2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟卷（6）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷涵盖向量、立体几何、三角函数、概率统计等核心知识，通过几何证明、概率计算等题型，培养空间观念、推理能力与模型意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|向量运算、棱台体积、三角函数求值|基础概念与空间想象结合，如棱台体积计算考查空间观念| |多选|3题18分|三角恒等变换、解三角形|多选项设计区分思维层次，如三角形中线与角平分线计算| |填空|3题15分|复数、斜二测画法、立体几何体积|斜二测画法与包装盒体积体现直观想象与数学应用| |解答|5题77分|解三角形证明与计算、概率统计（冬奥知识竞赛）、立体几何证明与距离、概率事件分析|冬奥知识竞赛情境渗透应用意识，立体几何证明培养逻辑推理，概率事件分析强化数学语言表达|

2025-2026学年高一数学下学期 期末考试模拟卷（6） （本试卷共5页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.. A． B． C． D． 2. .已知向量 满足 ，则 ( ) A． B． C． D． 3. 棱台上下底面均为有一个内角为 的菱形,且上下底边长分别为 2 和 3,该棱台的高为 ,则该棱台体积为( ) A． B． C． D． 4. 已知 为第二象限角,且 ,则 ( ) A． B． C． D． 5.已知 是两个不共线的向量,且 ,则四边形 的形状是 A． 梯形 B． 菱形 C． 矩形 D． 无法构成四边形 6. 已知向量，满足，，则向量与的夹角余弦值为( ) A． B． C． D． 7. 已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为( ) A． B． C． D． 8.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是( ) A． B． C． D． 10. 在中，，，，则( ) A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 11. 若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则(　　) A． AC与BD所成的角为90° B． AD与BC所成的角为45° C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD所成角的正切值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 ,若复数 是纯虚数,则实数 的值为_____. 13.是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 14.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在 中,已知 。 （1）证明: 为钝角三角形; （2）若 面积为 ，求 周长。 16. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下： 男生: 81 84 86 86 88 91 女生: 72 80 84 88 92 97 从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； 17. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B, cos A)，m·n＝sin 2C.求角C的大小； 18．.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上的点，Q是棱PA的中点，G为△AOC的重心，AB是圆O的直径，且AB＝2AC＝2. (1)求证：QG∥平面PBC； (2)求点G到平面PAC的距离． 19.在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”，事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”． (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B； (2)试判断事件A与事件B，事件A与事件C，事件B与事件C是不是互斥事件； (3)试用事件Aj表示随机事件A． 2025-2026学年高一数学下学期期末考试模拟卷（5）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】B【2题答案】C【3题答案】D【4题答案】C【5题答案】A【6题答案】C 【7题答案】C【8题答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】BD【10题答案】BC【11题答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】2 【13题答案】 【14题答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【解析】(1) 证明: 在 中, 。所以 。 代入已知恒等式得: 利用余弦的加法公式展宽: 代入 : 因为 ,所以 与 异号。由此可知, 或 之中必有一个角的余弦值为负值, 即必有一个角是钝角。所以, 为钝角三角形。 (2) 解: 因为 ,且 ,所以 。由 的面积公式: 根据正弦定理,设外接圆直径为 : 由此可得: 在 中,利用余弦定理求 : 因此: 所以, 的周长为: 16. 由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合， 设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则 ，共有种组合，所以， 即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为； 17 m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)， 在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π， 所以sin(A＋B)＝sin C， 所以m·n＝sin C＝sin 2C，又因为C∈(0，π)，所以cos C＝.故C＝. 18. 【解析】(1)如图所示，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO.∵G为△AOC的重心，∴M为AC的中点．∵O为AB的中点，∴OM∥BC.∵OM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC，同理QM∥平面PBC，又OM⊂平面QMO，QM⊂平面QMO，OM∩QM＝M，∴平面QMO∥平面PBC.∵QG⊂平面QMO，∴QG∥平面PBC. (2)∵AB是圆心O的直径，∴BC⊥AC，由(1)知OM∥BC，∴OM⊥AC.∵PA⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，∴PA⊥OM.又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴OM⊥平面PAC，∴GM就是点G到平面PAC的距离．由已知可得，OA＝OC＝AC＝1，∴△AOC为正三角形，∴OM＝.又G为△AOC的重心，∴GM＝OM＝.故点G到平面PAC的距离为. 19. 【解析】解：由题意可知试验E的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)． 因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)． 所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}． (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}． 因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件． (3)因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j”， 所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}， 所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6． 第2页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $