2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末复习必考点3：二元一次方程组（分层练习）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全维度考法，以分层练习构建“概念-解法-应用-思想”四维方法体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-5、填空9-10|定义辨析、解的意义|从二元一次方程（组）定义到解的验证，构建概念认知基础| |解法应用|解答17-18|代入消元法、加减消元法|通过规范步骤训练，掌握基本解法与同解问题处理| |含参综合|选择8、填空11-12、解答19-20|参数消元、解的性质分析|结合方程解的特征，培养推理意识与参数处理能力| |实际建模|选择6-7、解答22|等量关系提取、整数解分析|以“双减分组”“二果问价”为例，强化模型意识| |思想方法|解答21-24|整体代入、消元转化|通过阅读理解与类比迁移，渗透数学思维方法|

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 期末复习必考点3：二元一次方程组 （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2.如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 3.若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 4.若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 5.已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 6.为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 7.《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533-1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8.已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.把二元一次方程写成用含的式子表示的形式，则__________． 10.若是方程的解，则的值是______． 11.若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为______． 12.已知关于x，y的方程组的解满足，则 ______ ． 13.已知，则_____． 14.已知与互为相反数，并且，则代数式 ． 15.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 16.已知，且，那么 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.解下列方程组： （1）； （2）． 18.关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 19.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 20.已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 21.［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 22.因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 23.【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 24.阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如果是二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 3.若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4.若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 5.已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 6.为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】D 7.《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533-1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8.已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.把二元一次方程写成用含的式子表示的形式，则__________． 【答案】 10.若是方程的解，则的值是______． 【答案】 11.若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为______． 【答案】 12.已知关于x，y的方程组的解满足，则 ______ ． 【答案】 13.已知，则_____． 【答案】3 14.已知与互为相反数，并且，则代数式 ． 【答案】 15.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【答案】 16.已知，且，那么 ． 【答案】1 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ，得， 把代入，得， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 将代入，得， 解得：， 把代入，得， 原方程组的解为． 18.关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值． 【答案】根据题意得， 解得：， 把代入方程中， 得， 解得：， ∴． 19.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2）解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 20.已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 21.［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 22.因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，现决定向租赁公司同时租用甲，乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台时） 挖掘量（单位：/台时） 甲型挖掘机 100元 乙型挖掘机 120元 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？ 【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得：， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）解：设租用m台甲型挖掘机，n台乙型挖掘机． 依题意得：， 化简得：． ∴， ∴方程的解为或． 当，时，支付租金：元元，符合要求； 当，时，支付租金：元元，符合要求． 答：两种租用方案，第一种甲、乙两种挖掘机各需1台，6台；第二种甲、乙两种挖掘机各需5台，3台． 23.【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 【答案】（1）①小明，解得， 则； 小红得， 则得； ②设， 则，解得， 那么，； （2）， 则，解得， 那么，， ∵， ∴， 则的取值范围是． 24.阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则________，_______； （2）买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】（1）依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 【小问3详解】 解：依题得，由 可得， 即， ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $