考点02 平面向量的数量积及运算 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量数量积运算，以基础题型构建从概念到应用的完整逻辑链，渗透几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|6题|涵盖数量积计算、充要条件、投影向量、实际应用（地速问题），突出概念辨析与基本运算|从数量积定义（夹角、模长）到性质（垂直条件、投影），结合几何直观与实际情境| |填空|2题|功的计算、向量模长，体现数学语言表达现实问题|应用数量积物理意义，强化运算能力与模型意识| |解答|2题|综合计算（模长、夹角）、几何图形中基底表示及最值，注重推理过程|从代数运算到几何应用，构建“定义-性质-应用”逻辑链条，发展推理能力|

考点02 平面向量的数量积及运算·基础通关练 一、单选题 1. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 2. 已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用向量垂直求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】由向量垂直的坐标表示求得值，结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】当时，，所以，充分性成立； ， ，解得或，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为都是单位向量，可得， 所以向量在上的投影向量为. 4. 飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】向量的模、向量加法的法则、速度、位移的合成 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 5. 已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】利用平面向量垂直的条件结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】因为向量、为单位向量，且， 则，所以， 故， 又因为，故，即、的夹角为. 6. 已知平面向量，，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、数量积的运算律、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据，利用坐标求出m，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解． 【详解】因为，， 所以， 所以， ， 所以， 因为，所以， 整理得：，解得，故C错误； 所以，，故A正确； 因为，，所以，所以，故B正确； ，故D正确．故选C． 二、多选题 7. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义求得判断A；对于B，C，D，根据向量数量积的运算律，向量垂直的表达式以及向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】由取平方，可得，即得， 因，则， 又，则，故A错误； 对于B，因，故，故B正确； 对于C，由，可知向量与向量垂直，故C正确； 对于D，由， 当时，，但是，当时，与共线且方向相同， 此时向量与向量所成的角不为锐角，故D错误. 故选：BC. 8. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为3 D．的最大值为5 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据数量积的几何意义即可求解A，根据向量的线性运算即可求解B，根据数量积的运算律，结合线性运算即可求解D. 【详解】对于A,,A正确， 对于B,由可得,故，即为中点，B正确， 对于CD， , 又因为，故当时，此时取到最小值3. 当或时，此时取到最大值4，因此C正确，D错误. 3、 填空题 9. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】功、动量的计算、数量积的坐标表示 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 10. 已知向量，的夹角为，，，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值. 【详解】由题意， 向量，的夹角为，，， ， 故答案为：. 四、解答题 11. 已知向量 满足，的夹角是 求： (1)求 的值； (2)求向量 的模； (3)记 与的夹角为，求的余弦值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据数量积的定义可求． （2）用模长公式可求． （3）用数量积定义反求夹角的余弦值即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ； （2）∵， ∴ ；                     ．． （3）∵， ∴ 12. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. (1)用基底表示向量，，； (2)若点为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1)，， (2)3 【难度】0.68 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）应用平面向量的加法及减法，数乘运算应用平面向量基本定理计算求解； （2）先应用平面向量基本定理表示向量，再应用平面向量数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1） . （2）设，， 则， ， 所以 当时，取得最小值为3. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 平面向量的数量积及运算·基础通关练 一、单选题 1. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 2. 已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4. 飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 5. 已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 6. 已知平面向量，，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7. 已知向量与满足且，则下列说法正确的是（    ） A．向量与的夹角为 B． C．向量与向量垂直 D．若，则向量与向量所成的角为锐角 8. 四边形是边长为2的正方形，是线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为3 D．的最大值为5 3、 填空题 9. 一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 10. 已知向量，的夹角为，，，则__________． 四、解答题 11. 已知向量 满足，的夹角是 求： (1)求 的值； (2)求向量 的模； (3)记 与的夹角为，求的余弦值． 12. 如图，在菱形中，，，点为边的中点，点为线段上靠近的三等分点（即），设，. (1)用基底表示向量，，； (2)若点为线段上的动点，求的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $