2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习必考点3：二元一次方程组

**基本信息** 聚焦二元一次方程组，以“概念理解-解法应用-综合创新”为逻辑主线，通过典例变式构建从基础到拓展的方法体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6道（含解、参数、应用）|代入/加减消元、参数处理、建模思想|概念生成→解法推导→应用拓展| |举一反三|6道（变式拓展）|整体代换、几何转化、新定义转化|解法迁移→综合应用| |巩固练习|15道（综合巩固）|数据建模、跨知识整合|创新迁移→系统巩固|

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 期末复习必考点3：二元一次方程组 【典型例题】 【例1】若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【例2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【例3】 已知是方程的一个解，则m的值是____________． 【例4】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【例5】解下列二元一次方程组： （1） （2） 【例6】母亲节当天，小丽准备给妈妈买一束向日葵和康乃馨的混搭花束已知枝向日葵和枝康乃馨共需元，枝向日葵和枝康乃馨需要元小丽想买枝向日葵和枝康乃馨，需要多少元？ 【举一反三】 【变式1】如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【变式2】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【变式3】若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【变式4】如图2，用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片拼成正方形，4张长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为64；用8张长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为36；用12张长方形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为____________． 【变式5】已知关于，的方程组 （1）若，求的值； （2）设，，比较与的大小关系并说明理由． 【变式6】对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，． （1）求的值； （2）当时，求的非负整数解． 【巩固练习】 1.已知满足方程组，则之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 2.解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( ) A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2 3.已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（ ） A. B. C. D. 4.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若7人坐一辆车，则9人需要步行，若“…”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为（ ） A. 十一人坐一辆车，有一车少坐1人 B. 十一人坐一辆车，则1人需要步行 C. 十一人坐一辆车，则有1辆空车 D. 十一人坐一辆车，则还缺一辆车 5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 6.已知则 _____________ (用只含x 的代数式表示)． 7.若是方程x﹣2y=0的解，则3a﹣6b﹣3=_____． 8.已知二元一次方程组的解满足，则k的值是 ____. 9.《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱,如果甲得到乙所有的一半，那么甲共有钱50文，如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文.甲、乙各带了多少钱？ 设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组为：_____________________. 10.下列表格是某超市对A、B、C三种品牌商品连续五天的销售记录，第三天的总收入登记时不慎被油墨玷污．已知A、B、C 三种品牌商品这五天的销售单价保持不变，请根据表中数据，补全第三天的总收入为______________元． 品牌 销量(个) 时间 A B C 总收入(元) 第一天 1 5 3 1000 第二天 7 3 0 880 第三天 4 4 2 第四天 3 6 0 660 第五天 4 5 1 900 11.解方程组： （1）； （2） 12.已知关于的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 13.某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． （1）求写出的关系式； （2）求出所有可能的购买方案； （3）若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 14.定义，如． （1）若，求的值； （2）若的值与无关，求值． 15.对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： （1）_______，_______； （2）若，求的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 答案解析 【典型例题】 【例1】若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【例2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【例3】 已知是方程的一个解，则m的值是____________． 【答案】2 【例4】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【答案】3 【例5】解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 ， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 【例6】母亲节当天，小丽准备给妈妈买一束向日葵和康乃馨的混搭花束已知枝向日葵和枝康乃馨共需元，枝向日葵和枝康乃馨需要元小丽想买枝向日葵和枝康乃馨，需要多少元？ 【答案】设向日葵的单价为元，康乃馨的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：小丽想买枝向日葵和枝康乃馨，需要元． 【举一反三】 【变式1】如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式2】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】C 【变式3】若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【答案】 【变式4】如图2，用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片拼成正方形，4张长方形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为64；用8张长方形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为36；用12张长方形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为____________． 【答案】 【变式5】已知关于，的方程组 （1）若，求的值； （2）设，，比较与的大小关系并说明理由． 【答案】（1）解：， 得：， ∴， 又∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）得：， 得：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式6】对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，． （1）求的值； （2）当时，求的非负整数解． 【答案】（1）解：∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴，即， ∴符合条件的非负整数解有：，，． 【巩固练习】 1.已知满足方程组，则之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( ) A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2 【答案】C 3.已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若7人坐一辆车，则9人需要步行，若“…”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为（ ） A. 十一人坐一辆车，有一车少坐1人 B. 十一人坐一辆车，则1人需要步行 C. 十一人坐一辆车，则有1辆空车 D. 十一人坐一辆车，则还缺一辆车 【答案】C 5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 6.已知则 _____________ (用只含x 的代数式表示)． 【答案】 7.若是方程x﹣2y=0的解，则3a﹣6b﹣3=_____． 【答案】-3 8.已知二元一次方程组的解满足，则k的值是 ____. 【答案】4 9.《九章算术》第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱,如果甲得到乙所有的一半，那么甲共有钱50文，如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文.甲、乙各带了多少钱？ 设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组为：_____________________. 【答案】 10.下列表格是某超市对A、B、C三种品牌商品连续五天的销售记录，第三天的总收入登记时不慎被油墨玷污．已知A、B、C 三种品牌商品这五天的销售单价保持不变，请根据表中数据，补全第三天的总收入为______________元． 品牌 销量(个) 时间 A B C 总收入(元) 第一天 1 5 3 1000 第二天 7 3 0 880 第三天 4 4 2 第四天 3 6 0 660 第五天 4 5 1 900 【答案】 11.解方程组： （1）； （2） 【答案】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组解为； 【小问2详解】解：， 由得， 解得：， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为：； 12.已知关于的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】 得：， 得： ， 代入不等式得：， 解不等式组得：， ∴满足条件的的整数值为：、． 13.某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）． （1）求写出的关系式； （2）求出所有可能的购买方案； （3）若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由． 【答案】（1）解：由题意得，的关系式为，且； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∵均为正整数， ∴，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支， ，即笔记本本，笔支； 【小问3详解】 解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， 笔记本本，笔支，总数， ∴笔记本本，笔支时奖品总数最多． 14.定义，如． （1）若，求的值； （2）若的值与无关，求值． 【答案】（1）解：， ，即， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 的值与无关， ， 解得， ． 15.对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： （1）_______，_______； （2）若，求的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $