考点02 平面向量的数量积及运算 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量数量积及运算，通过12道题系统训练概念理解、运算技能及几何应用，渗透数学思维的推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-3、填空9|考查数量积公式、模与投影计算|从数量积定义出发，构建“定义-公式-运算”逻辑链| |几何应用|单选4-5、多选8|结合三角形、正五角星等图形|体现“向量工具→几何问题转化”应用意识| |实际与综合|单选6、解答11-12|生活情境及参数存在性问题|形成“概念-运算-应用”完整认知体系，培养数学语言表达能力|

考点02 平面向量的数量积及运算·能力提升 1、 单选题 1. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】由已知可得，，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：. 3. 已知向量满足，，，则（    ） A．17 B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模 【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，由，得，解得，又， 所以. 故选：D 4. 在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】用向量解决线段的长度问题、已知数量积求模、余弦定理解三角形 【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：， 将上式两边平方得： . 已知，，且，代入得： ， 对两边开平方得：. 5. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由平面向量数量积的定义计算可得结果. 【详解】作，垂足为，如下图所示： 则为的中点， 故 . 故选：A 6. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】力的合成、向量夹角的计算 【分析】对A：根据力的平衡计算即可得；对B：由A得，结合余弦函数单调性即可得；对C：由，结合计算即可得；对D：由，结合计算即可得. 【详解】对A：由题意可得，故A错误； 对B：由A得，当角越大时，越小，则越大， 故越大，故当角越大时，用力越大，故B错误； 对C：当时，， 由题意可得，故，故C正确； 对D：当时，由，则， 即有，则，由， 故，即，故D错误. 二、多选题 7. 已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则且 D．若，则或 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可. 【详解】，则，故，A正确； 若，则，故，B正确； 若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量，即且，如取，C错误； ，解方程得或，D正确. 故选：ABD. 8. 八角镂空窗是中国古典建筑与园林中极具代表性的几何形镂空窗，集实用功能､美学意境与吉祥文化于一体.某八角镂空窗的边框呈正八边形，其示意图与直角坐标系中的平面图如图所示，已知为正八边形内的一动点（含边界），为正八边形的中心，，则下列说法中正确的有（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律、向量加法的法则 【分析】利用正八边形的性质即可依次得到每个点的坐标，从而判断A，B，C；最后将的取值范围转化为向量在方向上的投影数量的取值范围即可判断D. 【详解】已知，为正八边形，如图所示，设， 则， 对于A，根据正八边形的性质可得点的坐标为，故A正确； 对于B，根据正八边形的性质可得点的坐标为，因此，故B正确； 对于C，根据正八边形的性质可得点的坐标为，所以， 所以， 而，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，为正八边形内的一动点（含边界），则，其中表示向量与的夹角， 因此，要求，即求，而表示向量在方向上的投影数量， 由图可知，当在点时，投影最小，此时， 当在点时，投影最大，此时， 因此，，故D正确. 三、填空题 9．已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 10．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 【答案】/ 【难度】0.42 【知识点】求投影向量、基本不等式求和的最小值、数量积的运算律 【分析】根据题意结合投影向量可得投影向量的模为，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，， 则， 可得向量在上的投影向量的模为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以向量在上的投影向量的模的最小值为. 四、解答题 11．如图，中，是中点，，设. (1)用表示； (2)若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 【答案】(1)，=； (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、用基底表示向量 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量垂直，结合运算律，即可求解. 【详解】（1）已知D是AB中点，所以，根据向量减法的三角形法则：； E是三等分点，，所以=； （2）存在，理由如下； 由，则，所以，整理得， 已知与夹角为，且，可得， 所以，解得， 因为，所以. 12．如图，OABC为正方形，，，点为直角坐标平面内的一点，M为线段的中点，设． (1)求点B的坐标及的表达式； (2)当取最大值时，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据正方形的几何性质求解点B的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算求解的表达式即可； （2）结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求解即可得结论. 【详解】（1）设，因为为正方形，所以， 又，，所以，， 所以点B的坐标为． 又因为M为线段的中点，所以， 因为，， 所以， 所以． （2）因为， 其中，， 所以当，即时，有最大值， 此时， 故当取最大值时，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 平面向量的数量积及运算·能力提升 1、 单选题 1. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3. 已知向量满足，，，则（    ） A．17 B．5 C． D． 4. 在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 5. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 6. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（   ） A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 二、多选题 7. 已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则且 D．若，则或 8. 八角镂空窗是中国古典建筑与园林中极具代表性的几何形镂空窗，集实用功能､美学意境与吉祥文化于一体.某八角镂空窗的边框呈正八边形，其示意图与直角坐标系中的平面图如图所示，已知为正八边形内的一动点（含边界），为正八边形的中心，，则下列说法中正确的有（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 三、填空题 9．已知的外接圆圆心为O，，则________. 10．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________. 四、解答题 11．如图，中，是中点，，设. (1)用表示； (2)若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 12．如图，OABC为正方形，，，点为直角坐标平面内的一点，M为线段的中点，设． (1)求点B的坐标及的表达式； (2)当取最大值时，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $