2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（4）

**基本信息** 2025-2026学年上海高一数学期末复习卷，涵盖三角函数、数列、向量、复数等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查运算能力、推理意识与模型观念，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|12|三角函数定义、等差数列、复数几何意义等|基础题为主，如角终边上点求三角函数值（题1），结合梯形情境考向量最小值（题3）| |单选题|4|充要条件、复数性质、向量分解|注重概念辨析，如复数实部虚部判断（题14），向量线性表示（题15）| |解答题|5|数列通项与求和、向量运算、复数三角形式应用|综合性强，如正三角形中向量定值与最值（题20），结合复数三角形式探究周期函数（题19）|

2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷（4）（解析版） 一、填空题 1．已知角的终边上有一点，则___________. 【答案】/0.8 【分析】由正弦函数定义求得，然后由诱导公式计算． 【详解】角的终边上有一点，则， 所以． 故答案为：． 2．已知集合，i是虚数单位，对任意 （可以相等）均有，则符合条件的元素个数最多的集合S＝_____. 【答案】 【分析】根据复数除法的运算性质，结合集合的性质、整数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为对任意 （可以相等）均有， 所以， 假设S中有不为1的元素，不妨设其为：，且a，b不同时为0， 则，     因为，所以且，且不同时为零， 当且时，显然不同时为零， 因为，所以， 于是有，， 显然且不成立，故不符合题意； 当且时，则，因为，所以，即， 此时； 当且时，因为，所以，所以，此时，而， 所以； 综上所述：， 故答案为： 3．在梯形中， ，，，，若点在线段上，则的最小值为______________. 【答案】 【分析】根据 ，，，，建立平面直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系：    因为 ，，，， 所以，，，设， 所以 所以， 所以， 所以， ， 当时，的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】根据条件列公差方程，解得结果，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设公差为 因为成等比数列，所以 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列与等比数列简单综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 【答案】4 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线， 所以，解得. 故答案为：4 6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________，________. 【答案】 【分析】利用正弦定理即可求解，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和与差的公式求出，再利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得， 所以 因为，所以，所以是锐角， 所以， 所以 ， 由正弦定理得， 所以 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 7．设，为锐角，且满足，则______. 【答案】 【分析】由两角和的正弦公式可得，，分类讨论可得，从而求解. 【详解】∵， ∴， 因为，为锐角，所以， 若，则，，同理，则，不合题意， 若，则，，同理，则，不合题意，所以， 故答案为： 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查了分类讨论思想，属于中档题. 8．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则__________. 【答案】 【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解. 【详解】因为对任意的，均有，则有， 当时，，所以； 当时，，也即， 因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为：. 9．已知复数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据复数的几何意义： ，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，，的表示圆上的点到和的距离，再利用数形结合求解. 【详解】复数满足，表示以原点为圆心，以3为半径的圆， 则的表示圆上的点到和的距离， 由图象可知，    当点在处最小，最小为:， 当点在处最大，最大为， 则的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 10．已知函数对于任意，都有成立，则___________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦函数的最小值条件求解即得. 【详解】依题意， ，其中， 由对任意，都有成立，得， 则，，即，， 所以. 故答案为： 11．已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______ 【答案】 【分析】由复数的运算法则与几何意义求解. 【详解】由， 结合题意，则，解得. 故答案为：. 12．如图， 在等腰中， 底边， 是腰AC上的两个动点， 且 则当 取得最小值时， 的值为________. 【答案】/ 【分析】由共线向量定理求得，然后由基本不等式求得等号成立的条件解得，由是等腰三角形，且底边，取中点，连接，由，计算求解即可. 【详解】由图，三点共线，故可设，又三点共线，故可设， 则，因， 则，由， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值为， 则，则， 为等腰三角形，， 取的中点为，连接，则，且， 则， 所以. 故答案为：. 二、单选题 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】若，则． 因为，所以． 若，则，即． 故“”是“”的充分不必要条件． 14．复数，下列说法正确的是（    ） A．的实部为12 B．的虚部为 C． D． 【答案】D 【分析】先化简复数，然后结合选项分析即可求解. 【详解】由于复数， 所以的实部为0，虚部为13，故AB错误； 所以，故C错误，D正确. 故选：D. 15．如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据共线定理由，，三点共线，设，则，同理由，，三点共线，可得，建立方程组求解． 【详解】连接，.由，，三点共线，可设， 由题意知， ， 所以. 同理由，，三点共线， 可设， 所以， 解得从而． 故选：A. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数． 16．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题设中递推关系可得，利用累加法可求通项，再利用公式法可求. 【详解】根据题意，有， 故累加可得 ， 所以，而也符合该式，故. 进而， 整理得． 故选：B. 三、解答题 17．已知数列首项为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件推出，结合等差数列性质，推出数列的通项公式； （2）利用前项和公式定义，利用（1）的结论，分和两种情况计算. 【详解】（1）已知数列首项为，且，，成等差数列，则①② 令，得：.由②减①，得. （i）令，则，，即. （ii）令，则，，即. 综上所述，数列的通项公式为. （2）令， ，即， 令，则， 即. 综上所述，数列的前项和. 18．设，向量，，，且∥，． (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解； （2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可. 【详解】（1）因为∥，，则，解得， 即，， 可知，即，可得， 所以. （2）由（1）可知：，， 可得，， 则，， 可得， 且，则， 所以向量与夹角为. 19．已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. (1)已知复数满足：，求； (2)已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； (3)已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：. 【答案】(1)或； (2)是，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数乘法法则得到的三角形式，且满足进行求解. （2）求出方程的两个复数根，化为三角形式代入函数，再根据复数的幂性质判断是否为周期函数. （3）根据已知条件得出，利用反证法推出矛盾. 【详解】（1）设，则， 又，所以， 所以，， 即，又， 所以或. （2）因为的两个复数根分别是， 所以， ， 即， 由棣莫弗定理可知，， ， 所以，即24是的其中一个周期； （3）由题意，，， 、、，可得： ， 则虚部， 所以， 假设结论不成立，则， 又，故， 所以， ， 所以， 故，即， 由三倍角公式得， 所以， 即， 又，所以， 即， 产生矛盾，所以假设不成立，所以. 20．已知正△ABC的边长为，内切圆圆心为，点P满足． (1)求证：为定值并求此定值； (2)把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围； (3)若，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析，定值为51； (2)； (3)． 【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点在圆上，设，即可表示，，，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得； （2）由（1）知，同理可得，，根据对称性下面考查时的情况，分与两种情况讨论，分别求出，，的取值范围，即可得解； （3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系，得到，，两边同除， 令，，将原式化为，再根据求出的取值范围，即可得解； 【详解】（1）解：以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，． 因为，所以点在圆上，故设， 则，，， 所以 ． （2）解：由（1）知， 同理可得，， 由对称性下面考查时的情况， 当时，，， 所以，，， 所以，， ，此时，最小； 当时，，， 所以，，， 此时，， 此时，最小； 综上可得的取值范围是． （3）解： ， 所以，代入整理得，，两边同时除以， 得， 令，，则， 即， 所以，即， 解得，所以（即m）的最大值为． 21．设数列的前项和为，且， （1）证明：数列是等比数列 （2）设，若数列是递增数列，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）根据递推公式，得到，与原式两式作差整理，得到，再验证也满足该式，即可证明结论成立； （2）先由（1）得到，根据其单调性，得到，讨论为奇数和为偶数两种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以，即，则， 即， 当时，，所以，因此满足上式； 故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则， 因此， 所以， 则 ， 因为数列是递增数列，所以， 即， 当为奇数时，，即， 易知单调递减，所以， 因此只需； 当为偶数时，，即 易知单调递增，所以 所以只需； 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛： 已知数列单调性求参数时，一般需要根据数列单调性，列出对应的不等式（若数列单调递增，则；若数列单调递减，则），再利用分离参数的方法，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市高一数学下学期末复习综合测试卷(4)（解析版） 一、填空题 1.已知角a的终边上有一点P(-3,4),则cos(要+x)= 2.已知集合S={xx=a+bi,a,bEZ},i是虚数单位，对任意x1X2∈S(x1X2可 以相等)均有蕊ES,则符合条件的元素个数最多的集合S= 3.在梯形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，AB=2,CD=AD=1,若点M在 线段BD上，则AM·CM的最小值为 4.已知公差不为0的等差数列an的首项a1=1,且a1a2a4成等比数列，则数列an的通 项公式为an= 5.在△ABC中，D是BC边上靠近B的一个三等分点，若AC与2DA+mDB平行，则实数 m= 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°，a=3,c=2,则 sinC= ，b= 7.设a,阝为锐角，且满足sin-a+sin2B=sin(a+B),则a+B= 8.己知数列{an}的前n项和为Sn,满足对任意的n∈N,均有Sn十an=一1，则a6= 9.己知复数z满足z=3,则z+4+z一4的取值范围是 10.已知函数fx)=2cosx+3sinx对于任意x∈R,都有fx)≥fxd成立，则sinx= 11.已知i为虚数单位，若复数z=密对应的点在复平面的虚轴上，则实数a= 12.如图，在等腰△ABC中，底边BC=1,D,E是腰AC上的两个动点，且 BD+B它=xBA+yB元，则当壹+号取得最小值时，B元.(BD+B它)的值为 试卷第1页，共3页 二、单选题 13.已知aE(0,π)，则sin(a+号)=青是sin=9的(） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 14.复数z=(2+31)(3+2i),下列说法正确的是() A.z的实部为12 B.z的虚部为131 C.z=12-131 D.|z=13 15.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E,F为BC的两个三等分点，AE交CD于点M ，设AB=京，AC=b,则F=() A.-3 B.+6 C.是-b D.是+6 16.已知数列{an}满足a1=4,an=-m-1+4·3-1+4(n≥2)，则() A.aa=-2+3+(-19Sn=2n-2+ 2 B.an=2+3+(-0Sn=2n-2+4 C.an=2+3-(-1sn=2n-2+1 2 D.an=2+3+(-1Sn=-2n+2+ 三、解答题 17.已知数列{an}首项为1，且an十2,2n,at1成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn 18.设xyeR,向量a=(x1),b=(1,y),=(2,-2),且e,b1. 试卷第1页，共3页 ()求|2a+36+: (2)求向量6+京与元+夹角的大小 l9.已知复数z=a十bi(a、b∈R)的三角形式是z=r(cos8+i·sin6),其中r是复数z 的模，6是复数z的辐角.当日E[0,2T)时，6称为辐角的主值，记为rgz.复数满足：若 z1=r1(cose1+i.sine),Z2=r2(cose2+i.sine2), a1z2=r1rcos(01+02)+isin(81+62)] (①)已知复数z满足：z2=1+V3i,求argz; (2)已知关于x的方程x2-（V6+V2)x+4=0的两个复数根分别是x1x2,判断函数， f(x)=过，(x∈Z)是否为周期函数，并说明理由： (3)已知对任意a,BE(0,π)，都有sin49≥a+设复数乙z2z3不全为实数， |21=|z2=|z3=1,1十z2+23-3z1223∈R,证明： max{arg2argz2arga3}≥号 20.已知正△4BC的边长为45，内切圆圆心为1，点P满足P1=1. ()求证：PA2+PB2+PC2为定值并求此定值； (2)把三个实数a,b,c的最小值记为min{a,b,c},若 m=min{PAPB,PB·PC,PA·PC},求m的取值范围： (3)若xPA+yPB+zPC=可，(x y,ZER*),求等的最大值， 21.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,2Sn=aH1+4n-3(a∈N+) (1)证明：数列{an-2}是等比数列 (2)设bm=3”+(-1)”tan,若数列{bn}是递增数列，求t的取值范围 试卷第1页，共3页