第10章二元一次方程组单元同步练习题2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本练习以二元一次方程组为核心，分层设计基础巩固、能力提升、综合拓展三层次，通过概念理解→解法应用→实际建模的路径，培养运算能力、推理意识与模型意识，适配同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程（组）概念、基本解法|单选题1（解的定义）、填空题8（代数式表示）、解答题15（代入/加减法），夯实抽象能力与运算能力| |进阶层|含参数问题、简单应用|单选题4（看错参数）、填空题11（整数解）、解答题16（同解方程组），深化推理意识| |拓展层|复杂应用、数学思想|解答题20（机器人分拣问题）、填空题13（几何图形建模），培养模型意识与创新意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知是二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．解关于x，y的二元一次方程组，可以直接消去y，则a和b的关系为（    ） A． B． C． D． 3．在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 4．在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知关于的二元一次方程，其取值如表所示，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6．某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x辆车，共有y名学生．则根据题意列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，值金十两，牛二、羊五，值金八两．问牛、羊各值金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，则下列符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在方程中，用含x代数式表示y，________． 9．若是方程的解，则的值为__________． 10．若，则______． 11．已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 12．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解是______． 13．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 14．在平面直角坐标系中，用几个完全相同的长方形摆成如图所示图案，已知点的坐标是，则点的坐标是__________． 三、解答题 15．解方程组： (1)（用代入法）； (2)（用加减法）． 16．已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 17．已知关于x，y的方程组． (1)无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； (2)若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 18．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 19．阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 20．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将代入原方程得， 整理得， 解得． 2．解：将方程组中得： ， 整理得： ， ∵相加后可直接消去y， ∴y的系数为，即. 3．解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 4．解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 5．解：由题意得， 对第二个方程展开整理得， 把代入得． 6．解：设计划租用辆车，共有名学生， 第一种乘车情况：一辆车乘坐45人，有35名学生没有车坐， ∵车上一共乘坐人，加上没车坐的35人等于总人数， ∴ ，整理得； 第二种乘车情况：一辆车乘坐60人，有一辆车只坐35人，还空出一辆车， ∵空出1辆完全不用的车，还有1辆只坐35人，因此坐满60人的车共有辆，总人数等于坐满的人数加35， ∴, 综上可得方程组． 7．解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两， ∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴； ∴． 8．解：， 移项，得， 系数化为，得． 9．解：把解代入方程得到 ∴． 10．解：∵，，， 所以， 整理得， 得 等式两边同除以得. 11．解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 12．解：所求方程组变形移项： ， 该方程组和已知的原方程组结构完全相同，已知原方程组的解为， ∴ ， 解得． 13．解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 14．解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知，点的横坐标为，纵坐标为． ， ， 解得． 观察图形可知，点到y轴的距离为，点到x轴的距离为． 点在第二象限， 点的坐标为． 15．（1）解：原方程组：， 将②代入①，得 ， 整理得：， 解得 ， ​把​代入②，得 ， 所以方程组的解为； （2）解：原方程组：， ，得， ，得， ③④，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 16．解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 17．（1）解：无论m取何值，方程都有固定解， 该方程的解与m的取值无关， ． 将代入，得， 解得． 方程的固定解为． （2）解： ，得． ． ． 恰为正整数，m也为整数， 或． 解得或． 18．（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 19．（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 20．（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 学科网（北京）股份有限公司 $