广东省汕尾市2025-2026学年九年级第二学期中考数学总复习冲刺卷二

**基本信息** 2025-2026学年汕尾市九年级数学中考冲刺卷，通过选择、填空、解答题（分三层次）全面覆盖代数、几何、统计核心知识，以嫦娥五号、安全竞赛等真实情境融合抽象能力、推理能力与应用意识，适配中考三轮冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、视图、科学记数法|嫦娥五号情境考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|5/15|函数定义域、图形运动规律|弹性小球反弹问题考查空间观念与推理意识| |解答题（一）|3/21|不等式组、四边形证明|正方形综合题融合几何直观与逻辑推理| |解答题（二）|3/27|统计分析、方程应用|安全竞赛统计培养数据意识，农机购买问题体现模型观念| |解答题（三）|2/21|二次函数综合、矩形折叠|抛物线存在性问题提升创新意识，折叠问题深化空间观念|

2025-2026学年广东省汕尾市九年级第二学期数学中考总复习冲刺卷二 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果零上记作，那么零下记作（　　） A． B． C． D． 2．如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（    ）    A．12° B．15° C．20° D．25° 6．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别是矩形的边，上的动点，点B关于直线对称的点刚好落在边上，与交于点O．连接，，以下四个结论：①四边形是菱形；②当点与点D重合时，；③的面积S的取值范围是；④当时，四边形的面积为．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①② 7．一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（    ） A． B． C．x（x+1）=30 D．x（x−1）=30 8．某班10名学生的身高（单位：cm）为：160，165，170，172，175，175，175，180，182，185．描述这组数据的统计量中，能反映大多数学生身高的是（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 9．如图，E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作，交于点F，己知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，的面积为，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分. 11．若有意义，则x的取值范围是 ． 12．关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的值为_____． 13．如图，弹性小球从点P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 ． 14．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ． 15．如图，在正六边形中，，点在边上，且.若经过点的直线将正六边形的面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是______. 三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分. 16．解不等式组 17．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求CF的长； （3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 18．如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E． (1)尺规作图：在图①中，过点P作的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证：． (2)如图②，若正方形的边长为6，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，直接写出线段，，之间的数量关系． 四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分. 19．为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计和分析如下： 八年级：80，80，100，90，80，70，70，80，70，90，70，80，100，90，60，80，90，80，90，90 九年级：90，90，100，80，80，60，70，80，60，100，60，70，90，80，90，90，90，70，100，90 年级/统计量 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 n 90 请根据所给信息，回答下列问题： （1）“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数为______，九年级学生成绩的中位数______，并补全条形统计图； （2）该校九年级学生共400人，请估计成绩不低于80分的人数； （3）根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 20．某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？ 21．如图，已知斜坡长为80米，坡角即为 ，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡. （1）若修建的斜坡的坡角为 ，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离处36米远（即为36米），小明在处测得建筑物顶部的仰角为 .点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，求建筑物的高度.（结果保留根号） 五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分. 22．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； （3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．课本再现 矩形的定义  有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． （2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 参考答案 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．解：由题意知，∵有意义， ∴，即； ∵有意义， ∴，即． ∴且． 故答案为：且 【关键点拨】零次幂和负整数指数幂的底数都不能为零．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴可取的值为． 13． 解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环， 2021÷6＝336…5， 即点P2021的坐标是（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点睛】 本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律． 14．解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过作于，过作于，过作于， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 15．如图，连接,交于点，则为该正六边形的中心，则直线即为符合条件的直线.令直线交于点，过点作于点. 六边形是正六边形，，中心为，， ，.又，是等边三角形，，， ，，，，，，. 【归纳总结】 经过正六边形中心的直线可以将正六边形的面积平分. 16．【答案】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为． 17． 试题分析：（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF； （2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． （1）证明：如图1， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）证明：如图1， ∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线， ∴∠EBC=∠DBC=22.5°， 由（1）知△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）； ∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）， ∴∠BGF=90°； 在△DBG和△FBG中， ， ∴△DBG≌△FBG（ASA）， ∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）， ∵BD==， ∴BF=， ∴CF=BF﹣BC=﹣1； （3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF ∴BH=﹣1， ①当BH=BP时，则BP=﹣1， ∵∠PBC=45°， 设P（x，x）， ∴2x2=（﹣1）2， 解得x=2﹣或﹣2+， ∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）； ②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1， ∵∠ABD=45°， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（﹣1，﹣1）； ③当PH=PB时，∵∠ABD=45°， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（，）， 综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）． 18．（1）如图， 点M即为所作， 设交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在点运动的过程中，的长度不发生变化，理由是： 如图， 连接， ∵点是正方形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得： ， ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴为定值是 ； （3）如图， 理由是： ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ∴， 是等腰直角三角形， ． 19．（1）解：； “80 分”所在扇形的圆心角的度数为； 将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90， 则中位数为； 由数据收集得到八年级 80 分的有7人， 故补全条形统计图，如图所示： （2）解：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为： （人）； （3）解：我认为九年级成绩更好．理由如下： 由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 20．（1）设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元． （2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件， 根据题意得，， 解得， 所以共有三种方案， 当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）； 当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）； 当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）； ∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元） 答：购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元． 21．（1） 如图，延长交于，易知 修建的斜坡的坡角为 ，,为中点， ，，，，. 平台的长为米. （2） 如图，过点作，垂足为.在中，，.易知，. 在中，，则. 答：建筑物高为米. 22．（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 23．（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵E 是  的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $