专题03 函数性质及应用（10大考点）（湖北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 湖北各地二模函数专题汇编，聚焦10大考点，以真实情境和动态问题为载体，突出函数性质应用与跨学科整合，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约35题|含函数图象信息获取、反比例函数k意义、二次函数多结论等|融入古代数学文化（《九章算术》瓜瓠相遇）、科技情境（压缩空气瓶波意耳定律）| |解答题|约15题|一次/反比例函数综合、二次函数应用与动态问题|注重动点函数图象分析（如等边三角形运动面积）、二次函数与几何综合（旋转、平移探究）|

专题03 函数性质及应用 10大考点概览 考点01从函数的图象获取信息 考点02反比例函数k的意义与取值 考点03实际问题与反比例函数 考点04函数的性质应用与移动 考点05动点问题的函数图象 考点06二次函数多结论 考点07一次函数的实际应用 考点08一次函数与反比例函数综合 考点09二次函数的应用 考点10二次函数图像与综合问题 从函数的图象获取信息 考点01 1．（2026·湖北武汉·二模）甲、乙两人从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h．如图是甲、乙行驶路（单位：km），（单位：km）随甲行驶时间x（单位：h）变化的图象．当乙追上甲时，乙行驶的时间是（    ） A．2 h B．3 h C．2.5 h D．3.5 h 【答案】A 【分析】由速度=路程÷时间，可求出甲乙的速度，再用追及问题列方程，即可求出当乙追上甲时乙行驶的时间． 【详解】由题意得:甲的速度为，乙的速度为， 设当乙追上甲时，乙出发的时间为，由题意得： 解得， ∴当乙追上甲时，乙出发的时间是小时. 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象是解题的关键． 2．（2026·湖北襄阳·二模）古代数学文化 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺=10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故选：C． 反比例函数k的意义与取值 考点02 3．（2026·湖北武汉·二模）已知反比例函数（k为常数）的图象在第一、三象限内，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】反比例函数比例常数大于时，图象位于第一、三象限，根据性质列出不等式，求出的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：反比例函数（为常数）的图象在第一、三象限内， ，解得 ， 则满足条件的可以为（答案不唯一）． 4．（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 5．（2026·湖北襄阳·二模）已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．就根据题意，结合反比例函数的增减性，可得k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵ 点、都在反比例函数的图象上，且当时，， ． 则k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2026·湖北襄阳·二模）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______． 【答案】6 【分析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：由题意，设点的坐标为， 轴于点， ， 的面积为3， ， 解得， 将点代入得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键． 实际问题与反比例函数 考点03 7．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 8．（2026·湖北·二模）潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时，一定质量的气体压强（单位：）与体积（单位：）成反比例关系，即（为常数）．某潜水员携带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为，瓶内压强为200个标准大气压．潜水员在水下某深度处，外界水压为5个标准大气压．若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此时气体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据初始压强和体积求出常数，再代入变化后的压强计算对应气体体积即可． 【详解】解： ，初始状态下 ，， ， 当压强降至 个标准大气压时，代入 得 ， 此时气体体积为 9．（2026·湖北襄阳·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 10．（2026·湖北随州·二模）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号E表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值R与光强E之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（    ） 信息框1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．光强E越大，R越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强E越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 根据图象和已知条件确定光敏电阻的阻值R与光强E成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：A、由图象可知，光强E越大，R越小，故A选项说法正确，不符合题意； B、该图象为反比例函数图象，故B选项说法正确，不符合题意； C、光强E越大，R越小，电路中的总阻值越小，则电路中的电流越大，故C选项说法正确，不符合题意； D、当电流表显示时，电路中的电流， 电路中的总电阻为， ，由图象可知，此时，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 11．（2026·湖北十堰·二模）在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m. 【答案】1.2 【分析】利用点的坐标求出，当时，即，求出，即可求解． 【详解】解：设函数的表达式， 将点的坐标代入上式得：，解得， 则反比例函数表达式为， 当时，即， 解得， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 函数的性质应用与移动 考点04 12．（2026·湖北·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，可得，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象一定不经过第二象限． 13．（2026·湖北·二模）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，利用的正负确定图像的位置是解题的关键． 由可得反比例函数的图象在一、三象限，故不在图像上． 【详解】解： 反比例函数的图象在第一、三象限， 又 在第二象限， 四个点中点不在函数的图象上． 故选B． 14．（2026·湖北·二模）把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移个单位，如果平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，则应满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．平移后的抛物线解析式为，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线解析式为，即， 平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个， ， 解得：， 故选：C． 15．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 16．（2026·湖北襄阳·二模）综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（    ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 17．（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（   ） A．其图象位于第一、三象限 B．当时，y随x的增大而减小 C．其图象经过点 D．当时，y的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 由点求出，得到函数解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即， ∴， ∴图象在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，A、B错误； 当时，，即其图象经过点而非，C错误； 当时，，则当时，y的取值范围是，D正确； 故选：D． 18．（2026·湖北襄阳·二模）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的平移规律． 将原抛物线解析式化为顶点式，然后根据上加下减，左加右减的规律作答即可． 【详解】解： ， 向左平移1个单位，得到， 向下平移2个单位，得到． 故选：A． 动点问题的函数图象 考点05 19．（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 20．（2026·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再分情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，求出函数解析式，结合排除法求解即可； 【详解】， ， ，， ， 分情况讨论： 当点在边上运动时，，则，排除B，D； 当点在边上运动时，，排除A， ∴只有C选项符合题意． 21．（2026·湖北随州·二模）如图1，已知等边，点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动，到达点C时停止，而点Q在边上随点P移动，且始终保持．设运动的时间为t，，y关于t的大致函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（     ） A．的边长为4 B．当时， C．若，则 D．当时，y随t的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象上获取信息，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定；当点在上运动时，为等边三角形，据此可判断A、C；当时，点为中点，据此可判断B；当时，点不断靠近点，y随t的增大而减小；当时，点与点重合，此时y减小为；当时，即点过了点后，y会从开始增大，据此可判断D． 【详解】解：当点在上运动时，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴，即， ∴当时，即为的边长， ∵从图象上可知：当时，， ∴的边长为4，故A正确； ∵当时，点运动了 ∴ 又∵的边长为4， ∴ ∴此时点为中点，如图所示： 又∵是等边三角形， ∴，故B正确； ∵点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动， ∴当时，点P都在边上， ∴， ∴，故C正确； ∵当时，点不断靠近点，y随t的增大而减小； 当时，点与点重合，此时y减小为； 当时，即点过了点后，y会从开始增大， ∴D错误． 22．（2026·湖北黄冈·二模）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：W）与做功时间（单位：s）成反比例，功率与做功时间之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由图像上的点求出反比例函数解析式，再计算和时对应的值，结合函数性质得出时的取值范围，最后选出符合该范围的选项即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，， 观察选项，只有在此范围内． 故选：B． 23．（2026·湖北武汉·二模）如图，正三角形的顶点的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（     ） A． B． C． D．        【答案】A 【分析】当时，，当时，，把相关数值代入后判断相应的函数关系式为哪类函数即可． 【详解】解：∵正三角形的顶点B的坐标为， ∴， ∴ 过点作于点， ∴， ， ∴点A点坐标为， ①当时，如图1， ∴， ∴，为开口向上的二次函数， 当时，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴，为开口向下的二次函数， 综上，选项A正确． 24．（2026·湖北十堰·二模）如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为的高．图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点． （1）___________； （2）点的坐标为___________． 【答案】 8 【分析】本题考查动点的函数图象问题，勾股定理，从图象中有效地获取信息是解题的关键： （1）由图象可知，当时，点从点运动到点，即：，此时点与点重合，故，即为的值； （2）当时，此时，点运动到点的位置，求出的长，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：（1）由图象可知，当时，点从点运动到点，即：，此时点与点重合，故， ∴； 故答案为：8； （2）当时，此时，点运动到点的位置， ∴， 由（1）知：， ∴， 当时，点在边上运动， ∴当时，此时最小， ∵的高， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， ∵点为曲线的最低点， ∴； 故答案为：． 25．（2026·湖北襄阳·二模）如图1，在同一平面内放置的和矩形，与在一条直线上，点在的延长线上，将以1个单位／秒的速度沿向点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒，设矩形与重合部分的面积为，与的函数图象如图2所示，它是由线段，和曲线三部分组成．根据图中信息可知，的长为___________，的值为___________． 【答案】 5 7 【分析】观察函数图象，明确函数图象每部分对应的动态图，再画出的一些特殊值对应的图形，找出图形中动点运动的长度，结合梯形和三角形的面积公式求解即可 【详解】解：当时，点G与点C重合，此时移动距离为， 在矩形中； 当时，如图所示， 此时移动距离为， 当时，点刚好到达点B，如图所示， 此时移动距离为，矩形与重合部分是梯形，其面积为， ∴，即， 解得：， ∴， 当时，如图所示，此时移动距离为， 重合部分是五边形，其面积为梯形的面积减去的面积， ∵，， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴重合部分的面积为： 26．（2026·湖北襄阳·二模）如图1，在中，，D为中点，点E从点B出发以每秒1个单位的速度向点C运动（到达点C后停止），设点E运动的时间为x（单位：秒），的长为y，图2是点E运动时y随x变化的图象，其中M为该图象的最低点，则___________，___________． 【答案】 3 【分析】作点D关于的对称点P，结合轴对称的性质，可得，推出当A，E，P三点共线时，的值最小，为的长，用勾股定理解求出，根据解直角三角形可得，再根据即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点P，连接， 由轴对称的性质可知，，，， ， ， ∴当A，E，P三点共线时，的值最小，为的长，如图所示： 由题图可知，此时，， 过点E作于点F， ∵D为中点， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·湖北黄石·二模）如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段的长和线段的长分别为________．      【答案】 【分析】从图象看，当时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图象看，当时， ， 即时， ， 当时，，即时，重合， 此时，则， 即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，如下图： 过点作于点， 在中，， 则， 在中，． 28．（2026·湖北随州·二模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则________，的面积为________．      【答案】 6 【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性节点，可知，，，过点B作于点，利用勾股定理求得，再根据求解． 【详解】解：根据图形和图象，当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 为等腰三角形，设中点为，连接， ， ， ． 29．（2026·湖北襄阳·二模）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是__________ ； （2）c处的数值等于__________． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 二次函数多结论 考点06 30．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数与图像的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．根据函数图像分别判断、、的符号即可判断结论①；利用图像与x轴交点的个数即可判断结论③；由，得，可判断②；利用当时函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 31．（2026·湖北随州·二模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再逐个判断结论即可． 【详解】解：选取表格中三点代入， 得， 解得， ，抛物线开口向下，对称轴为， ①判断： ，，， ，①正确； ②判断方程的根： 方程化为，整理得， ， 方程有两个相等的实数根，②正确； ③判断时的范围： 抛物线顶点为，开口向下， 时，取得最大值， 当时，当时， 当时，，故③错误； ④判断与的关系： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 两点到对称轴距离相等， ，④正确； 综上，正确的结论共3个． 32．（2026·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据对称轴公式得到，即可判断④；根据二次函数的图象即可判断，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；由图象可得，当时，，即可代入求解判断③． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 由图象可得，， ∴由得，， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有个交点， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴把代入，则，故③错误， ∴正确的有个， 故选：C． 33．（2026·湖北武汉·二模）关于函数，以下结论： ①图象始终经过点； ②函数图象关于y轴对称； ③当时，y随x增大而减小； ④若图象与直线有四个公共点，则； ⑤设方程的两根为，，若，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】将代入函数求出的值即可得①正确；对于任意实数，求出当时和当时，的值，由此即可得②正确；求出当时函数的解析式，据此可得其增减性，进而可得③正确；令，则，得出方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式即可得④错误；先利用公式法解方程可得，，再代入解不等式组即可得⑤正确． 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象始终经过点，结论①正确； 对于任意实数，当时，；当时，， ∴对于任意实数，关于轴对称的两点，均在这个函数图象上， ∴这个函数图象关于轴对称，结论②正确； 当时，，函数可化为， ∴这个函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小；结论③正确； 令，则， ∴， 设，则， 若图象与直线有四个公共点，则这个方程需要有两个不相等的正实数根， ∴方程根的判别式， ∵， ∴， 解得，则结论④错误； 设，则方程可化为， 这个方程根的判别式为， ∴这个方程的根为或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴或， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， 解得，结论⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤． 34．（2026·湖北武汉·二模）已知二次函数经过，，．下列五个结论： ①； ②； ③若关于的方程有两个相等的实数根，则； ④若，，在该函数图象上，，则； ⑤若关于的方程至少有三个实数根，且的值是，则的最小值是．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】①利用二次函数对称性，由两点、的对称轴​，推出，结合判断的正负；②利用开口向上抛物线的增减性，由且均在对称轴左侧，可判断的取值范围；③代入点坐标求出，结合判别式化简得，由得；④根据开口向上抛物线的增减性，可推出，进而求出的取值范围；⑤根据题意可推出与的图象至少有一个公共点，将代入，通过判别式，解得的最小值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 则， 由， 可得，故①正确； 由题意可得，抛物线与轴交于点，二次函数的图象开口向上，且，均在对称轴左侧， 由增减性可得，故②正确； 由①得， 则二次函数 ， 将代入 ， 可得， 由方程有两个相等的实数根，可得 ，，， 又，则，故③正确； 的图象开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 若要，可分两种情况讨论： ∵对称轴为直线， 当对称轴，在对称的右侧，随的增大而增大， ∵，，在该函数图象上，， ∴，解得， 当对称轴时，对称轴在，之间且距离更近，可得，解得， 综上，，故④错误； 若关于的方程 至少有三个实数根， 则必有实数根， 由①得且， 可得，即必有实数根， 则 ，解得或， 由，可得，的最小值是，故⑤正确． 35．（2026·湖北武汉·二模）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 一次函数的实际应用 考点07 36．（2026·湖北·二模）声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 37．（2026·湖北襄阳·二模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； (2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； (3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 38．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【分析】（1）设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件列方程求解； （2）设购进甲种机器人y台，根据每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台列不等式组求解即可； （3）设总价为W万元，根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 一次函数与反比例函数综合 考点08 39．（2026·湖北恩施·二模）如图，点A在反比例函数 图象上，过点A作垂直于x轴于点B．已知，． (1)求k的值． (2)点C是反比例函数 的图象上一点，点 D，E在x 轴上，，．若，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）先根据平行线的性质求出，，进一步可得，根据相似三角形的性质得出，即可得出的长，即点C的纵坐标，最后根据点C在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直于x轴，，， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数 图象上， ∴， 解得． （2）解：∵点 D，E在x 轴上，，，垂直于x轴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴，即点C的纵坐标为2， ∵点C是反比例函数 的图象上一点， ∴点C的横坐标为， ∴． 40．（2026·湖北随州·二模）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点和点B． (1)求点A，B的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先得出点A的坐标，然后求出一次函数的解析式，进而问题可求解； （2）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 联立得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； （2）解：由（1）及图象可知：不等式的解集为或． 41．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 42．（2026·湖北襄阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）设一次函数与y轴交于点C，则点C的坐标为，再根据列式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为； 把点B的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图所示，设一次函数与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或． 二次函数的应用 考点09 43．（2026·湖北武汉·二模）在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：），垂直向上的速度为b（单位：）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：）与时间t（单位：）的关系为，高度y（单位：）与时间t（单位：）的关系为． (1)在小强同学的一次投掷中，测得当时，，； ①直接写出x与t的函数关系式为______；y与t的函数关系式为______；根据以上关系，可得y与x的函数关系式为______； ②求出本次实心球的投掷距离． (2)研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．改进投掷方法后，小强投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中，求实心球在投掷过程中的最大高度． 【答案】(1)①，，；②本次实心球的投掷距离为6米 (2)实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米 【分析】（1）根据题目给的的值代入到中求出的值，将的值代入到，求出的值，再用表示，再等量代换求出答案； （2）用表示，将，等量代换为关于的解析式，再根据题意得，将值代入关于的解析式进行求解． 【详解】（1）解: ①将，，代入关系式中，， 解得， ∴， 将代入，得， 解得， ∴； ∵， ∴， 将代入中， 化简得：． ②令，则， 解得，（舍去）， 答：本次实心球的投掷距离为6米； （2）解：当时，，，则， 当时，，解得或（舍去）， ，的最大值为． 答：实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米． 44．（2026·湖北襄阳·二模）如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求出y的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴球能达到的最大高度为， 故答案为：． 45．（2026·湖北恩施·二模）图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析 (2) 【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得； （2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可． 【详解】（1）解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． 46．（2026·湖北武汉·二模）某公司用1号，2号无人机分别在空中，投放点向平坦地面投放物资． 研究背景 1号，2号无人机和物资的落点都在同一竖直平面内，物资的运动路径近似看作抛物线的一部分． 建立方法   如图，以水平地面为轴，投放点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径分别是抛物线，． 收集信息 ①无人机在空中投放物资时，物资与地面的垂直距离与距投放点的水平距离之间的函数解析式为，表示投放物资时无人机与地面的垂直距离（单位：米）．表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． ②1号无人机在空中以20米/秒的水平初速度投放物资，当物资距投放点的水平距离为40米时，垂直高度为60米． ③2号无人机在1号无人机竖直上方100米处，以10米/秒的水平初速度同时投放物资． 建立模型 (1)求抛物线，的解析式； 应用模型 (2)求两物资落点之间的水平距离； (3)在保持1号，2号无人机在同一竖直线上，同时投放物资，且物资落点不变的前提下，通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度，来避免物资相撞．若无人机投放物资的最低飞行高度为45米，直接写出2号无人机投放物资时的水平初速度的取值范围． 【答案】(1)， (2)两物资落点之间的水平距离为20米 (3) 【分析】（1）结合函数解析式中系数的实际意义以及图象上点的坐标求解即可； （2）分别求出和时对应的自变量的值，即为物资落点到投放点的水平距离，进而求解即可； （3）首先根据已知条件确定出不改变落地点且能避免相撞时，2号无人机竖直高度的范围、高度和速度之间的关系式，然后进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵1号无人机投放物资时的水平初速度， ． 将，代入，得 ， 解得， 抛物线的函数解析式为； ∵2号无人机投放物资时的水平初速度，距地面的垂直距离， ； （2）解：当时，， 解得，或（不合题意，舍去）． 当时，， 解得，或（不合题意，舍去）． ， 两物资落点之间的水平距离为20米； （3）解：．理由： 由（1）得，时，，即2号无人机投放物资的落点坐标为， 将代入，可得 ，即． 由（1）得，1号无人机投放物资的落点坐标为， ∴要使得两个无人机投放的物资不相撞，即两个抛物线无交点，故可降低2号无人机的投放高度，使其低于1号无人机的投放高度． 当2号无人机的投放高度与1号无人机的投放高度一致时，将，代入，得， 解得或（不合题意，舍去）． 当无人机投放物资的最低飞行高度为45米时，将代入，得， 解得或（不合题意，舍去）， 的取值范围为． 【点睛】本题综合考查了二次函数在实际问题中的应用．在熟悉掌握二次函数的图象和性质的基础上，能对实际意义的量、函数的变量以及点的坐标三者之间准确地进行转化是解题的关键． 47．（2026·湖北随州·二模）某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销售量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)根据上述信息，求出与之间的函数关系式（不需要写出的范围）； (2)超市要想每天获得元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当每日购进这种水果的总进价不超过元时，通过计算说明每天能否获得元的销售利润？ 【答案】(1) (2)售价应定为元 (3)不能，计算见解析 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，利用待定系数法求解析式即可； （2）设售价应定为元，根据题意可得 ，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元，根据题意可得 ，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为（）， 由条件可得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：设售价应定为元根据题意可得： ， 解得（舍去），， ∴售价应定为元； （3）解：设日销售利润为元，根据题意可得： ， ∵总进价不超过元， ，即日销售量不超过千克， ，解得， ，抛物线开口向下， ∴当时，最大为元， ∴总进价不超过元时，不能获得元的销售利润． 48．（2026·湖北黄石·二模）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）． (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少； (3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围． 【答案】(1) (2)当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元 (3) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）分2段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设销售利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）根据该商品每天的销售利润不低于1200元，列出不等式，利用图象法解不等式即可． 【详解】（1）设段的解析式为：， 由图可知：图象经过， 则：，解得：， ∴； 设段的解析式为：， 由图可知：图象经过， 则：，解得：， ∴ ∴． （2）设销售利润为W元，则 ①当时，， ∴时，元． ②当时，， ∵x为整数， ∴或43时，W取最大值，． ∵， ∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元． （3）由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元； ∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元； ∴， 当，解得：， ∵， ∴的解集为． 49．（2026·湖北襄阳·二模）某网店销售一种成本为每件元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不高于元，经市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系． (1)求该网店每天销售该商品的利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠元给慈善机构，若扣除捐赠后的利润随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大利润为元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用（利润问题）、二次函数最值等，能够理解题意是解题的关键． （1）根据利润 (单价 成本) 销量求解即可； （2）将（1）所得的解析式化简为顶点式即可求解； （3）根据题意列出扣除捐赠后的利润的解析式，再写出对称轴，然后结合随的增大而增大求解即可． 【详解】（1）解：∵销售单价为元，成本为每件元， ∴单件利润为元， 据题意得：； （2）解：， ∵， ∴当时，有最大值为：元； （3）解：∵每销售一件商品就捐赠元， ∴单件利润为元． 据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵扣除捐赠后的利润随的增大而增大， ∴， 解得：． 二次函数图像与综合问题 考点10 50．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； （2）如图，过点作轴交于，过点作轴交于，    设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，    ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，    同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 51．（2026·湖北武汉·二模）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式是______； (2)如图1，连接，，过第一象限的抛物线上的点D作直线，交y轴于点E，交于点F．若，求点D的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于点P，交x轴于点H，过直线上一点Q（Q在P的下方）的直线交抛物线于M，N两点，与的面积分别记为，，若，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为 【分析】（1）将两点坐标代入，求； （2）由得直线的斜率与相同；设，利用相似三角形和比例关系 ，列方程求； （3）设交抛物线于，用待定系数法结合韦达定理，以表示解析式；求直线与抛物线的交点，计算并利用将化为，由已知解得，代回消去得点轨迹；连接交轴于，将拆分为与，以为公共底边、与到轴的水平距离分别为高，求出面积表达式后配方求最值． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得，, ； （2）解：把代入得，， ； 设直线的解析式为：， 把代入得，， 解得，， 直线的解析式为：， 同理 ， 直线的解析式为：， ， 设， 设，代入得： ， ， 令得， 直线联立方程组：， 消去后，整理得， 过点作轴，交于点，则，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得，(舍去)，， ， （3）解：设直线交抛物线于， 设 ，与联立得 ， 由韦达定理，得 ， ， ， 直线交抛物线于，交于， ， 则 ,， ， ， ， 由得 ， ，即 ， ， ， 设直线， 将代入：, 即， 将代入：， 将代入上式：， ， ， 令得点纵坐标：， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最小值为． 52．（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． (3)如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①； ②或； 【分析】（1）利用已知点和点坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数和，得到完整解析式； （2）先通过抛物线与轴交点条件求出点坐标，再根据轴性质得到点纵坐标，代入抛物线求点坐标；求出直线解析式之后，利用直线得到夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算； （3）①利用轴的性质，直接用横坐标表示点坐标，将面积转化为以为底，为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点在点左侧（）时点在轴上方，点在点右侧（）时点在轴下方，分别计算长度，得到分段面积函数； ②分别代入两段面积函数解不等式：时，二次函数开口向下，最大值为2，因此恒成立，只需的不等式得到对应区间；时，二次函数开口向上，同时解和两个不等式，取符合的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，， 将点坐标代入抛物线解析式中，可得方程组，解得， 抛物线解析式为． （2）解：抛物线对称轴为直线，且轴，点坐标为，点与点关于直线对称， ，， 令，即， ，解得，， ， 设直线解析式为，代入点， ， 解得， 直线解析式为， 过点作于点， ，  ， ，为等腰直角三角形： ， 点到直线距离为． （3）解：①点横坐标为，且在轴正半轴， 因此，且， 轴，交直线于点，可得， 线段长度为， 当时，点在轴上方，长度为， ， 当时，点在轴下方，长度为， ， 因此关于的函数解析式为： ②当时， 当时， 由， 得， ， 解得，，结合，得 ； 由， ， ， 解得，为任意数， 两部分取公共部分：； 当时， 由得， ， 解得，或； 由， ， ； 取两者公共部分：， 综上，的取值范围是或． 53．（2026·湖北武汉·二模）抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点，连接，． (1)直接写出，，的坐标； (2)如图（1），点是抛物线第三象限上的一点，点是线段的中点，点是线段上一点．若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图（2），将抛物线平移，使其顶点在原点，得到抛物线，直线：与抛物线交于，两点（在的左边）．点是第三象限内的一点，设直线的解析式是，直线的解析式是，是否存在定点，使得是定值？若存在，请求出的值与这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，当时，是定值 【分析】（1）分别令，，即可求解，，的坐标； （2）可得直线的解析式是，设，，直线的解析式为，从而得到，将代入抛物线，求解一元二次方程即可得到答案； （3）分别写出点，的坐标，联立直线与抛物线，整理得，把，的坐标代入其中，得到，再将，的坐标代入直线中，得，同理可得，整理化简得到一个关于的一元四次方程，要使是定值，则这个式子与的取值无关，从而解得与的值． 【详解】（1）解：令，即，解得，， 在的左边， ，， 令，可得， ． （2）解：点是线段的中点，由（1）知，，，， ． 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， 直线的解析式为． ∵点是线段上一点， ∴设，． 同理可得，直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，． 点的横坐标为，纵坐标为， ， 将代入抛物线中，得， 解得，， 或； （3）解：存在． 平移抛物线后得到：． 设点，的坐标分别是，． 联立直线与抛物线，整理得， 则，，， 将，代入，可得， 将，代入直线中，得 两式相减后整理得，， 同理，将，的坐标代入直线中，得． ∵， ∴， 将代入， 是定值， 设， 整理得． 该式子与的取值无关，是一个定点， ， 解得， 当，即存在定点，使得是定值，为． 54．（2026·湖北十堰·二模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过，两点，交轴于点 (1)求，的值； (2)如图，若点是直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为，交于点，求的值； (3)若点是轴右侧抛物线上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，设，点的横坐标为； ①求关于的函数解析式； ②若存在三个点同时满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)①；② 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定直线的解析式，设 ，则，进而可得，，进一步求得，即可获得答案； （3）首先根据点的横坐标为，易得，则，然后分点不高于点所在水平线、点在点上方且不超过轴、点在轴上方三种情况，分别求解即可；②若存在三个点同时满足，即直线与分段函数有3个交点，结合①作出分段函数的图像，根据图像，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得； （2）由（1）可知，该抛物线解析式为， 令，可得，即， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设 ， ∵轴，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）①∵， ∴该抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 令，解得， ∵点的横坐标为，即， 又∵轴，轴， ∴， 当点不高于点所在水平线时，可得，如下图， 此时， ∴； 当点在点上方且不超过轴时，可得，如下图， 此时， ∴； 当点在轴上方时，可得，如下图， 此时， ∴． 综上所述，关于的函数解析式为； ②若存在三个点同时满足，即直线与分段函数有3个交点， 结合①作出分段函数的图像，如下图所示， 对于， 当时，，即， 又∵， ∴在段，其顶点的坐标为， 由图可知，当直线在点之间时，与分段函数有3个交点， 即若存在三个点同时满足，则的取值范围为． 55．（2026·湖北·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点． (1)求的值； (2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标； (3)如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为． ①直接写出新函数图象对应的函数解析式； ②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3)①；② 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）设这个“倍值点”的坐标为，将代入，求出m的值，即可求解； （3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ． （2）解：由（1）得该抛物线的解析式为， 设这个“倍值点”的坐标为， 将代入，得． 解得． ∴抛物线上的“倍值点”的坐标是和． （3）解：①对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵， ∴原函数图象的顶点坐标为， ∴折叠后的抛物线的顶点坐标为， ∵将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∴当或时，该部分函数解析式为， 当时，该部分函数解析式为， 综上所述，新函数图象对应的函数解析式为； ②由①得，， 如图所示， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，且当时，取得最小值为0． ∵当时，图象上函数的最小值是， ， ， 此时，图象上函数的最大值是， 在中，令，得， 解得，，（舍去）． 的取值范围是． 56．（2026·湖北·二模）如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； (2)试推断与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为， (2) (3)①；②的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数应用，位似图形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据抛物线的顶点坐标公式，求得顶点坐标为，再将代入正比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得，可得顶点坐标，再设抛物线的解析式为，从而可得抛物线 的解析式，结合顶点在上，即可得解； （3）依据题意，由①得抛物线的顶点坐标为，又将抛物线横向、纵向同时放大倍后，可得顶点坐标为，从而抛物线将点代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得 ； （2）与之间的数量关系为．理由如下： 由题意，顶点始终在直线上， ∴ ， ． 与之间的数量关系为． （3）①由题意，， ． 抛物线顶点的横坐标为， 顶点的纵坐标为． 设抛物线的解析式为 抛物线 的解析式为 抛物线 的顶点坐标为 在上 ． ②由①得抛物线的顶点坐标为． 将抛物线横向、纵向同时放大倍后， 顶点坐标为． 抛物线 将点代入得 解得： ∴的值为或． 57．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线的图象交x轴于、B两点，交y轴于点C，点P是x轴上方抛物线上一点，点P的横坐标为m． (1)求a的值； (2)若点P是第一象限抛物线上的点，且平分，求点P的坐标； (3)若点Q的横坐标为，且轴，则点Q是点P的“衍生点”，过P作轴交直线于点D，以、为边作矩形叫作点P的“衍生矩形”，“衍生矩形”的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，且抛物线与“衍生矩形”的任意一条边交于点F，若点F是“衍生矩形”边的中点，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）把代入求解即可； （2）过点P作轴，过点C作轴，交于点M，证明，根据列方程求解即可； （3）①分，，三种情况分别求解即可； ②根据①的分类方法，求出符合当l随m的增大而增大时，点F的坐标，代入二次函数函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：过点P作轴，过点C作轴，交于点M， 平分， ， 由（1）知，抛物线的解析式为， 则，， 令，得， ，，， 令，则， 解得，或， ，， ，， ， 轴， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 解得（舍去），或， 当时，， 点P的坐标是； （3）解：①轴，轴， ，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， ， 当时，如图，，， ； 当时，如图，，， ； 当时，如图，，， ； 与m的函数解析式为；． ②当时，l随m的增大而增大，但没有符合条件的点F； 当时，， 当时，l随m的增大而增大， 若点F为的中点，此时即， ， 解得（舍去）或； 若点F为的中点，此时，即， ， 解得（舍去）或； 当时，， 此时l随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值是或． 【点睛】m在不同范围内，“衍生矩形”的位置发生相应的变化，解答时要分别画出图形来理解． 58．（2026·湖北随州·二模）如图，直线分别交x，y轴于点B，C，抛物线L：经过B，C两点，且与x轴交于另一点A，其顶点为M，点P是x轴上方的抛物线L上一动点（不与点M，C重合），点P的横坐标为m． (1)直接写出a，c的值； (2)将抛物线L向左上方平移得到抛物线G，使抛物线G经过点C，过点M作轴交抛物线G于点N，交于点D，若，试判断抛物线G的顶点Q是否在直线上，并说明理由； (3)过点P作x轴的垂线交于点E，交（2）中的抛物线G于点F，过点P作x轴的平行线与抛物线L的另一个交点为H，连接，设的面积为． ①求关于m的函数解析式； ②经过探究发现：针对的不同取值，满足条件的点P的个数不同．如果对在某个范围内的每个确定值，满足条件的点P只有一个，直接写出此时线段的最小值． 【答案】(1)， (2)点Q在直线上，见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出直线与x，y轴的交点坐标，再由待定系数法求解抛物线的表达式； （2）先求出抛物线的顶点，然后求出，而，设抛物线的表达式为，则，根据，得到，解得，即可得到抛物线的表达式为，即可进行验证； （3）①由题意得，，则，，那么，，然后分三种情况讨论求解函数解析式； ②画出关于的函数图象，根据函数图象可得，时，有4个点P；时，有3个点P；时，有2个点P；时，只有1个点P，当时，只有1个点P，而，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，； 当时，，解得 ∴， 将点，代入， 则 解得； （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， ∴ 当时， 解得 ∴ 当时， ∴， ∵将抛物线L向左上方平移得到抛物线G，使抛物线G经过点C， ∴设抛物线的表达式为 当时， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为 而， ∴ 当时， ∴点在直线上； （3）解：①由题意得，，则，， ∴， 当时，如图： 则 ∴； 当时，如图： 则 ∴； 当时，如图： 则，， ∴ 综上：； ②画出关于的函数图象，如图： 则可求，， 而，则顶点， ∴根据函数图象可得，时，有4个点P； 时，有3个点P； 时，有2个点P； 时，只有1个点P， 当时，解得或 ∴当时，只有1个点P， ∵， ∴ 对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，随着的增大而增大， ∴． 59．（2026·湖北襄阳·二模）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①；②8个 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法． （1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标； （3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可. 【详解】（1）解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，． （2） 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点． （3）解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ， ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个． 60．（2026·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①；②存在， 【分析】（1）将代入抛物线得，即可得抛物线解析式，再配方得顶点坐标 即可； （2）根据抛物线解析式得点坐标，结合点的坐标运用待定系数法求出直线表达式，由题意得，，结合表示出点的横纵坐标，并将其代入直线表达式 求出的值，注意验证的值是否符合题意； （3）①由题意得抛物线的解析式是，过点作轴的垂线方程是，，，由，结合得关于的函数解析式； ②由题意得，得，分段分析关于的函数的增减性，确定随的增大而减小时的取值范围，分情况计算时 的值，验证的值是否符合题意． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得，， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ； （2）解：令得，， ， 设直线的表达式为：， 将，代入得，， 解得：， 直线的表达式为：， 由题意得，， 点在直线下方且在点的右侧， ， ， ，， 点在直线上， ， 整理得，， 解得，（舍）， ； （3）解：①新抛物线是由抛物线平移得到的，的顶点为， 抛物线的解析式为：， 过点作轴的垂线方程为：， 过点作轴的垂线交直线于点，交于点， ，， ， 点在轴下方， ， ； ②存在， 理由：点与点关于原抛物线的对称轴对称，原抛物线的对称轴为：直线， , ， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向下，对称轴为：，在范围内随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而增大， 随的增大而减小， 或， 即， 情况1：当时，方程变为，，解得（舍）； 情况2：当时，方程变为，，解得（舍）； 综上所述，存在满足条件的值，的值为． 61．（2026·湖北黄石·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，连接，交线段于点，求的最小值； (3)若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有三个动点． ①当点在点左侧时，、两点（含，两点）之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值和最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）把代入，建立方程组求解即可； （2）过点A作轴交于点M，过点F作轴于点D，交于点N，得，得，由，求出，求出直线的解析式．可得,得，设，，得，的最大值为，得的最小值为； （3）①抛物线，顶点为，∵直线的解析式为：，∴当时，，解得，当在左侧时，，解得．分当时：当时，当时，四种情况求解即可；②对，当时，解得或,分当，，即时，当，即时，两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：过点A作轴，交直线于点M，过点F作轴于点D，交直线于点N， 则， ∴， ∴， 对，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得，解得​， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴, ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴取得最小值，． （3）解：①∵抛物线， ∴顶点为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∵图象W由时的抛物线和第三象限的直线组成． 当在左侧时，， 解得． 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为点，最高点为 ∵，， ∴； 当时，点P在直线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，点P在抛物线上，点Q在抛物线上，、两点（含，两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵，， ∴； 综上：； ②对，当时，， 解得或, 当，，即时， 点P在直线上，点R在抛物线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； ∴； 当，即时， 点P在抛物线上，点R在直线上，、两点之间的图象（含，两点）对应函数的最大值为点B的纵坐标值，最小值为抛物线的顶点的纵坐标值，均不随的变化而变化， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得； 或，解得； 当时， ∴， 解得； ∴； 综上，或． 【点睛】每种情况都要画图，帮助理解题意，解答问题． 62．（2026·湖北·二模）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． (1)c的值为__________； (2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； (3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】(1)66 (2)①基准点K的高度h为21m；②b＞； (3)他的落地点能超过K点，理由见解析． 【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66； （2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m； ②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点． 【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； （2）解：①∵a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a＝﹣， ∴y＝﹣x2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴当x＝75时，y＞21， 即﹣×752+75b+66＞21， 解得b＞， 故答案为：b＞； （3）解：他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 63．（2026·湖北·二模）如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； (3)如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】(1)，，； (2)和 (3) 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； （3）解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 64．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点P的坐标，再利用割补法即可求解； （3）①先可得，，则可得，即可求解； ②先由时，可得，再分，两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为， ∵，， ∴． （3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为， 当时，，即， ∵点A在x轴上，其横坐标为m， ∴． ∵点A为对称中心构造矩形PQMN， ∴， ∴， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，， 解得，， ∵， ∴， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，． ②当时，点M和点N重合， 化简得，解得：，， ∵， ∴， 当时，如图2所示， ∵，， ∴； 当时，如图3所示， ∵，， ∴； 综上所述，．     65．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 【答案】(1)； (2)①②③ (3)或或或 【分析】（1）根据“关联对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“关联对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“关联对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“关联对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“关联对称二次函数”为； （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 66．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 67．（2026·湖北武汉·二模）抛物线与轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． (1)求c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； (3)已知，直线与抛物线交于点E，过D的另一条直线与抛物线交于，连接，分别交x轴于P，Q两点．若的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知，得出，根据点的横坐标为，得出，，从而表示出，即可求解． （3）先求直线解析式，从而确定点，再考虑直线经过定点，从而得出，再分别通过直线、确定、，从而得出面积比为． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得：． （2）解：由（1）可知， ， ∵点的横坐标为， ， ， ， ． （3）解：设直线解析式为：， 代入点、， 得，解得， 直线解析式为：， 令， 解得， 代入， 即点， 设点M、N横坐标分别为m、n，直线解析式为：， 代入点， 得， 即直线解析式为：， 联立， 化简得：， ，， 即， 设直线解析式为：， 代入点， 得， 即直线解析式为：， 令， 解得， 即， 直线解析式为：， 令， 解得， ， 同理，直线解析式为：， 令， 解得， ， 所以， 代入， ， 所以． 68．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)点； (3)有最小值为． 【分析】（1）将点、、代入即可求解； （2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解； （3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、， 则：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方， ∴设点， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ， ， ∴点； （3）解：∵， ∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点， 将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设点， ∵垂直于直线交直线于点， ∴点， ∴，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴． ∵垂直于直线，垂直于直线， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∴点， ∴点． ∵点，点， ∴， ， ， ， ∵， ∴当，有最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的待定系数法、二次函数面积综合题、旋转的性质、两点间的距离公式、二次函数的最值问题等，能够根据题意作出图像并作出辅助线是解题的关键． 106/106 105/106 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数性质及应用 ☆10大考点概览 考点01从函数的图象获取信息 考点02反比例函数k的意义与取值 考点03实际问题与反比例函数 考点04函数的性质应用与移动 考点05动点问题的函数图象 考点06二次函数多结论 考点07一次函数的实际应用 考点08一次函数与反比例函数综合 考点09二次函数的应用 考点10二次函数图像与综合问题 考点01 从函数的图象获取信息 1.(2026湖北武汉·二模)甲、乙两人从A地出发前往B地，其中甲先出发1h.如图是甲、乙行驶路y甲 (单位：km),y乙（单位：km)随甲行驶时间x(单位：h)变化的图象.当乙追上甲时，乙行驶的时间是 () y/km 300 6 x/h A.2h B.3h C.2.5h D.3.5h 2.(2026湖北襄阳·二模)古代数学文化《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸； 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢，”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下仲，每天 长7寸(1尺=10寸)；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺.问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇.瓜蔓与瓠蔓离地面 1/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的高度h(单位：尺)与生长时间x(单位：天)的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标 是() ◆h/尺 庆 A.2 B.5 90 C. D.6 考点02 反比例函数k的意义与取值 3.(2026湖北武汉二模)已知反比例函数y=,(k为常数)的图象在第一、三象限内，写出一个满足条 件的k的值是 4.(2026湖北二模)如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n),B(m一2，n-8)两 点，则k的值为· 5,(2026湖北襄阳·二模)已知点A(x1y)、B(x2,y2)都在反比例函数y=(k≠0)的图象上，且当x1<0<x2 时，y1>y2,则k的值可以是 ·(写出一个即可) 6,(2026湖北襄阳二模)如图，点A在反比例函数y-(>0)的图象上，过点A作AB轴于点B,若 △OAB的面积为3，则k= V B 2/26 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 实际问题与反比例函数 7.(2026湖北省直辖县级单位·二模)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流！（单位A)与电阻 R(单位：2)是反比例关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（) RQ A.函数解析式为1=治 B.当R=62时，I=4A C.当1≤10A时，R≥3.62 D,当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小 8.(2026湖北二模)潜水员在水下呼吸时，携带的压缩空气瓶内的气体遵循波意耳定律：当温度不变时， 一定质量的气体压强P(单位：Pa)与体积V(单位L)成反比例关系，即PV=k(k为常数).某潜水员携 带的压缩空气瓶，在水面上时，瓶内空气体积为12L,瓶内压强为200个标准大气压，潜水员在水下某深度 处，外界水压为5个标准大气压.若他将瓶内气体释放到呼吸器中，使气体压强降至与外界水压相等，此 时气体的体积是() A.2.4L B.60L C.240L D.480L 9,(2026湖北襄阳·二模)己知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： 2)成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从6A增加到10A时，电阻R减小了() 10 6 4 9 Rig A.62 B.3.62 C.3.42 D.2.42 10.(2026湖北随州·二模)光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变.“光强”是表示光的强弱程度的物理量， 照射光越强，光强越大，光强用符号E表示，国际单位为坎德拉(c),实验（电路图为图①）测得光敏电 3/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 阻的阻值R与光强E之间的关系如图②所示，若U=6V,Ro=172,下列说法错误的是() R/ 18 15 光 12 9 6 R 3 123456E/cd 图① 图② 信息框1.欧姆定律： 导体中的电流，跟导体 两端的电压成正比，跟 导体的电阻成反比。 2.串联电路中，电路 的总电阻等于各电阻 的阻值之和 A,光强E越大，R越小 B,该图象为反比例函数图象 C.光强E越大，电路中的电流越大 D.当电流表显示0.3A时，光强E=4cd 11.(2026湖北十堰·二模)在对物体做功一定的情况下，力F@)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成 反比例函数关系，其图象如图所示，点P(4,3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距 离是 m. ◆FN) P(4,3) S(m) 4/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04 函数的性质应用与移动 12.(2026湖北·二模)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象一定不经过 y A,第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.(2026湖北二模)如图，在平面直角坐标系中有M,N,P,Q四个点，其中恰有三点在反比例函数y= (k>0)的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y=的图象上的点是() p M A.点M B,点N C.点P D.点Q 14.(2026湖北二模)把二次函数y=(x+2)2+m的图象先向右平移3个单位再向上平移1个单位，如果平 移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则应满足的条件为() A.-2<m<2B.m<1 C.-3<m<1 D.-3<m 15.(2026潮北襄阳二模)在反比例函数y=2m的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值 可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 16.(2026湖北襄阳·二模)综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液 体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度p(g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(p>0),列说法 正确的是() 5/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ←h/cm 20 01 p/(g/cm3) A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B,当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm C.当浸在液体中的高度0<h≤10cm时，该液体的密度p≥2g/cm3 D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 17.（2026湖北襄阳·二模)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2，一3)，下列结论正确的是（) A.其图象位于第一、三象限 B,当x>0时，y随x的增大而减小 C.其图象经过点(-3，-2) D.当x<-2时，y的取值范围是0<y<3 18.(2026湖北襄阳·二模)将抛物线y=2x2-4x+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛 物线解析式为() A.y=2x2-3 B.y=2(x+1)2-3C.y=2(x-2)2-1D.y=2x2+1 考点05 动点问题的函数图象 19.(2026湖北恩施·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x交于B,C两点，与y轴交于点 A,已知点C的坐标为(1,1)，点B的横坐标为3，BA⊥y轴.下列结论错误的是() B 101 3 A.c=3 B.abc<0 C.2a+b+1=0 D.当1<x<3时，x2+bx+c>x 6/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(2026湖北武汉·二模)如图，在四边形ABCD中，AD II BC,∠B=90°，AB=2AD=4,BC=5,点P 从点A出发，沿AB一BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,则y关于 x的函数图象是() D B 4 3 2 2 A. 123456789x B. 123456789x 4 4 3 1- O O C. 123456789x D. 123456789x 21.(2026湖北随州·二模)如图1，已知等边△ABC,点P从点A出发沿折线AB一BC以1cm/s的速度匀速 移动，到达点C时停止，而点Q在边AC上随点P移动，且始终保持LAPQ=60°.设运动的时间为ts,CQ=y cm,y关于t的大致函数图象如图2所示，则下列结论错误的是() B 图1 图2 A,△ABC的边长为4 B.当t=6时，AP⊥BC C.若0<t<4,则PQIBC D.当0<t<5时，y随t的增大而减小 22,(2026湖北黄冈·二模)在功W(单位：J)一定的条件下，功率P(单位：W)与做功时间t(单位：s) 成反比例，功率P与做功时间t之间的函数关系如图所示.当30≤t≤50时，P的值可以为() P/WA 30 40 7/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20 B.32 C.45 D.50 23.(2026湖北武汉·二模)如图，正三角形AB0的顶点B的坐标为(2,0)，垂直于x轴的直线x=t(0≤t≤2) 从左向右平移，其扫过的面积为S(阴影部分)，下列图象能表示S与t函数关系的是() X-I B S 3 B SA S c. D 24.(2026湖北十堰·二模)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后 停止，设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,△ABC的高CG=3.图2是y与x的函数关系的大致图象， 其中点F为曲线DE的最低点 D G B 8 图1 图2 (1)m= (2)点F的坐标为 25.(2026湖北襄阳·二模)如图1，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD,EG与AB在一条直线上， 8/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点F在CB的延长线上，将△EFG以1个单位/秒的速度沿BC向点C运动，当点G与点C重合时停止运动，运 动时间为t秒，设矩形ABCD与△EFG重合部分的面积为S,s与t的函数图象如图2所示，它是由线段OP,QM 和曲线PQ三部分组成.根据图中信息可知，AD的长为 a的值为 M D A B(O O123 图1 图2 26.(2026湖北襄阳·二模)如图1，在△ABC中，∠B=45°，D为AB中点，点E从点B出发以每秒1个单 位的速度向点C运动（到达点C后停止），设点E运动的时间为x(单位：秒)，DE+AE的长为y,图2是 点E运动时y随x变化的图象，其中M为该图象的最低点，则BD= ，t 35 B E 图1 图2 27.(2026湖北黄石·二模)如图1，在△ABC中，AB>AC,D是边BC上一动点，设B,D两点之间的距离 为x,A,D两点之间的距离为y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段AC的长和线段AB的长 分别为 13 7 图1 图2 28.(2026湖北随州·二模)如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止，设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的函数关系 的大致图象，则BD= 口ABCD的面积为 9/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 6 P 6 12 图1 图2 29.(2026湖北襄阳·二模)如图1，平行四边形ABCD中，∠D=150°，两动点M,N同时从点A出发， 点M在边AB上以2cm/s的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A一D一C一B的路径匀速运动， 到达点B时停止运动.△AMN的面积S(cm2)与点N的运动时间t(s)的关系图象如图2所示，已知AB=4 cm 个S/cm2 D b M B C 图1 图2 (1)N点的运动速度是 cm/s; (2)c处的数值等于 考点06 二次函数多结论 30,(2026湖北襄阳·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,下列结论，正确的有() ①abc>0;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0. 2计 34 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 31.(2026湖北随州二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： -4 -3 -1 5 0 5 9 -27 下列结论：①abc>0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当-4<x<1时， 10/26 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y的取值范围为0<y<5;④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上，则y1=y2;其中正确的有 () A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 32.(2026湖北襄阳·二模)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1,下 列结论：①abc>0;②b2-4ac>0;③a-b+c<0;④2a+b=0,其中正确的个数是() YA A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 33.(2026湖北武汉·二模)关于函数y=ax2-2a叫x-1(a>0),以下结论： ①图象始终经过点(0，-1)： ②函数图象关于y轴对称； ③当x<一1时，y随x增大而减小； ④若图象与直线y=-3有四个公共点，则0<a<2; ⑤设方程ax2-2ax川-1=0的两根为x1,x2(1<x2),若6<x2-x1<8,则哈<a<3 其中正确的结论是 (填写序号). 34.(2026湖北武汉·二模)已知二次函数y=x2+bx+c经过(m,1),(n,1),m>n>0.下列五个结论： ①b<0; ②c>1; ③若关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则m一n=2; ④若(1y1),(2,y2),(3,y3)在该函数图象上，y1<y2<y3,则m+n≥2； ⑤若关于x的方程x2+bx+c=nx+m至少有三个实数根，且c的值是3，则m的最小值是6，其中正确的 是 (填写序号). 35.(2026湖北武汉·二模)己知二次函数y=ax2+(a-2)x一2(a为常数，且a≠0).下列五个结论： ①该函数图象经过点(-1,0)； ②若a=-1,则当x>-1时，y随x的增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1； 11/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑤若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=2的正数根只有一个. 其中正确的是 (填写序号) 考点07 一次函数的实际应用 36.(2026湖北·二模)声音在空气中传播的速度（称为声速）y(单位：m/s)是气温x(单位：℃)的 次函数，下表列出了不同气温时的声速： x(C) 0 10 15 20 y(m/s) 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧5s后才听到声响，当时的气温为一5C,小明与烟花所在地相距 m.(光传播所用 的时间忽略不计) 37.(2026湖北襄阳·二模)城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木 补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木.已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木 共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元 (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元 (已扣除补贴).设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平 方米，设小区年遮阴总面积为、平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 38.(2026湖北黄冈·二模)某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比 乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器入2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120 件. (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人 至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在(2)的条件下，如何采购，两 种机器人的总价格最小？ 考点08 一次函数与反比例函数综合 12/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 39.(2026湖北恩施二模)如图，点A在反比例函数y=(k≠0，x>0)图象上，过点A作AB垂直于x轴 于点B.已知AB=4,OB=3. B D E (1)求k的值 (②)点C是反比例函数y=(x>0)的图象上一点，点D,E在x轴上，CDIOA,CE I AB.若0B=2DE, 求点C的坐标. 40.(2026湖北随州·二模)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=-x+b和反比例函数y=的图象相 交于点A(1,m)和点B. VA =-X+b (I)求点A,B的坐标及一次函数的解析式： (2)根据图象，直接写出不等式-x+b>?的解集. 41,(2026湖北随州二模)如图，反比例函数y=(k>0)的图象与一次函数y=x的图象交于A、B两点 (点A在第一象限).若点A的横坐标为4. (I)求k的值及B点的坐标. (2)根据图象，直接写出当>时，x的取值范围。 13/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 42.(2026湖北襄阳二模)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=咒(m≠0)的图象交于 A(-2,3)、B(n,-1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)求△A0B的面积； (3)直接写出当kx+b<时，x的取值范围. 考点09 二次函数的应用 43. (2026湖北武汉·二模)在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为α（单位：m/s),垂 直向上的速度为b(单位：m/s).实心球在空中运动时，其水平距离x(单位：m)与时间t(单位：s)的 关系为x=at,高度y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为y=-5t2+bt+2. Ay/m bm/s am/s x/m (①)在小强同学的一次投掷中，测得当t=2时，x=3m,y=m; ①直接写出x与t的函数关系式为；y与t的函数关系式为 ;根据以上关系，可得y与x的函 数关系式为 ②求出本次实心球的投掷距离 (②)研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远，改进投 掷方法后，小强投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a=b,求实心球在投掷过程中的最大高度 44.(2026湖北襄阳·二模)如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考 虑空气阻力，球的飞行高度y(m)与飞行距离x(m)之间的关系式为y=一六2+x,则球能达到的最大高度 14/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 m, 0 45.(2026湖北恩施·二模)图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.此时桥拱 与水面的交点分别为点A和点B,拱顶为点C, C 2m --4m- 图1 图2 ()请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式. 方案一：以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (2)当水面下降2.5m时，水面宽度增加多少？ 46.(2026湖北武汉·二模)某公司用1号，2号无人机分别在空中A,B投放点向平坦地面投放物资. 研究背景 1号，2号无人机和物资的落点都在同一竖直平面内，物资的运动路径近似看作抛物线的一部分. 建立方法 如图，以水平地面为x轴，投放点A,B所在直线为y轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径分别是抛物线 y1,y2 B A， 60- 040 下收集信息 ①无人机在空中投放物资时，物资与地面的垂直距离y与距投放点的水平距离x之间的函数解析式为y=h一 品x2,h表示投放物资时无人机与地面的垂直距离（单位：米）。表示投放物资时无人机的水平初速度（单 位：米/秒). 15/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②1号无人机在空中以20米/秒的水平初速度投放物资，当物资距投放点的水平距离为40米时，垂直高度 为60米。 ③2号无人机在1号无人机竖直上方100米处，以10米/秒的水平初速度同时投放物资. 建立模型 (1)求抛物线y1,y2的解析式； 应用模型 (②)求两物资落点之间的水平距离； (3)在保持1号，2号无人机在同一竖直线上，同时投放物资，且物资落点不变的前提下，通过改变2号无 人机的投放高度及水平初速度，来避免物资相撞，若无人机投放物资的最低飞行高度为45米，直接写出2 号无人机投放物资时的水平初速度的取值范围. 47.(2026湖北随州·二模)某连锁超市销售一种进价为40元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进 价且不高于70元，经过市场调研发现，日销售量y(千克)与售价x(元)满足如图所示的一次函数关系. y(千克) 160 120 5060 x(元) (I)根据上述信息，求出y与x之间的函数关系式（不需要写出x的范围）： (2)超市要想每天获得2100元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当每日购进这种水果的总进价不超过3840元时，通过计算说明每天能否获得2500元的销售利润？ 48.(2026湖北黄石·二模)某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y(件)与每件商品的日 销售价x（元)之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得 高于50元). /件 200 B 100 40f-- 0 253550x/元 (1)直接写出y与x的函数关系式： (2)若日销售单价x(元)为整数，则当日销售单价x(元)为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利 16/26 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 润是多少； (3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围 49.(2026湖北襄阳·二模)某网店销售一种成本为每件40元的商品，规定销售单价不低于成本单价，且不 高于80元，经市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系 y=-2x+200. (1)求该网店每天销售该商品的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (②)当销售单价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (3)为了回馈顾客，该网店决定每销售一件商品就捐赠α元(a>0)给慈善机构，若扣除捐赠后的利润w'随x的 增大而增大，求a的取值范围 考点10 二次函数图像与综合问题 50.(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)两 点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点. D B B 图1 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP,BP交AC于点D,若SA4PD=kSAABD,求k的取 值范围； (3)己知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90得到点Q,若点Q恰好落在二次函数的图像上，请直接 写出点M的坐标. 51.(2026湖北武汉·二模)已知抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C. 17/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C C F M B H B E 图1 图2 (1)直接写出抛物线的解析式是 (Q)如图1，连接AC,BC,过第一象限的抛物线上的点D作直线DEAC,交y轴于点E,交BC于点R.若S =子，求点D的坐标； (3)如图2，直线x=t交抛物线于点P,交x轴于点H,过直线x=t上一点Q(Q在P的下方)的直线交抛 物线于M,N两点，△PQM与△PQN的面积分别记为S1,S2,若S1·S2=子，求△ACQ的面积的最小 值， 52.(2026湖北恩施·二模)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C (0,3),作直线BC 40 P BN 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于另一点D,求点D到直线BC的距离. (3)如图2，P是x轴正半轴一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线CB于点E,连接AE,设点P 的横坐标为m,△APE的面积为S. ①求S关于m的函数解析式； ②当1<S≤2时，请直接写出m的取值范围. 53.(2026湖北武汉·二模)抛物线C1:y=x2+2x-3交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y轴于点C,连 接AC,BC. 18/26 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 图（1) 图(2) (I)直接写出A,B,C的坐标； (2)如图(1)，点D是抛物线第三象限上的一点，点M是线段BC的中点，点N是线段AC上一点，若四边形CDNM 是平行四边形，求点D的坐标； (3)如图(2)，将抛物线C1平移，使其顶点在原点，得到抛物线C2,直线EF:y=kx+4(k≠0)与抛物线C2 交于E,F两点(E在F的左边).点P是第三象限内的一点，设直线PE的解析式是y1=mx+p,直线PF的解 析式是y2=x+q,是否存在定点P(-1,),使得+是定值？若存在，请求出t的值与这个定值；若不存 在，请说明理由， 54.(2026湖北十堰·二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx一c,经过A(-1,0),B(3,0)两点，交y 轴于点C. B 图1 图2 备用图 (I)求b,c的值； (②)如图1，若点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PE上x轴，垂足为E,交BC于点D,求，E”E的值； (3)若点P是y轴右侧抛物线上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F,设f=BE+CF,点 P的横坐标为m(m>0); ①求f关于m的函数解析式； ②若存在三个点P同时满足f=n,直接写出n的取值范围. 55.(2026湖北·二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+3与x轴相交于点A(-1,0)和点B. 19/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (I)求a的值； (2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”.求 抛物线y=ax2+2x+3上的“倍值点的坐标； (3)如图1，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函 数的图象（如图2）记为M ①直接写出新函数图象M对应的函数解析式： ②当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是2一}最大值是？-t,求m的取值范围. 56.(2026湖北·二模)如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的 抛物线，抛物线的统一形式为y=ax2+bx(a<0,b≠0)，且顶点始终在直线y=kx上. 1V= (1)当a=一2，b=8时，求抛物线的顶点坐标和k的值； (②)试推断k与b之间的数量关系，并说明理由； (③)已知k=1,且符合题干的抛物线C顶点的横坐标为1，将抛物线C向右平移c个单位长度，再向上平移c+ 个单位长度得到抛物线C1,且抛物线C,的顶点恰好也在直线y=kx上. ①求c的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点K(位置固定)，刚好落在平面直角坐标系中点(8，一4)的位置，该同学 通过电脑放大功能，将抛物线C1横向、纵向同时放大d(d>0)倍得到抛物线C2y=-x2+mx+n,使点K 落在抛物线C2上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的d的值， 57.(2026湖北襄阳·二模)如图，抛物线y=ax2+2x+3的图象交x轴于A(-1,0)、B两点，交y轴于点 20/26 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C,点P是x轴上方抛物线上一点，点P的横坐标为m. B 备用图 (1)求a的值； (2)若点P是第一象限抛物线上的点，且CB平分LACP,求点P的坐标； (3)若点Q的横坐标为2m-2,且PQIx轴，则点Q是点P的“衍生点”，过P作PD‖y轴交直线BC于点D, 以PD、PQ为边作矩形PDEQ叫作点P的衍生矩形”，“衍生矩形”的周长为1. ①求1与m的函数解析式： ②当1随m的增大而增大时，且抛物线与“衍生矩形”PDEQ的任意一条边交于点F,若点F是“衍生矩形”边 的中点，直接写出m的值 58.(2026湖北随州·二模)如图，直线y=一x+4分别交x,y轴于点B,C,抛物线L:y=ax2+x+c经 过B,C两点，且与x轴交于另一点A,其顶点为M,点P是x轴上方的抛物线L上一动点（不与点M,C 重合)，点P的横坐标为m. (1)直接写出a,c的值； (2)将抛物线L向左上方平移得到抛物线G,使抛物线G经过点C,过点M作MW⊥x轴交抛物线G于点N, 交BC于点D,若DM=DN,试判断抛物线G的顶点Q是否在直线BC上，并说明理由； (3)过点P作x轴的垂线交BC于点E,交(2)中的抛物线G于点F,过点P作x轴的平行线与抛物线L的 另一个交点为H,连接HF,设△PHF的面积为S. ①求S关于m的函数解析式； ②经过探究发现：针对S的不同取值，满足条件的点P的个数不同.如果对S在某个范围内的每个确定值， 21/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 满足条件的点P只有一个，直接写出此时线段EF的最小值. 59.(2026湖北襄阳·二模)如图，直线y=x+4与y轴，x轴分别交于点A,B,抛物线C1y=一2x2+bx+c 经过点A,B,交x轴于另一点C,点E为线段OA上一动点，直线CE交抛物线于点D. E B (1)填空：b=’c= ； (2)若CE:ED=2:3,求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线上有一动点P,过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线CE于点M,N,设PM+PN=d, 点P的横坐标为m(-3≤m≤2) ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数. 60.(2026湖北襄阳·二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx-3经过A(-1,0),B(3,0)两点，抛物 线的顶点为T,点P为x轴下方抛物线上一动点，点P的横坐标为m. B x B x 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式及点T的坐标； (2)如图1，当点P在直线BC下方且在点T的右侧时，连接OP交BC于点D,当OD=2DP时，求m的值； (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为L,设L的顶点为T'(1,m一4)，过点P作x轴的垂线交直线BC于点E, 交L于点F,设E,F两点间的距离为d. ①求d关于m的函数解析式； ②若点Q与点P关于原抛物线的对称轴对称，连接PQ,当d随m的增大而减小时，是否存在d=PQ?若存在， 请直接写出m的值；若不存在，请说明理由， 61.(2026湖北黄石·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a>0)与x轴交于点A(-2,0) 22/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、C(6,O),与y轴交于点B,直线l经过B、C两点. 图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点F是第四象限内抛物线上一点，连接AF,交线段BC于点G,求C的最小值： (3)若抛物线y=ax2+bx一3(x≥0)与直线BC在第三象限的图象组成新的图象W,图象W上有三个动点P (m,y1),Q(6-m,y2),R(3-m,y3). ①当点P在点Q左侧时，P、Q两点（含P,Q两点)之间的图象的最高点和最低点的纵坐标的差为h,直接写 出h与m之间的函数解析式并写出自变量的取值范围； ②当P、R两点之间的图象（含P,R两点)对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化，直接写出m 的取值范围， 62.(2026湖北·二模)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线 是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准 点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022年北京冬奥会跳台滑雪标准 台的起跳台的高度0A为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值).设运动员从 起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0). m木 起跳点A 基准点K 、着陆坡 x/m (1)c的值为 (②)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=一动b=品，求基准点K的高度m: ②若a=一品时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 23/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点，并说明 理由 63.(2026湖北二模)如图①，已知抛物线y=x2一2x一3交x轴于A,B两点（点B在点A右边），交y 轴于点C. 图① 图② 图③ (1)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E,若AE=2EF,求点F的坐标 (3)如图3，若点M,N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接AN,BM交于点P,S△APM:S△BPN=9:25, 求点P的横坐标. 64.(2026湖北黄冈·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx+c(其中b、c为常数)的 图象经过B(0,1)和C(3,一2)两点，点P在该抛物线上. (1)求该抛物线的解析式； (②)如果点P是抛物线的顶点，求△PBC的面积： (3)点P在该抛物线上，其横坐标为2m,点A在x轴上，其横坐标为m,以点A为对称中心构造矩形 PQMN,PQ⊥x轴. ①当m>1时，如果该抛物线的顶点在矩形PQMN的边QM上时，求m的值； ②记矩形PQMN的周长为l,当m<0时，直接写出1关于m的函数解析式， 65.(2026湖北随州·二模)定义如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1,b1,c1是常数)与y=a2 x2+b2x+c2(a2≠0，a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=1,c1=c2且对称轴相同的二次函数互为“关联对 称二次函数”.例如：y=2x2+4x-3的“关联对称二次函数”为y=-x2-2x-3. (1)y=-x2的“关联对称二次函数”为 ，y=一x2+2x+3的“关联对称二次函数”为 24/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是 ；(填序号) ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③y=ax2-2ax+3(a≠1)的“关联对称二次函数”为y=(1-a)x2-2(1-a)x+3; ④任意两个“关联对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点 (3)如图，二次函数L1y=ax2-4ax+1(Q≠1)与其“关联对称二次函数”L2都与y轴交于点A,点B,C分别在 L1,L2上，点B,C的横坐标均为m(0<m<2),它们关于L的对称轴的对称点分别为点B,C,连接BB',B C',CC,CB.若m=1,且四边形BB'CC的邻边之比为1：2，求出a的值 1L2 L A B 66.(2026湖北襄阳二模)如图，抛物线y=ax2+x+2与x轴交于A,B两点（点B在点A的右侧)， 与y轴交于点C.直线y=2x+2经过A,C两点. 备用图 (1)求a的值； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (③)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上， 那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形.若点E在AC上，点F在BC上，四边形EFGH是△ABC的内接矩 形，设EF=m,矩形EFGH的面积记为S. ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形EFGH的面积最大时，矩形在AB边上的顶点的坐标， 67.(2026湖北武汉二模)抛物线y=x2-x+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C,T是 抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t. 25/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M O/B B A OD 图1 备用图 (1)求c的值； ②)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为山，求晋的值： (3)己知D(1,O),直线CD与抛物线交于点E,过D的另一条直线与抛物线交于MN,连接MC,EN分别交x轴 于P,Q两点，若S△cDP:S△DEQ的值 68.(2026湖北襄阳·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)· 30 -2-10 1245 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上一点，位于x轴上方，连接AD、BD,若△ABD的面积为8，求点D的坐标； (3)点E是抛物线对称轴上一点，连接CE,将CE绕点E逆时针旋转9O°得到EF,连接BF,求BF的最小值. 26/26可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数性质及应用 ☆10大考点概览 考点01从函数的图象获取信息 考点2反比例函数k的意义与取值 考点03实际问题与反比例函数 考点04函数的性质应用与移动 考点05动点问题的函数图象 考点06二次函数多结论 考点07一次函数的实际应用 考点08一次函数与反比例函数综合 考点09二次函数的应用 考点10二次函数图像与综合问题 考点01 从函数的图象获取信息 1.A 2.C 考点02 反比例函数k的意义与取值 3.2(答案不唯一) 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.4 5.-3(答案不唯一) 6.6 考点03 实际问题与反比例函数 7.B 8.D 9.D 10.D 11.1.2 考点04 函数的性质应用与移动 12.B 13.B 14.C 15.A 16.C 17.D 18.A 考点05 动点问题的函数图象 19.D 20.C 21.D 22.B 23.A 24. 6 12,43 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.57 26.322 27.V13,25 28.6 1011 29.1 10 考点06 二次函数多结论 30.B 31.C 32.C 33. ①②③⑤ 34.①②③⑤ 35. ①②④⑤ 考点07 一次函数的实际应用 36.1640 37. (1)购进1株甲种苗木需7元，1株乙种苗木需3元： 38.(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 考点08 一次函数与反比例函数综合 39.(1)k=12 (2)C6,2 40.(1)A1,9,B9,1,y=-x+10 Q)x<0或1<x<9 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41.(1)B-4,-3,k=12 ②)x<-4或0<x<4 ()反比例函数解析式为y=. ,一次函数解析式为y= +2 1 42. X (2)8 6).2<x<0或x>6 考点09 二次函数的应用 43. (①0x=6t,y=-52+3t+2,y=- 6x2+号x+2:②本次实心球的投掷距离为6米 (2)实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米 9 4. 45. 0方案：y-x-2+4图见解折：方案：y=·×.图见解析 (2)2m 46. (四y=8 +80,为=180 20 (2)两物资落点之间的水平距离为20米 (3)15<v≤20 47.(1)y=-4x+360 (2)售价应定为55元 3)不能，计算见解析 48. (1)y= (2)当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元 (3)40≤x≤45 49.(①w=-2x2+280x-800040≤x≤80 (2)当X=70时，最大利润为1800元； 6)a≥20 4/7 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点10 二次函数图像与综合问题 50. (1)y=-x2-2x+3 80-s号 8)M10,31、M-5,-2、M,-3,0、M-4,1 51. (1)y=-x2+3x+4 (2)D(2,6) B)SAAc0最小值为8 11 52.(1)y=-x2+2x+3; 292 3)①s=t ②0<m<1+V2或1+V6<m≤1+2V2: 53.(1)A-3,0,B1,0,C0,-3 2D-1,-4或-2，-3 何在在，当t=4时，+片是定他号 m n 54.(1)0 (2)1 6Df=d;②3<n<13 55. (1)-1 23,2513,-23 60y=:②3≤m≤1+22 56. (1)抛物线的顶点坐标为2,8，k=2 5/7 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)b=2k 8)0c=1:@.的值为2或16 57.(1)a=-1 2)p5,32 3’9 801=d,@m=14-22或m=1 9 1 58.( a=-2c=4 (2)点Q在直线BC上，见解析 3)①S=d;② 5 59.(1)-1,4 @n-3, 3)①=②8个 60.(1)y=x2-2x-3,T1,-4 2)3+3 2 3)Dd=2:②存在·m=2 61.( 24G 9 6)0h=i:②.1≤m≤0或3≤m≤4 62.(1)66 (2)①基准点K的高度h为21m,②b>9 0 (3)他的落地点能超过K点，理由见解析. 6/7 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 63.()A-1,0,B3,0,C0,-3: 3+亚1+7和2，-3到 2 2 时 64. (1)y=-x2+2x+1 (2)3 0m- :②l=t 65.四y6x:y=2x-4x+3 (2)①②③ 6)片或2或.1或2 3366 60a= (②)△ABC是直角三角形，理由见解析 ③)0①有两个顶点G,H落在AB上时，S三专m+2m:只有个项点H落在AB上时，S=-2m+25m 当点B与点c里合时，点G在AB·5=m+95m:@方，0(20网号0 67. 00=2 (2)2 e} 68.(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3: 2)点D1,4: )BF有最小值为22 7/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8/7