考点01 平面向量的概念与坐标运算·能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量概念与坐标运算，通过多样化题型构建从基础运算到几何应用的递进训练体系，渗透几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|涵盖坐标运算、充要条件判断、平面图形向量表示及最值问题|从向量概念与坐标运算（基础）到几何图形中向量关系（应用），形成概念-运算-应用逻辑链| |多选题|2题|结合等边三角形、正方形，考查向量表示与动态问题|深化向量工具性，体现几何直观与空间观念| |填空题|2题|正方形区域、四点向量关系中的范围与最值|强化模型意识，培养用数学语言表达数量关系的能力| |解答题|2题|基础运算与三角形综合应用（含面积最值）|整合运算能力与推理能力，构建综合应用体系|

考点01 平面向量的概念与坐标运算·能力提升 一、单选题 1. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3. 如图，在平面四边形中，E，F分别为和的中点，那么（    ）    A． B． C． D． 4. 如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 5. 帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 7. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则为的中点 8. 如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 3、 填空题 9. 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 10. 已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 四、解答题 11. 已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 12. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 平面向量的概念与坐标运算·能力提升 一、单选题 1. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 2. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】充分条件、必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 3. 如图，在平面四边形中，E，F分别为和的中点，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量加法的几何意义，结合图形的几何特征即可求解. 【详解】因为 又， 所以， 即 故选：C 4. 如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解. 【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1， 可得，，，， 所以，，. 因为，所以， 所以，解得，则. 故选：D. 5. 帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得. 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.    不妨设，则，，，，， 故，，. 设，则， 解得， 所以. 故选：B. 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意，设， 则, 因为三点共线， 所以，即， 所以， 所以， 又三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 2、 多选题 7. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则为的中点 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】结合图形，由向量的加法法则可得A正确；由三角形重心的向量表示可得B正确；结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律以及数量积的定义可得C错误；由向量的加法法则结合三点共线的性质可得D错误. 【详解】对于A，当时，，故A项正确； 对于B，由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点， 所以，故B项正确； 对于C，当时，，， 则，故C项错误； 对于D，当时，设， 由，，三点共线，得，解得，故D项错误． 故选：AB． 8. 如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则可以写出各个点的坐标，再设，则，由题干条件和向量的坐标运算把用表示，由此可分析各个选项正误. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设，则， 设，则，由于，所以， 整理得，则． 对于A，当M为的中点时，，故，故A正确； 对于B，， 由于，当时，取最大值为，故B错误； 对于C，由于，所以，故的取值范围为，故C正确； 对于D，，故的取值范围为，故D错误． 故选：AC. 3、 填空题 9. 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量与几何最值 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，首先根据向量数量积的坐标公式求出点的轨迹，然后根据模长公式表示出，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此.    10. 已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】用坐标表示平面向量、向量模的坐标表示 【分析】设，根据已知条件求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值． 【详解】设，则， 设，如图，则： ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 四、解答题 11. 已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【详解】（1）因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. （2）由题意可得：， 因为∥，则，解得. 12. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】求二次函数的值域或最值、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $