精品解析：北京市第一六一中学分校2025-2026 学年八年级下学期期中数学试题

2026北京一六一中分校初二（下）期中 数 学 考生须知 1．本试题共5页，满分100分，选做题10分，考试时间100分钟． 2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效． 3．在答题纸上，用2B铅笔填涂，用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题纸交回 第Ⅰ卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 8，5，17 B. 5，12，13 C. 3，4，5 D. 6，8，10 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 6. 如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（ ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A. ④⑤ B. ③⑤ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 8. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________． 11. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 12. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 13. 如图，在中，，作于，则____． 14. 某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 16. 某校共有名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分． 时间 人数 学生类别 性别 男 女 学段 初中 高中 下面有四个推断： ①这名学生参加公益劳动时间的平均数一定在之间 ②这名学生参加公益劳动时间的中位数在之间 ③这名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在之间 ④这名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在之间 所有合理推断的序号是______． 三、解答题（本大题共9小题，17题10分，18题5分，19题6分，20题7分，21题8分，22题7分，23题8分，24题8分，25题9分） 17. 计算 （1）； （2） 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． （1）请在图中画出； （2）直接写出边上的高 ． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 21. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段，，及． 求作：矩形，使，． 作法：如图2， ①在射线，上分别截取，； ②以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③连接，． ∴四边形就是所求作的矩形． 根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明． 证明：， ， 四边形是平行四边形( )(填推理的依据)． ， 四边形是矩形( )(填推理的依据)． 22. 已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，AC为对角线，AC⊥BC. （1）求证：四边形AECD是菱形. （2）若∠DAE=60°，AE=2，求菱形AECD的面积. 23. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息． 甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图： ．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，4.5，5.0，3.1，4.8，3.5，4.8，4.5； ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数： 甲 乙 丙 平均数 4.5 4.2 中位数 4.5 4.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是______，的值是______； （2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系； （3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）． 24. 在学习三角形的中位线时数学书上给出如下探究过程： 请根据以上内容，完成下列问题： （1）补全三角形中位线的证明过程 证明： （2）证明：三角形的三条中线交于一点．（要求：画出图形；写出已知、求证、证明过程） 25. 正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． （1）依题意补全图1； （2）若，求的度数； （3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第Ⅱ卷 选做题（共10分） 26. 在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 27. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN． （1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN； （2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明； （3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京一六一中分校初二（下）期中 数 学 考生须知 1．本试题共5页，满分100分，选做题10分，考试时间100分钟． 2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，试卷上作答无效． 3．在答题纸上，用2B铅笔填涂，用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题纸交回 第Ⅰ卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 8，5，17 B. 5，12，13 C. 3，4，5 D. 6，8，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组中两较小边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A∵最长边为，，，∴，不能构成直角三角形，符合题意； 选项B∵，∴能构成直角三角形，不符合题意； 选项C∵，∴能构成直角三角形，不符合题意； 选项D∵，∴能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则计算判断即可． 【详解】∵不是同类二次根式，不能进行加减运算， ∴A错误，不符合题意； ∵， ∴B错误，不符合题意； ∵， ∴C正确，符合题意； ∵被开方数是-5，无意义， ∴D错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握性质，灵活进行运算是解题的关键． 4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 6. 如图，长方形中，，，点为边上的点，将沿折叠得到，点的对应点为，射线恰好经过的中点，则的长为（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，，，结合，勾股定理，求得，解答即可． 【详解】解：∵长方形中，，，将沿折叠得到，射线恰好经过的中点， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7. 某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（ ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A. ④⑤ B. ③⑤ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，年月的箱线图最上方的横线表示的最大值，低于； ∵值超过，说明达到重度污染， ∴年月没有重度污染天气， ①错误； 箱线图最下方的横线表示数据的最小值， 由箱线图可得，月箱线图的最下方横线的位置高于月箱线图的最下方横线位置， ∴月值的最小值比月大； ②错误； 由箱线图可知，箱线图看起来“扁”，则表明数据波动小，分布集中； 由图可得，月的箱线图比月的箱线图扁， ∴月值比月值集中； ③正确； 月的箱线图，最大值，最小值都在月箱线图的上方， ∴月的值高于月， ∴月的空气质量比月的好； ④错误； 由箱线图可得，箱线图中间的横线表示中位数， 由图可得，月和月值的中位数相同； ⑤正确； 正确的为：③⑤． 8. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，，根据勾股定理以及正方形的面积公式可判断①；小正方形的边长为，则，由此可求出，，可判断②；由得到，，即，根据正方形的面积公式可判断③；当点是的中点时，，即，推出，根据正方形面积公式可判断④，即可得出结论． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，则有， ∴，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确结论的个数是3个． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴，勾股定理；由图可知，A点到原点的距离为，再根据点A在原点的右边，即可得到点A表示的实数. 【详解】解：如图所示，A点到原点的距离为， ∵点A在原点的右边， ∴点A表示的实数为. 故答案为：. 11. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由、分别是、的中点可知，是的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别为、的中点， 是的中位线， 米， （米）． 故答案为：40． 12. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】x2＋62＝(10－x)2 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程. 【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2， 故答案为x2+62=(10﹣x)2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 13. 如图，在中，，作于，则____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，根据三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， ， ， ． 14. 某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 【答案】 【解析】 【分析】先将产值从小到大排序，讨论所有可行分组，分别计算各组的组内离差平方和，比较后得到离差平方和最小的分组． 【详解】首先将5家企业的产值从小到大排序得：， 将5个数据分为两组： 第一组为1个数据和第二组4个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为 组内离差平方和为； 第一组为2个数据和第二组3个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为； 第一组为3个数据和第二组2个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 第一组为4个数据和第二组1个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 综上，第一组为2个数据和第二组3个数据时，组内离差平方和最小， 即是符合要求的分组． 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 16. 某校共有名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分． 时间 人数 学生类别 性别 男 女 学段 初中 高中 下面有四个推断： ①这名学生参加公益劳动时间的平均数一定在之间 ②这名学生参加公益劳动时间的中位数在之间 ③这名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在之间 ④这名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在之间 所有合理推断的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．根据中位数与平均数的意义进行解答即可． 【详解】解：①这名学生中男生的人数为：（人）， 这名学生中女生的人数为：（人）， 这名学生参加公益劳动时间的平均数为：，一定在之间；故①正确； ②在、、、、时间段中的人数分别为、、、、， 则这名学生参加公益劳动时间的中位数是第和个数的平均数，在之间；故②正确； ③在时间段中的人数为人，则初中生在的人数在之间， 当人数为时，初中生在、、、、时间段中的人数分别为、、、、，则中位数在之间； 当人数为时，初中生在、、、、时间段中的人数分别为、、、、，则中位数在之间；故③正确； ④在、、、、时间段中的人数分别为、、、、，则高中生在、、、时间段中的人数分别为、、、， 当时间段的人数为时，高中生在、、、、时间段中的人数分别为、、、、，则中位数在之间； 当时间段的人数为时，高中生在、、、、时间段中的人数分别为、、、、，中位数在之间；故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，17题10分，18题5分，19题6分，20题7分，21题8分，22题7分，23题8分，24题8分，25题9分） 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】14 【解析】 【分析】根据，得，变形，代入计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握公式法计算二次根式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴． 19. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为，点，均为格点，，已知的顶点也在格点上，且，． （1）请在图中画出； （2）直接写出边上的高 ． 【答案】（1）如图，即为所求作的； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理画出即可； （2）根据等面积法即可得解． 【小问1详解】 解：图略， ，， 即为所求作的； 【小问2详解】 解：， ． 20. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 21. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程． 已知：如图1，线段，，及． 求作：矩形，使，． 作法：如图2， ①在射线，上分别截取，； ②以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③连接，． ∴四边形就是所求作的矩形． 根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明． 证明：， ， 四边形是平行四边形( )(填推理的依据)． ， 四边形是矩形( )(填推理的依据)． 【答案】（1）见解析 （2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，矩形即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ， 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键． 22. 已知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，AC为对角线，AC⊥BC. （1）求证：四边形AECD是菱形. （2）若∠DAE=60°，AE=2，求菱形AECD的面积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证AE=CD，AE∥CD，得四边形AECD是平行四边形，再证CE=AE ，得平行四边形AECD是菱形； （2）过点C作CF⊥EB交EB于点F. 先求EF，再根据勾股定理求CF，再根据平行四边形面积公式可求出四边形面积. 【详解】（1）证明：∵E为AB的中点 ∴AB=2AE， ∵AB=2CD， ∴AE=CD， 又∵AB∥CD， ∴AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 又∵E为AB的中点， ∴,， ∴CE=AE ， 所以平行四边形AECD是菱形； （2）解：过点C作CF⊥EB交EB于点F. ∵四边形AECD是菱形， ∴AD∥EC，AE=CE， ∴∠DAE=∠1， ∵∠DAE=60°，AE=2， ∴∠1=60°，CE=2， ∵CF⊥EB， ∴∠CFE=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴， ， ， ∴. 【点睛】本题考核知识点：菱形. 解题关键点：熟记菱形的判定方法. 23. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息． 甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图： ．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，4.5，5.0，3.1，4.8，3.5，4.8，4.5； ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数： 甲 乙 丙 平均数 4.5 4.2 中位数 4.5 4.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值是______，的值是______； （2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系； （3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）． 【答案】（1）4.5，4.5 （2） （3）推荐甲民宿，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数，方差以及折线统计图，掌握平均数、中位数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的计算方法，中位数的定义进行计算即可； （2）根据方差的计算方法求出三个民宿的方差即可， （3）从方差，平均数两个方面进行分析得出结论． 【小问1详解】 解：甲民宿的评分的平均数为（分），即， 将样本中丙民宿评分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是4.5分，即， 故答案为：4.5，4.5； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：推荐甲民宿， 理由：甲民宿的满意度评分的方差较小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大，甲民宿满意度评分的平均分是4.5分，比丙民宿的高． 24. 在学习三角形的中位线时数学书上给出如下探究过程： 请根据以上内容，完成下列问题： （1）补全三角形中位线的证明过程 证明： （2）证明：三角形的三条中线交于一点．（要求：画出图形；写出已知、求证、证明过程） 【答案】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 根据作图可知， 四边形是平行四边形， ， 又D是的中点， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ∵， 且． （2）已知：中，，的延长线交于点F， 求证：． 证明：延长至点，使，连接， ， ，即， ， ，即， ∵，， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】（1）根据题干中思路，证明四边形是平行四边形，得出，结合，得出，证出四边形是平行四边形，得出，即可证明且； （2）根据题干要求写出“已知，求证，画出图形”，延长至点，使，连接，根据三角形中位线定理得出，，即可证出四边形是平行四边形，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． （1）依题意补全图1； （2）若，求的度数； （3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图1如图， （2） （3）解：，证明如下： 如图：连接，交于O， ∵四边形是正方形，点B关于直线的对称点为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可； （2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案； （3）由正方形的性质和轴对称的性质可得：，，，进而利用勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点B关于直线的对称点为E，， ， 又∵在正方形中，，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 第Ⅱ卷 选做题（共10分） 26. 在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ，即； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； 【小问4详解】 解： ， ， ． 27. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN． （1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN； （2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明； （3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明见解析；（3）EN的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线解题即可； （2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论； （3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出答案. 【详解】解：（1）证明：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的中线． ∴． 在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点， ∴， ∴CD＝MN． （2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN， CN与EN的位置关系CN⊥EN． 证明：连接EM，DN，如图． 与（1）同理可得 CD＝MN，EM＝DN． 在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线， ∴CD⊥AB． 在△ABF中，同理可证EM⊥AF． ∴∠EMF＝∠CDB＝90°． ∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点， ∴DN∥AF，MN∥AB． ∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND． ∴∠FMN＝∠BDN． ∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+∠BCN． ∴∠EMN＝∠NDC． ∴△EMN≌△DNC． ∴CN＝EN，∠1＝∠2． ∵∠1+∠3+∠EMN＝180°， ∴∠2+∠3+∠FMN＝90°． ∴∠2+∠3+∠DNM＝90°， 即∠CNE＝90°． ∴CN⊥EN． （3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上， 在Rt△ABC中，AC＝BC＝a， ∴， ∵CD为AB边上的中线． ∴， ∴CN最大＝，CN最小＝ 由（2）知，EN＝CN， ∴EN最大＝，EN最小＝ 即：EN的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道综合题，考查了直角三角形的性质、全等的性质与判定和圆的相关问题，熟练掌握相关知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $