精品解析：北京市第一六一中学2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷

北京一六一中学2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共5页，共两部分，四道大题，28道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，即被开方数中不含有开方不尽的因数，被开方数不含有分母，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出长方形的长，再根据面积公式计算即可 【详解】解：长方形的长为， 长方形的面积是 故选：B 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和乘除法运算法则，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，∴，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选择：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，以及熟记乘除法运算的运算法则． 4. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A. x≥－1 B. x≥－1且x≠3 C. x≠－1 D. x≠－1且x≠3 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式知，分母不为0，分子被开方数非负，由此可得两个不等式，解不等式即可． 【详解】由题意得：且 解得：且 即自变量x的取值范围为：x≥－1且x≠3 故选：B． 【点睛】本题考查函数有意义的自变量的取值范围，涉及分式及二次根式有意义的条件；一般情况下，初中阶段求函数自变量取值范围从三个方面考虑：解析式是整式，则自变量取值范围为所有实数；解析式是分式，则要考虑分母不为零；解析式中含有二次根式，则被开方数非负，若在分母则被开方数为正．后两种情况同时出现，则同时考虑即可．当然实际问题则具体问题具体分析． 5. 如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式， 首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴正方形，正方形和正方形的面积之和为： ． 故选：C． 8. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接，根据，可以判定②错误；是内部的射线且，可得，推出，推出，推出，故③正确． 【详解】解：，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故①正确， 连接，则， ，， ， ， ，故②错误， 是内部的射线且， ， ， ， ，故③正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 10. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 11. 如图，在中，D，E分别是的中点，连接，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据中位线的判定与性质，得，，再结合F是的中点，以及对顶角相等，证明，故，即可作答． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴，， ∴ ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】设，由平行四边形的性质得，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 13. 如图1是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙的距离为，点和点距离窗台为都是，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 取的中点，由题意可知：，，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】取的中点，由题意可知：，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 【答案】 【解析】 【分析】运用待定系数法求出小云距A地的距离y与时间x的函数关系式，当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式，联立两个关系式，即可求解． 【详解】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点， ∴，解得， ∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为． 当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点，， ∴，解得， ∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 解方程组，得， ∴两人相遇的时间为． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标． 【详解】解：①当为平行四边形的边时，， ∵，，， ∴点C坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时，， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 三、解答题（第17题每小题5分，第18-19每题5分，20-23每题6分，第24-26每题8分，共68分） 17. 计算： （1）： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先运算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； （2）若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，两点距离计算公式，解不等式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出点A坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而求出点C的坐标即可； （2）把点B坐标代入一次函数解析式求出b的值，再求出点C的坐标，利用两点距离计算公式用含k的式子表示出，再根据线段的长度小于5建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解；∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵线段的长度小于5， ∴， ∴， ∴或． 20. 画出辅助线并补充完成证明过程． 已知：如图，D，E分别是的边的中点． 求证：，且． 证明：延长至点F，使，连接，，（补全图形） ∵，， ∴四边形是__________，（ ）（填推理依据） ∴且． ∵D是的中点， ∴__________， ∴且， ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理依据） ∴且． 又， ∴，且． 【答案】图见解析；平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点F，使，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴且． ∵D是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴且． 又， ∴，且． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值；若此时图象经过点和点，试比较与的大小． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，将代入，得，则y随x的增大而增大，即可得与的大小； （2）在同一坐标系中画出，的图象，当时，，则，再结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， 又∵函数过， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）可得函数为，函数为， 在同一坐标系中画出，的图象如下： ∵当时，， ，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， ∴， ∴结合图象可得不能与平行， ∴． 23. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据平行四边形的面积为5，可先构造一个底为5，高为1 的三角形，进而可作出平行四边形． （2）先以A为中点构造边，连接并延长，即可找到F点，连接即可． 【小问1详解】 如图， ， ， 即为所求； 【小问2详解】 如图，A点为的中点，B点为的中点， ∴是的中位线， ∴即为所求． 24. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（）与双层部分的长度y（）满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 … 双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 … （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． （3）结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分与双层部分的长度． 【答案】（1）描点如图所示： y与x的函数解析式为，其图象如上图所示 （2）双层部分的长度为 （3）此时挎包单层部分的长度为，双层部分的长度为 【解析】 【分析】（1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据题意得，再结合（1）函数关系，即可求出x的值，从而求出y的值即可； （3）先根据题意求出挎带总长度，再根据（2）的方法求出对应的x，y的值即可． 【小问1详解】 解：描点画图略： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 当时，得， 解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． 【小问2详解】 解：根据题意，得，即， 解得， 当时，得， 解得， ∴此时双层部分的长度为； 【小问3详解】 解：根据题意，挎带总长度为：， 则，即， 解得， 则， ∴此时挎包单层部分的长度为，双层部分的长度为． 25. 综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．如常用的 的纸张长与宽的比值都相等．A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． 查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m （1）在计算纸的长宽比m的过程中，小组同学通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个无理数是______；若设纸的长为a，宽为b，试求证你的结论． （2）如图2所示，在（1）的条件下长方形中，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】（1）根据表格数据猜想，证明如下： 由题意：， ∴， ∴， ∴（负值已舍去） ∴A系列纸的长宽比值接近一个无理数． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据表格数据猜想，根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可； （2）延长、交于点G，则可证明四边形是平行四边形，则，再证明，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长、交于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵， ∴， 由折叠可得 ，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB． （1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD； ①△AOB与△　 　全等，∠OBA＋∠ADC＝　 　°； ②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　 　；（用含a，b的式子表示） （2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）①DCA，90；②；（2）当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°． 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠ACD＝∠AOB＝90°，结合已知则可证明△AOB≌△DCA，再利用全等三角形的性质即可求得∠OBA＋∠ADC＝90°．②延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE，利用矩形的判定及性质可得DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b，即可利用勾股定理得出结果； （2）过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD，结合已知推出四边形OBFC是矩形，并利用三角形全等判定及性质可证明 △ABD是等腰直角三角形，再矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°，即可证明结论． 【详解】解：（1）①∵CD∥OB，∠MON＝90°， ∴∠ACD＝∠AOB＝90°． ∵AC＝OB，CD＝OA， ∴△AOB≌△DCA（SAS）． ∴∠OBA＝∠CAD． ∵∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠OBA＋∠ADC＝90°． 故答案为：DCA，90； ②如图，延长MO到点E，使OE＝CD，连接DE， ∵△AOB≌△DCA，OA＝a，OB＝b， ∴AC＝OB＝b，CD＝OA＝a． ∵CD∥OB，OE＝CD， ∴四边形OCDE是平行四边形． ∵∠OCD＝90°， ∴平行四边形OCDE是矩形． ∴DE＝OC＝OA＋AC＝a＋b． ∵BE＝OB＋OE＝a＋b， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点B作BF⊥OM，过点C作CF⊥ON，交于点F，在CF上截取CD，使CD＝OA，连接BD，AD， ∵∠MON＝90°， ∴∠OBF＝∠OCF＝∠MON＝90°． ∴四边形OBFC是矩形． ∴OC＝BF，OB＝CF，∠F＝90°． ∵AC＝OB， ∴△AOB≌△DCA（SAS）． ∴∠OBA＝∠CAD，AB＝AD． ∵∠OAB＋∠OBA＝90°， ∴∠OAB＋∠CAD＝90°． ∴∠BAD＝90°． ∴△ABD是等腰直角三角形． ∴∠ABD＝45°． ∵OB＝CF， ∴OE＋BE＝CD＋DF． ∵BE＝OA＝CD， ∴OE＝DF． ∵OC＝BF，∠EOC＝∠F＝90°， ∴△COE≌△BFD（SAS）． ∴∠OCE＝∠FBD． ∵∠OBA＋∠FBD＝∠OBF-∠ABD＝45°， ∴∠OBA＋∠OCE＝45°． ∴当点B在射线OM上运动时，β的大小不会发生变化，其值为45°． 【点睛】此题属于全等三角形综合问题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握所学知识并灵活运用其解决问题是解题的关键． 四、选做题（共10分，其中第27题4分，28题6分） 27. 对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）． 请参考上面的方法解决下列问题： （1）若将看作平面直角坐标系中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是　　　　　（写出一个即可）； （2）若，直接写出d的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． 【小问2详解】 解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长． ∴d的最大值为：． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； （2），是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点P的横坐标为或；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【小问1详解】 解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学2025—2026学年度第二学期期中考试 初二数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共5页，共两部分，四道大题，28道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列选项中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A. x≥－1 B. x≥－1且x≠3 C. x≠－1 D. x≠－1且x≠3 5. 如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 10. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 11. 如图，在中，D，E分别是的中点，连接，F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，则的长为______． 12. 如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 13. 如图1是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙的距离为，点和点距离窗台为都是，则的长是_______． 14. 小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 三、解答题（第17题每小题5分，第18-19每题5分，20-23每题6分，第24-26每题8分，共68分） 17. 计算： （1）： （2）． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． （1）若，求这个一次函数的解析式和点C的坐标； （2）若线段的长度小于5，直接写出k的取值范围． 20. 画出辅助线并补充完成证明过程． 已知：如图，D，E分别是的边的中点． 求证：，且． 证明：延长至点F，使，连接，，（补全图形） ∵，， ∴四边形是__________，（ ）（填推理依据） ∴且． ∵D是的中点， ∴__________， ∴且， ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理依据） ∴且． 又， ∴，且． 21. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值；若此时图象经过点和点，试比较与的大小． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按照要求画格点图形． 图1 图2 （1）在图1中画出一个平行四边形，且平行四边形的面积为5； （2）在图2中画一个以为中位线的格点三角形． 24. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（）与双层部分的长度y（）满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 … 双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 … （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度． （3）结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分与双层部分的长度． 25. 综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．如常用的 的纸张长与宽的比值都相等．A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． 查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m （1）在计算纸的长宽比m的过程中，小组同学通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个无理数是______；若设纸的长为a，宽为b，试求证你的结论． （2）如图2所示，在（1）的条件下长方形中，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 26. 已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB． （1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD； ①△AOB与△　 　全等，∠OBA＋∠ADC＝　 　°； ②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　 　；（用含a，b的式子表示） （2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． 四、选做题（共10分，其中第27题4分，28题6分） 27. 对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）． 请参考上面的方法解决下列问题： （1）若将看作平面直角坐标系中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是　　　　　（写出一个即可）； （2）若，直接写出d的最大值． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； （2），是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $