考点01 平面向量的概念与坐标运算 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量概念与坐标运算，通过基础题型构建概念辨析到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|概念辨析（相反向量、零向量）、坐标运算（点坐标、平行条件）|从向量基本概念生成坐标表示，通过参数关系建立运算逻辑| |多选题|2题|综合性质判断（共线向量、平行四边形向量关系）|联结概念与几何性质，强化多维度推理| |填空题|2题|共线向量参数计算、投影向量应用|深化向量共线定理与投影概念的应用| |解答题|2题|坐标运算综合（三点共线、夹角、平行四边形坐标）|构建“概念-运算-几何应用”完整链条，体现模型观念|

考点01 平面向量的概念与坐标运算·基础通关 一、单选题 1. 已知为平行四边形，则（   ） A． B． C． D． 2. 下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 3. 已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4. 若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6. 如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 二、多选题 7. 已知为非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相同 C．平行向量一定是共线向量 D．若，则 8. 已知四边形是平行四边形，且，，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若与垂直，则 D．若在上的投影向量为，则 三、填空题 9. 已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 10. 如图，在中，，P为上一点，且满足，则实数m的值为________． 四、解答题 11. 已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 12. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. (1)求的值； (2)若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； (3)已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 平面向量的概念与坐标运算·基础通关 一、单选题 1. 已知为平行四边形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、相等向量 【分析】根据平行四边形性质及向量相等的定义判断A；根据向量加减法运算判断BCD． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以不相等，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则知，故C正确； 对于D，，故D错误． 2. 下列说法正确的是（   ） A．若，方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．零向量与任意向量平行 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相反向量、平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量的定义，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 3. 已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 4. 若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、充要条件的证明 【分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，则“”是“”的充要条件. 故选：C． 5. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 6. 如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.56 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【详解】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 二、多选题 7. 已知为非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相同 C．平行向量一定是共线向量 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、向量减法的法则 【详解】当与方向相同时，，； 当与方向相反时，，； 当与不共线时，根据三角形法则，可得，. 所以A，B正确. 平行向量一定是共线向量，所以C正确. 向量不能比较大小，所以D错误. 8. 已知四边形是平行四边形，且，，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若与垂直，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量的坐标运算逐个判断即可. 【详解】对于A：，A错， 对于B：，正确， 对于C：若与垂直，则， 解得：，正确， 对于D：在上的投影向量为，则与垂直， ， 所以， 解得：，故D错误， 故选：BC 三、填空题 9. 已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 【答案】8 【难度】0.72 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用共线定理和平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又、、三点共线，所以存在，使得，即， 因为、是两个不平行的向量，所以，解得. 10. 如图，在中，，P为上一点，且满足，则实数m的值为________． 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【详解】已知，则， 设，则 ， 已知， ，解得． 四、解答题 11. 已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【详解】（1）已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； （2）设（为实数）， 由，可得： 解得，即或， 所以或. 12. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. (1)求的值； (2)若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； (3)已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3). 【难度】0.68 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）先求出 ，再根据向量的数量积公式求出 、和，最后代入向量夹角公式求出夹角的余弦值； （3）先设出点的坐标，再根据平行四边形的性质得到 ，最后列出方程组求解点的坐标. 【详解】（1）因为 且， 又因为三点共线，所以， 所以，即， 所以 ，解得， 所以. （2）由题意得，， ， 所以， ， 所以. （3）由（1）得， 所以， ， 由四边形为平行四边形得， 设，且点的坐标为，则， 所以，解得， 即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $