF=a, CF-CD-48 2 1 3 .BL=RF=RC+CF=AB+AB=3 AB 2 2 5 AL=AB+BL-AB+AB-AB ,.25AB2=a2+4b, 4 i.ixn-w+(2by ∴.AL2=RL2+AR2, ∴.△ARL是直角三角形，且∠ARL=90°， i.5.m-RL-AR-jax2b-ab a方4l-c04份c0-=4Bc0. ·4B.Cg=ab 5 S-Amc=AB-CQ=4ab 5 4 ABCD的面积为写b,