精品解析：北京十五中分校2025-2026学年度第二学期 八年级数学期中试卷

2025-2026学年度第二学期 北京十五中分校八年级数学期中试卷 （时间：100分钟) 本试卷分第一部分（选择题），第二部分（非选择题）和第三部分（附加题） 三部分，全卷共110分．考试时间100分钟． 第一部分（共16分） 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽的因数或因式。 【详解】解： A选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式； B选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式 ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，，错误，不符合题意； 选项B，二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，不满足二次根式乘法法则的条件，错误，不符合题意； 选项C，，错误，不符合题意； 选项D，，正确，符合题意． 3. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，，2 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】先确定每个选项的最长边，计算最长边的平方与另外两条短边的平方和，比较二者是否相等，不相等的即为不能组成直角三角形的选项． 【详解】解：A、最长边为13，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； B、最长边为0.5，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； C、最长边为2，∵，，∴，不能组成直角三角形，符合题意； D、最长边为，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意． 4. 两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证法，解题核心为用两种不同的方式计算同一个图形的面积，通过建立等式化简推导结论． 【详解】解：由题意可知，所构成的图形为直角梯形， ， 化简得． 5. 如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（ ） A. 点和之间 B. 点和之间 C. 点和之间 D. 点和之间 【答案】C 【解析】 【详解】解： 即 ∴， ∴表示数的点会落在点和之间． 6. 如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（ ）． A. 36米 B. 27米 C. 18米 D. 9米 【答案】A 【解析】 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 7. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O． ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 8. 如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可求解，再由勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理可得， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； ， 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 第二部分(共84分) 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 10. 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是_______． 【答案】110°##110度 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，即可求∠B的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，且∠A＋∠C＝140°， ∴∠A＝70°， ∴∠B＝110°， 故答案为：110°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】设多边形边数为n， 根据题意有， 解得 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 13. 在中，，则________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求直角三角形第三边长，分两种情况：当为直角边时，求斜边的长；当为斜边，为直角边时，求的长，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当为直角边时，， 当为斜边，为直角边时，. 故答案为：或． 14. 若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 15. 如图，有一架梯子斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，小明需要爬梯子（）到高处作业． 为安全起见，防止梯子沿墙下滑，他将梯子中点与墙角用绳子系紧． 请问∶ 这种操作方式能达到安全目的吗？____________（填“能”或“不能”或“不确定”）． 【答案】不能 【解析】 【分析】由题意可知是定值，但的位置不固定，即可判断是否安全． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴是定值，与的位置无关，即绳子对梯子没有固定作用，故这种操作方式不能达到安全目的． 16. 如图，矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿折叠得到，连接、，设．有以下结论∶（1）当时，；（2）不可能为等腰三角形；（3）当点落在对角线上时，；（4）线段的最小值为4；（5）当为直角三角形时，或6．其中正确结论的序号为______________． 【答案】（1）（3）（4）（5） 【解析】 【分析】（1）当时，，，即；再运用折叠的性质、等边对等角、三角形的外角的性质可得，再判断，即可判断（1）；根据垂直平分线的性质即可找到这样的点F，从而判断（2）；（3）先画出图形，再利用矩形性质和勾股定理列方程求解即可；（4）如图：点F的轨迹是以A为圆心、为半径的圆．再结合图形即可判断；（5）分三种情况进行求解即可判断（5）． 【详解】解：（1）当时，，， ∴， ∴． 由折叠性质，． 又∵， ∴， ∴． 故结论（1）正确； （2）当时，只要点F在的垂直平分线上即可， ∴当，一定存在这样的F，即可以为等腰三角形，故结论（2）错误． （3）如图：当点落在对角线上时，， ∵，， ∴， ∴ ． 设，则． 在中，由勾股定理： ， 解得：． 故 结论（3）正确； （4）如图：点F的轨迹是以A为圆心、为半径的圆． 根据两点之间线段最短，的最小值为． 故结论（4）正确； （5）如图：当， 此时F在上，由结论（3）得； 如图：当：此时， 由折叠性质，， ∴为等腰直角三角形，，即； 当时，因为，点F在矩形内时，无法为． ∴或6，即 结论（5）正确． 综上，正确的有（1）（3）（4）（5）． 三、解答题(本大题共8个小题，共68分) 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 19. 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，．求线段的长． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点， ∵ 平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接平行四边形的对角线交于点，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，，再结合已知推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据得到是直角三角形，利用勾股定理结合和的长度求出的长度，再用的总长度减去的长度，即可求出线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 20. 已知：如图，．求作：的平分线． （1）根据下列步骤完成作图： ①以的顶点为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交两边于点、； ②分别以、为圆心，（或）长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，则射线即为∠的平分线． （2）连接、，由（1）中作图可知四边形是菱形，所以射线为的平分线．四边形是菱形的依据是 ；为的平分线的依据是 ． 【答案】（1） （2）四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】（1）直接利用作图步骤作图即可； （2）根据四边相等的四边形是菱形，菱形的每条对角线平分一组对角即可解答． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如图：连接、， 由作图过程可知：， ∴四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）； ∴为的平分线（菱形的每条对角线平分一组对角）． 21. 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 【答案】120米 【解析】 【分析】该无人机水平飞行的距离为x米，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则， 在中，，， ∴， 解得；， 答：该无人机水平飞行的距离为120米． 22. 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵过点分别作，的平行线交于点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出则，根据菱形的判定即可证明结论； （2）如图：过点A作于点F，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求得，最后运用等面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：如图：过点A作于点F，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，解得：． 23. 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： （1）分母有理化： （2）分母有理化： （3）应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）给的分子分母同乘以即可解答； （2）给的分子分母同乘以即可解答； （3）将、代入，再进行分母有理化，然后再计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：将、代入得： ， ， ． 答：该凸透镜的焦距． 24. 如图，正方形，等腰，，点在射线上，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①求证：； ②猜想线段、与之间的关系，并证明． （2）当点在延长线上（点在直线的下方）时，在图2中补全图形，并直接写出线段、与之间满足的关系式． 【答案】（1）①见解析 ②，见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）①利用正方形和等腰三角形的性质，利用 证明三角形全等； ②通过三角形全等的性质得边角关系，结合勾股定理得到线段间的数量关系； （2）先补全图形，类比（1）中的全等证明，得出边角关系，再结合勾股定理，直接写出线段间的关系式． 【小问1详解】 证明：①四边形是正方形， ，， 在等腰中，，， ， 在和中， ， ， ②猜想：，证明如下： 四边形是正方形， ， ， ， 即， ， ． 【小问2详解】 如图所示补全图形， 四边形是正方形， ， ， 由（1）同理可得：， ，， ， ， 在等腰中，， ． 【点睛】本题考查正方形与等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题关键是利用正方形和等腰直角三角形的边、角性质，构造全等三角形，实现线段的等量转化；结合勾股定理，将线段间的位置关系转化为数量关系；注意图形变化时，全等关系和直角三角形的结论依然成立，体现了几何问题的 “变中不变” 思想． 第三部分 附加题(共10分) 25. 已知，都是正整数，现定义新运算：． （1）计算：= ， ； （2）若 ，则的值为 ． 【答案】（1）； （2）64或4 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：，则； ，则 ，则； 【小问2详解】 解：当时， 解得， 经检验，符合题意； 当时， 解得， 经检验，符合题意 综上：的值为64或4． 26. 在平面直角坐标系中，对于点、图形以及直线，给出如下定义：若点是点与图形上一动点所连线段的中点，点是点关于直线的对称点．则称点是点关于图形、直线的“点称点”． 已知点， （1）若直线是过点且垂直于轴的直线． ①当时，点关于点、直线的“点称点”是 ； ②若点关于线段、直线的“点称点”在四边形的内部（包括边界），则的取值范围是； （2）若直线是过点且平行第一、三象限角平分线的直线，点为线段的中点．当线段上存在点关于四边形、直线的“点称点”时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据题意画出图形，再利用“点称点”的定义求解即可；②先根据题意画出图形，再利用点称点”的定义以及矩形的性质列不等式求解即可； （2）先求出、．四边形顶点：，动点在四边形上，；设M关于直线的对称点，再利用“点称点”的定义、轴对称、矩形的性质分别限定的取值范围，并列出不等式求解，最后确定解集的公共部分即可解答。 【小问1详解】 解：如图：由题意可知：点B相当于定义中的点P，点A相当于定义中的点Q，直线l为：， ∵ ∴， 设点N的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴，解得：， ∴， ∴当时，点关于点、直线的“点称点”是． ②如图：由题意可知：点B相当于定义中的点P，点在直线上，直线l为：， 设点， ∴， 设点N的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵点N在四边形的内部（包括边界）， ∴， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵点D为线段OT的中点，， ∴． ∵直线l过点且平行于一、三象限角平分线， ∴，且． ∵四边形顶点：，动点在四边形上，． 由题意可知：点M是D与Q的中点，点N是M关于直线l的对称点，则N是D关于四边形、直线l的“点称点”． ∴， 设M关于直线的对称点， ∴， ∵点N在线段上，线段在x轴上， ∴，且需在与之间（含端点）． ∴，即， ∵在四边形上，， ∴，解得：； ∵，且在线段上， ∴当时，，故； 当时，，故， ∵， ∴， ∴只需考虑，此时． ∵， ∴， ∴不等式组有解， ∴，解得：， 综上，t的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 北京十五中分校八年级数学期中试卷 （时间：100分钟) 本试卷分第一部分（选择题），第二部分（非选择题）和第三部分（附加题） 三部分，全卷共110分．考试时间100分钟． 第一部分（共16分） 一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，，2 D. 1，， 4. 两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（ ）     A. B. C. D. 5. 如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（ ） A. 点和之间 B. 点和之间 C. 点和之间 D. 点和之间 6. 如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（ ）． A. 36米 B. 27米 C. 18米 D. 9米 7. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） A. 225 B. 250 C. 275 D. 300 第二部分(共84分) 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是_______． 11. 若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是________． 12. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 13. 在中，，则________． 14. 若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 15. 如图，有一架梯子斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，小明需要爬梯子（）到高处作业． 为安全起见，防止梯子沿墙下滑，他将梯子中点与墙角用绳子系紧． 请问∶ 这种操作方式能达到安全目的吗？____________（填“能”或“不能”或“不确定”）． 16. 如图，矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿折叠得到，连接、，设．有以下结论∶（1）当时，；（2）不可能为等腰三角形；（3）当点落在对角线上时，；（4）线段的最小值为4；（5）当为直角三角形时，或6．其中正确结论的序号为______________． 三、解答题(本大题共8个小题，共68分) 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，．求线段的长． 20. 已知：如图，．求作：的平分线． （1）根据下列步骤完成作图： ①以的顶点为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交两边于点、； ②分别以、为圆心，（或）长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，则射线即为∠的平分线． （2）连接、，由（1）中作图可知四边形是菱形，所以射线为的平分线．四边形是菱形的依据是 ；为的平分线的依据是 ． 21. 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 22. 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 23. 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： （1）分母有理化： （2）分母有理化： （3）应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 24. 如图，正方形，等腰，，点在射线上，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①求证：； ②猜想线段、与之间的关系，并证明． （2）当点在延长线上（点在直线的下方）时，在图2中补全图形，并直接写出线段、与之间满足的关系式． 第三部分 附加题(共10分) 25. 已知，都是正整数，现定义新运算：． （1）计算：= ， ； （2）若 ，则的值为 ． 26. 在平面直角坐标系中，对于点、图形以及直线，给出如下定义：若点是点与图形上一动点所连线段的中点，点是点关于直线的对称点．则称点是点关于图形、直线的“点称点”． 已知点， （1）若直线是过点且垂直于轴的直线． ①当时，点关于点、直线的“点称点”是 ； ②若点关于线段、直线的“点称点”在四边形的内部（包括边界），则的取值范围是； （2）若直线是过点且平行第一、三象限角平分线的直线，点为线段的中点．当线段上存在点关于四边形、直线的“点称点”时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $