2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（5）

**基本信息** 上海市高一数学期末综合卷，覆盖三角函数、解析几何、数列等核心知识，通过企业用电量建模（解答题19）和弱等差数列新定义（解答题21），梯度考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|12|三角函数周期/平移、直线斜率、复数运算、等比数列|企盼数（第10题）结合对数换底，考查创新意识| |单选题|4|函数对称中心、纯虚数判定、数量积求最值|第15题应用数量积性质解决函数最值，体现数学思维| |解答题|5|向量垂直、复数几何意义、数列通项与求和、弱等差数列证明|第21题新定义证明，综合考查逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（5）（解析版） 一、填空题 1．已知函数，的最小正周期是___________. 【答案】 【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解. 【详解】由题得， 且，函数的定义域为 所以函数的最小正周期为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．将函数f（x）=sin(2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是__________ 【答案】 【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递减区间,注意x前面的系数为负数，平移时要提出来． 【详解】将函数f（x）= sin(2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）=sin（-2x-）=-sin（2x+）的图象，令2kπ-≤2x+≤2kπ+求得kπ-≤x≤kπ+ 故g（x）的单调减区间为，k∈Z， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，平移时注意自变量x的系数，再利用正弦函数的单调性求出新函数的单调区间，属于基础题． 3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________． 【答案】0 【详解】由于正三角形的内角都为，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为，则斜率为，则边AC所在直线的倾斜角为，斜率为，所以AC，AB所在直线的斜率之和为． 4．已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为____________. 【答案】6 【分析】求出直线所过定点，从而得到直线恒过点，求出圆心，从而得到，数形结合得到动点到直线的距离的最大值. 【详解】变形为， 令，解得：， 故直线恒过定点， 关于对称的点， 故直线恒过点， 变形为，圆心为，半径为1， 故圆心与的距离为， 则动点到直线的距离的最大值为BC的长加上半径，即. 故答案为：6 5．已知复数满足，则z=_________. 【答案】 【分析】利用给定等式用表示出复数z，再进行复数除法运算即可得解. 【详解】因复数满足，则，整理得， 则， 所以. 故答案为： 6．已知直线与圆相交于两点，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程得圆心的坐标，再求直线的定点坐标，设线段的中点为，得，进而得，最后利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由圆得：，所以， 又直线，令，得，即，所以直线过定点， 设线段的中点为，所以， 所以. 7．已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________． 【答案】4 【详解】由余弦定理得， 故，解得，结合得， 中线满足向量关系：， 则， ， ，化简得①， ， 代入①可得，解得或（舍去）， ． 8．已知为等比数列，，，则______. 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 9．已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可. 【详解】由可得， 又由可得，复数在复平面上对应的点在单位圆上， 设单位圆上动点，，，则表示长度，表示长度， 即，又因为，所以， 令，可设， ，令，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 由，，， 所以当时，在有两解，即在轴上方一定存在两个复数对应的点满足条件， 再利用圆关于轴对称，所以在轴下方也一定存在两个复数对应的点满足条件， 综上此时有四个不同的复数， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为，再利用消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得的范围. 10．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N*）定义使a1•a2•…•ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______． 【答案】2026 【分析】根据题意，先求出a1•a2•…•ak可得a1•a2•a3•…•ak=log2（k+2），即转化为k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2，由k∈[1，2019]可得1≤2n-2≤2019，可求解对应值，再分项求解即可 【详解】∵an=logn+1（n+2）=（n∈N*）， ∴a1•a2•a3•…•ak=•••…•=log2（k+2）， 又a1•a2•a3•…•ak为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2， 又k∈[1，2019]，∴1≤2n-2≤2019，∴取2≤n≤10， ∴区间[1，2019]内所有的企盼数的和为： M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=（22+23+…+210）-2×9=-18=2026． 故答案为2026 【点睛】本题考查新定义数列的理解判断，数列的分组求和，属于中档题 11．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量，则记，.已知该平面内两点，，若，则点M的轨迹围成的图形面积为______；若，则的最大值为______. 【答案】 2 【分析】由题意知，对，的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即可求解答题空1；根据题中所给定义及向量模长公式，分类讨论去绝对值，再结合基本不等式即可求解答题空2. 【详解】由题意知. 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段. 如下图所示： 记点，，，，则点的轨迹为四边形. 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为. 由平面向量数量积的定义可得， ， . ，，不同时为0. 当，时，； 当，时，； 当，时，， 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，； 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，. 综上所述，当时取得最大值，最大值为2. 故答案为：；2. 【点睛】关键点点睛：本题答题空1考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解； 答题空2根据题中所给定义及向量模长公式，分类讨论去绝对值，再结合基本不等式即可求解. 12．已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数 ，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种. 【答案】 【分析】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则.因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数. 由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即. 因为，故是的约数，进而分类讨论求解即可. 【详解】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则由等差数列定义得. 因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数. 由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项. 设，则，即. 因为，故是的约数.所以. 当时，，得，故，共种可能； 当时，，得，故，共种可能； 当时，，得，故，共种可能； 当时，，得，故，共2种可能； 当时，，得，故，共2种可能； 当时，，得，故，共1种可能； 当时，，得，故，共1种可能； 当时，，得，故，共1种可能. 综上，满足题意的数列共有（种）. 经检验，这些数列均符合题意. 故答案为：. 【点睛】首先根据等差数列概念和已知条件列得出的每一项均是自然数，且是正整数，再利用同样思路，由是数列的项得出是的约数，进而分类讨论得解. 二、单选题 13．函数的一个对称中心为，则直线的倾斜角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数的对称性，得到，从而有，再利用直线的斜率为，结合倾斜角的取值范围求得结果. 【详解】令 因为函数的一个对称中心为， 所以有，所以，即， 所以直线的斜率， 设其倾斜角为， 所以有，所以， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关直线倾斜角的问题，涉及到的知识点有三角函数的对称性，根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题目. 14．复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．0 C． D．0或1 【答案】B 【分析】由纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以， 故选：B. 15．教材中关于数量积有如下性质“，当且仅当时等号成立”，应用该结论可以解决某些函数最值问题，则函数的最大值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由已知可得，进而可求的最大值. 【详解】设，由， 可得，当且仅当取等号， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最大值是. 故选：B. 16．已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 三、解答题 17．已知，且与不共线．为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】 【分析】要使得向量与互相垂直，即令，求出的值. 【详解】解：因为向量与互相垂直， 所以， 即， 因为， 所以， 解得：， 故当时，向量与向量互相垂直. 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，当两个向量垂直时，它们的数量积为0，从而将几何问题转化为代数问题进行求解. 18．已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 19．某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（单位：小时，其中对应凌晨0点）的函数近似满足 ,如图是函数的部分图象． （1）求的解析式； （2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型模拟，当供电量小于企业用电量时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间在中午11点到12点之间，用二分法估算所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由图象，利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得，由周期求得，由特殊点求得的值，从而可得的解析式； （2）构造函数，先判断在上是单调递增函数，再利用二分法判断函数的零点所在的区间． 【详解】（1）由图象可知A==，B==2，T=12=，ω=， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ=； 综上，A=，B=2，ω=，φ=， 即f（t）=sin（t+）+2. （2）由（1）知f（t）=sin（t+）+2=cost+2， 令h（t）=f（t）-g（t）， 设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间； 易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数； 由h（11）=f（11）-g（11）=cos+2+2×11-25=-1＜0， h（12）=f（12）-g（12）=cos+2+2×12-25=＞0， 又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）=cos+2+2×11.5-25=cos（-）=cos=＞0， 则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟）， 又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）=cos+2+2×11.25-25＜×1-0.5=0， 则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）． 所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）. 【点睛】本题主要通过已知的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题. 利用最大值与最小值差的一半求得，由最大值与最小值和的一半求得， 利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键. 20．已知数列满足：，，数列的前n项和满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据累加法求数列的通项公式，根据的关系求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题可知：， 所以 ， 所以； 当时，， 当时，，满足上式， 所以； （2）； 则， ， 所以 所以. 21．对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”. (1)证明:数列是“弱等差数列”; (2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”; (3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）找到一个符合条件的数列即可证明； （2）令得到极值点符合的等式关系，即为和图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列即可证明； （3）先构造一个等比数列，其通项公式为，证明存在一个正整数，使其为长为2024的“弱等差数列”即可. 【详解】（1）存在数列是等差数列，且，所以数列是“弱等差数列”. （2），令得， 所以极值点即为和图象交点的横坐标， 由和在内的图象可知，在每个周期都有一个交点， 所以令，则，所以是“弱等差数列”. （3）构造正整数等比数列，，其中是待定正整数， 下面证明：存在正整数，使得等比数列是长为2024的“弱等差数列”. 取若存在这样的正整数使得 成立， 所以， 由，得 ， 于是 ， 又因为，所以当时，， 而， 所以， 最后说明存在正整数使得， 由， 上式对于充分大的成立，即总存在满足条件的正整数. 所以，存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列. 【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略： （1）依据新定义取特殊值证明其成立； （2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(5)（解析版) 一、填空题 1.已知函数f(☒=器，f(x)的最小正周期是 2.将函数f(x)=si(一2x的图象向左平移号个长度单位，得到函数g(x)的图象，则函数 g(x)的单调递减区间是 3.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是O,则AC,AB所 在直线的斜率之和为 4.已知直线：(a-3)x-2y+2a=0(aER)与直线关于直线y=x对称，点P在圆 C:x2+y2-4y+3=0上运动，则动点P到直线的距离的最大值为 5.己知复数z满足娑=1，则z= 6.已知直线：mx+y-1=0与圆C:x2+y2-2x-4y=0相交于AB两点，则 |CA+C的最大值为 7.已知△ABC的内角AB,C的对边分别是 a,b,C,2 bcosA=acosC+ccosA b=4,BC边上的中线AD=V7,则A.AC= 8.己知{an}为等比数列，a2a4a5=a36,ag10=-8,则a7= 9.己知a>0,如果有且仅有四个不同的复数z,同时满足|(z一1)(2+1)月1=a和 z=1,则a的取值范围是 l0.已知数列{an}满足an=logn+1(n+2)(n∈W*)定义使aa2·.·ak为整数的数k叫做企盼 数，则区间[1,2019]内所有的企盼数的和是 11.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60角的两条数轴，已，E2分别是与x轴，y轴正方 向同向的单位向量对于平面内任意一点P,若向量O=x已1+yE2,则记P(x,y), d(O)=x+y1已知该平面内两点M(xy),N(x2y2),若d(o)=1,则 do成 点M的轨迹围成的图形面积为；若d(O)>0,则o贰的最大值为 y P 12.已知数列{an}是有无穷项的等差数列，a1≥0，公差d>0,若满足条件：①38是数 试卷第1页，共3页 列{an}的项；②对任意的正整数mn(m≠n),都存在正整数k,使得aman=ak.则满 足这样的数列的个数是种 二、单选题 13.函数y=asinx-bcosx的一个对称中心为(，0)，则直线ax+y+c=0的倾斜角 大小为() A. B.哥 C. D.要 14.复数z=m(m-1)+(m2-1)i为纯虚数，则实数m的值为() A.1 B.0 C.-1 D.0或1 15.教材中关于数量积有如下性质·≤，当且仅当/乃时等号成立”，应用 该结论可以解决某些函数最值间题，则函数f(x)=V区+V1一3x的最大值是() A.1 B.29 c. D.9 16.已知向量=(cos日，sim日石=(1，V3,若与6的夹角不超过号，则后-的范围是 () A.[1,5 B.[] c.[1,3] D.[3] 三、解答题 17.已知=5，问=2，且a与b不共线.k为何值时，向量a+kb与向量a-kb互相垂直？ 18.己知复数z=bi(b∈R), 帮为实数 (1)求z+z2; (②)若复数(m十z)在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程 x2+(m2-9)x+4=0的根，求实数m的值 19.某企业一天中不同时刻的用电量y(万千瓦时)关于时间t(单位：小时，其中 0≤t≤24，t=0对应凌晨0点)的函数y=f(t)近似满足f(t)=Asin(ωt+p)+B (A>0,ω>0,0<p<π)，如图是函数f(t)的部分图象. 试卷第1页，共3页 2.5 1.5 6 12 (1)求f(t)的解析式： (2)己知该企业某天前半日能分配到的供电量f(t)(万千瓦时)与时间t(小时)的关系 可用线性函数模型g(t)=-2t+25(0≤t≤12)模拟，当供电量g(t)小于企业用电量 f(t)时，企业必须停产.初步预计开始停产的临界时间to在中午11点到12点之间，用二 分法估算to所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）， 20.己知数列{an}满足：a1=2,aH1=an+2n+2,数列{bn}的前n项和Sn满足 Sn=支·3+1-号 (I)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)若cn=0(nEN),求数列cn}的前n项和Tn 21.对于有穷数列a1a2…,am(m≥3)，若存在等差数列{bn},使得 b1≤a1<b2≤a2<…<bm≤am<b叶1，则称数列{an}是一个长为m的“弱等差数列 (1)证明：数列1,2,4是“弱等差数列” (2)设函数f(x)=xsinx,f(x)在(0,2024)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 aya2…,am,证明：a1a2…,am是“弱等差数列” (3)证明：存在长为2024的“弱等差数列”{an},且{an}是等比数列 试卷第1页，共3页