2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（6）

**基本信息** 上海市高一数学期末复习卷，涵盖集合、数列、向量等核心知识，解答题融合游戏情境（题20）与创新定义（题21），考查数学应用与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题|集合运算（题1）、不等式有解（题2）、数列通项（题9）|分层次设题，如题9三问递进考查数列求法| |单选题|4题|向量基底（题13）、三角求值（题15）|注重概念辨析，如题13考查向量基底判定| |解答题|5题|复数运算（题17）、概率应用（题20）、函数创新定义（题21）|情境化与创新性结合，题20以游戏为背景考查概率，题21通过“控制函数”考查逻辑推理|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（6）（解析版） 一、填空题 1．已知全集，若集合，则___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，集合，所以. 故答案为： 2．若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知可得， 所以， 当且仅当时，即当时取等号， 因为不等式有解，则有，即， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：． 3．若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 4．若无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a=______． 【答案】2 【详解】试题分析：由已知得=a，由此能求出a． 解：∵无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为1，公比为a﹣1.5， ∴Sn=， ∵=a，∴=a， 解得a=2． 故答案为2． 考点：等比数列的前n项和． 5．已知，则 的值是_____. 【答案】 【分析】由sin（x+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2（x+）的值，将所求式子的第一项中的角变形为π-（x+），第二项中的角变形为﹣（x+），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【详解】解：∵sin（x+）＝， = = = = 故答案为. 【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题. 6．关于的方程（）的两虚根为、，且，则实数的值是________. 【答案】5 【分析】关于方程两数根为与，由根与系数的关系得：，，由及与互为共轭复数可得答案． 【详解】解：与是方程的两根 由根与系数的关系得：，， 由与为虚数根得： ，， 则， 解得，经验证，符合要求， 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意与为虚数根情形，否则漏解，属于基础题． 7．等差数列，前n项和分别为与，且，则___________． 【答案】 【分析】根据题意结合等差数列前n项和的形式特征设，再根据前n项和与通项公式之间的关系求，代入结合等差中项分析运算. 【详解】∵数列，均为等差数列， ∴， ∵，即， 根据等差数列前n项和为，可设， 对于数列，则有： 当时，则； 当时，则； 显然当时，也满足， 故， 同理可得：， 故. 故答案为：. 8．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到，根据三角形为锐角三角形，求得，以及的取值范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求式子，由正弦函数的性质求得所求式子的取值范围. 【详解】因为，所以，所以， 所以，即，， 即，因为三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，且，所以. 所以=.由于，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________. （2）已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. （3）已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 019＝________. 【答案】 【分析】（1）利用 求解；（2）利用n≥2时，an＝Sn－Sn－1得＝－得到等比数列即可求解（3）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1代入整理得－＝1，得到为等差数列即可求解 【详解】（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ （2）当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝. （3）当n≥2时，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 019＝. 故答案为：；； 10．已知线段AB的长为4，动点C满足（为常数，），且点C始终不在以B为圆心1为半径的圆内，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，用坐标表示以及点不在以点为圆心为半径的圆内，从而求出的范围． 【详解】以线段所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示； 设点，则，， ，； 由，得， ；① 又点不在以点为圆心为半径的圆内， ， 即；② 由①②可知圆与圆外离或外切，或者圆内含于或内切于圆 或，解得或 的范围是． 故答案为：． 11．化简：______. 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 12．若为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，向量，，且，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义得到点的轨迹为椭圆，依题意求出相关量，即得轨迹方程. 【详解】由题意，，, 由，得， 上式可理解为动点 到定点 和 的距离之和为 8， 由椭圆的定义知，动点的轨迹是以 和 为两焦点的椭圆， 则 ， 于是 . 故点 的轨迹方程为. 故答案为： 二、单选题 13．下列命题正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若不共线，则可以作为平面向量一组基底 【答案】D 【分析】向量不能比较大小，所以A错误；由向量的数量积运算，可判断B；根据向量共线的条件可判断C；由基底的定义可判断D. 【详解】因为向量不能比较大小，所以A错误； 若，则，即. 即.显然时，不成立，所以B错误； 当时，恒成立，所以不一定平行，所以C错误； 根据基底的定义知，平面内两个不共线的向量均能作为平面向量的一组基底，所以D正确. 故选：D. 14．设,则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由题意将替换为，然后和比较即可. 详解：由题意将替换为，据此可得： . 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查数学归纳法中由k到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由结合角的范围解出、，然后求出，再用二倍角公式求出即可. 【详解】解：由，且，解得 所以， 故选B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题. 16．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到直线恒过点，直线恒过点，，则，即，求出轨迹为圆，但是去掉点，若点为弦的中点，求出，点在以为圆心，半径为1的圆上，由几何关系得到，由极化恒等式得到． 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过， 因为，所以，则，即， 点轨迹为以为直径的圆，的中点为， ， 故轨迹为圆，但是去掉点， 其中，若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或， 又点为圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ，即的最大值为． 故选：B. 三、解答题 17．已知复数，满足，. (1)若纯虚数的虚部与的虚部互为相反数，求； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到的虚部，从而求出； （2）设，由得到，从而得到，即可表示出，再由复数的模的计算公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 则的虚部为，又纯虚数的虚部与的虚部互为相反数， 则； （2）设， 因为， 又，所以，所以， 则 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为． 18．如图，在中，已知，，，边上的中点为，边上的中点为，，相交于点.    (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)过点作直线交边，于点，，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可. （3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可. 【详解】（1）在中，且，， 由余弦定理得，解得，(负根舍去)， 故. （2）    以为原点，建立平面直角坐标系，易知，， 设，由两点间距离公式得，， 解得，，(负根舍去) 故，由中点坐标公式得，， 故，，设与的夹角为， 故， （3）易知由于边上的中点为，边上的中点为， 而是两条中线的交点，故是的重心，所以， 设，，， 由于在直线上，所以，即， 而，所以，， 故得，， 所以，， 故得， 所以上下两部分的面积之比为， 因为，所以上下两部分的面积之比的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题平面向量与解三角形，解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，得到所要求的范围即可． 19．实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 【答案】(1)2，3． (2) (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径； （3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和. 【详解】（1） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 20．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立： (1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率 (2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算； （2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出. 【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发； 所以. . 所以. （2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为： i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为： ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为： iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为： ， 则事件彼此互斥，记， 所以 . 所以 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解 21．已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”． (1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由； (2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解； (3)设，函数是否存在控制函数?若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是函数的一个控制函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)存在， 【分析】（1）对任意，求得，进而可得是函数的一个控制函数； （2）由，可得，构造新函数，设，求导利用单调性可得，同理可得，可证结论； （3），，判断正负可得，则理可得，可得结论. 【详解】（1）对任意，则，且，所以是函数的一个控制函数； （2）因为，则， 则， 设，在上，在上， 则在单调递减，在上单调递增，最大值， ， 则，，即， 同理，， ，即， 综上，，，在区间上的值域为， 则在区间上有实数解． （3），则，其中， ， 则，即， 同理，即， 则是的一个控制函数． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立，可按如下规则转化： 一般地，已知函数,， 若,，总有成立，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(6)（解析版) 一、填空题 1.己知全集U={1,2,3,4,5,若集合A={2,3,则A= 2.若正实数X、少满足x+2y=4,不等式m+m>21 1>十y中有解，则m的取值范围是 3.若屏形的圆心角为子。驱长为2，则此扇形的面积为 4.若无穷等比数列a}的前n项和为S,首项为1，公比为a-1.5,且1imS=a,则a= n-0o 5.已知mr+爱=子则sm-+eos写-0的信是一. 6 6 6.关于x的方程x2+4x+m=0(meR)的两虚根为、B,且|a-B=2,则实数m的值 是 7.等差数列a,,{么}前n项和分别为S与Z,且6n+2江，=(2n+1S,则+色= a 8.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为Q、b、C,若ABC为锐角三角形，且满足 b2-a2=ac,则1- 。的取值范围是 "tan A tan B 9.(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n十1(n∈N*),则am= （2)已知数列{an的前n项和Sm=am 39m+ 千？，则{an}的通项公式an= 2an (3)已知数列im中，a=1,n为数列{am}的前n项和，且当2时，有aS,g= 成立，则S2o19= 10.已知线段AB的长为4，动点C满足CA·CB=4(μ为常数，u>4),且点C始终不 在以B为圆心1为半径的圆内，则μ的取值范围是 sin2-a)cos(cos 11.化简： 2 9π cosπ-a)sin3π-a)sin-π-asin 2+a 12.若i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，向量ā=xi+y+2)j, 万=xi+(y-2)j,(x,y∈R),且+=8，则点M(x,y)的轨迹方程为 试卷第1页，共3页 二、单选题 13.下列命题正确的是() A.2a>a B.若a+b2a-,则a1b C.若a=ub,则a∥五 D.若，三不共线，则，可以作为平面向量一组基底 4设s2k3…+效则5 1 1 1 1 1 A.S,+2k+可 B.S+ 2k+12(k+1 1 1 1 1 C.S+2水+12k+ D.S,+2k+12k+1 15.已知<a<元，且sina+cosa= 则tan2a的值为() 2 A B. 7 7 C.-24 D. 24 16.己知直线l:mx+y-m-3=0与l2:x-my+m-3=0相交于点M,线段AB是圆 C:(x+1)+(y+1)2=4的一条动弦，且AB=2√3，则MA.MB的最大值为() A.16+8√2 B.30+8√2 C.16+85 D.30+85 三、解答题 17.已知复数，马满足43GR,行=5- 1-√3i (1)若纯虚数23的虚部与z的虚部互为相反数，求23； (2)求2z,+z的最小值 18.如图，在ABC中，己知AB=4,AC=10,∠BAC=60°，BC边上的中点为M,AC边 上的中点为N,AM,BN相交于点P. B (1)求BC: 试卷第1页，共3页 (②)求AM与BN夹角的余弦值； (3)过点P作直线交边AB,BC于点E,F,求该直线将ABC分成的上下两部分图形的面 积之比的取值范围 19.实系数一元三次方程ax3+a2x2+a1x+a。=0(a≠0)，在复数集C内的根为x,x2,x, +龙+5=- a 方程可变形为a(x-xx-x(x-x=0,展开可得xx+x+x,=4,如果一元n次方 a xxx3=- a 程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立， (1)已知方程x3-6x2+11x-6=0有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根： (2)设ABC三个顶点在复平面内对应的复数分别为，22，，满足 2223=0,1+22+33=9+4i,z22+223+2233=18+24i,求ABC内切圆半径 (3)记区间(a,b)的长度为b-a,若关于x的不等式：】 1>mm>0,n∈N,n≥2)的解集 xi 为A,求A中所有区间的长度之和（结果用m,n表示）. 20.某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才 能再次发动攻击)其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有，的概率使自己的下一次 攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续 发动攻击；技能二是每次发动攻击时有，的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部 变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触 发带来的2倍伤害加成)每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发， 发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一 轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立： ()当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率P(BA (②)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为P,求P, 21.己知y=f(x)与y=g(x)都是定义在(0，+∞）上的函数，若对任意x,x2∈(0，+0)，当 试卷第1页，共3页 名<5时，都有5≤)-儿≤g5,则称y=g是y=冈的一个控制函数， X1-x2 (1)判断y=4x(x>0)是否为函数y=2x2(x>0)的一个控制函数，并说明理由； ②设fy=lnr的导数为f川x,0<a<i,求证：关于x的方程fb-f@=f(y在区间 b-a (a,b)上有实数解： (3)设f(x)=xlnx,函数y=∫(x)是否存在控制函数？若存在，请求出y=∫x)的控制函数： 若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页