专题09 期末复习冲刺（培优篇）-2025-2026学年高一数学下学期期末高分冲刺（沪教版2020必修第二册）

**基本信息** 聚焦三角函数、向量、复数三大模块，以分层考点串联知识逻辑，精选名校期末真题实现从概念到综合应用的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|5考点（31题）|基础定义（象限角、扇形面积）、公式应用（恒等变换）、图像性质（平移、周期）、解三角形（实际应用）|从定义到公式推导，再到图像性质及解三角形应用，形成完整逻辑链| |向量|3考点（19题）|线性运算（几何表示）、数量积（投影、夹角）、坐标运算（坐标表示）|从几何运算到代数化表示，体现数形结合思想| |复数|3考点（23题）|四则运算、几何意义（模、复平面）、实系数方程|从运算到几何意义，再到方程应用，构建复数知识体系| |综合压轴|1考点（3题）|跨模块综合（三角与向量、复数与方程）|整合多模块知识，考查数学思维与问题解决能力|

2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题09 期末复习冲刺（培优篇） 考点01：正弦、余弦、正切、余切 1. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）是第____________象限角. 【答案】三 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，而终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故答案为：三. 2. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，扇形面积为. 故答案为：. 3. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知角的终边经过点，则的值是______. 【答案】## 【分析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案. 【详解】角的终边经过点， ，， . 故答案为：. 4. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知在第二象限，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解. 【详解】由在第二象限，得， 所以. 故答案为：. 5. （24-25黄浦区高一下期末）若，，则______． 【答案】##0.5 【分析】利用同角的正余弦的平方和为1，可求得，切化弦，进而利用诱导公式与二倍角的正余弦公式即中求解. 【详解】因为，，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 考点02：常用三角公式 6. （24-25金山中学高一下期末）已知，则的值为_____________. 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 7. （24-25静安区高一下期末）已知，，则___________. 【答案】 【分析】根据两角和与差的正弦函数公式，得到展开式，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 两式相减，可得，所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【解析】， 故答案为：-1 8．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【解析】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 10. （24-25黄浦区高一下期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 小问1详解】 解：由，可得， 则. 【小问2详解】 解：由（1）知， 则. 考点03：解三角形 11. （24-25黄浦区高一下期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正余弦定理可得的余弦值，进而求出的值. 【详解】因为，则由正弦定理可得，所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 又因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题． 12．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【解析】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 13. （24-25晋元高级中学高一下期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案. 【详解】 由，可得，所以， 所以. 在中，，故， 因为，所以，因为，所以， 故为直角三角形. 故选：B 15. （24-25晋元高级中学高一下期末）在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， ，，或； 【小问2详解】 解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 16. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角的大小， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与的周长得到关于的关系式，解之即可； （2）利用三角形面积公式得到，结合（1）中结论得到，从而利用余弦定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则由正弦定理得， 又周长为，则， 将代入上式，解得， 所以边长. 【小问2详解】 ，，则， 又（1）知， ， 因此所求角的大小是. 17. （24-25金山中学高一下期末）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 考点04：三角函数的图像 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【解析】函数的初始相位为. 故答案为：. 19. （2021·上海高三一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项. 【详解】函数 所以将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，即得到函数的图象. 20. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】 由题意，由于函数， 观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故选：A. 21. （24-25金山中学高一下期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】因为g（x）＝cos（2x）= sin（2x）= sin（2x），故其图象向右平移个单位，可得函数的图象， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题． 22．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    【答案】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【解析】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 23.（24-25上海交大附属中学高一下期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 考点05：三角函数的性质 24. （24-25金山中学高一下期末）函数最小正周期为______． 【答案】 【分析】已知的最小正周期为,根据图象变换的原则,即可得到的最小正周期 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期,所以所求最小正周期为． 故答案为 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期,考查图象变换 25. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期. 故答案为： 26. （24-25晋元高级中学高一下期末）函数的最小正周期是，则_______． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 27. （24-25控江中学高一下期末）函数，的严格减区间为________. 【答案】 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 28.（24-25控江中学高一下期末） 已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 29. （2025上海高三模拟）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 【答案】　 【解析】令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得sinxcosx＝(1－t2)， 所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求． 因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1， 当t＝－时，ymin＝－－， 当t＝1时，ymax＝1， 所以原函数的值域为 30. （24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. 【小问2详解】 由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 31. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】（1）,,Z; （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【小问1详解】 ∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. 【小问2详解】 ∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 考点06：三角函数与方程、零点、不等式问题 32．函数的定义域 【答案】 【详解】由题意有，解得， 所以， 故答案为：. 33．时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B 34．已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 35. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）若是方程的解，其中，则的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】得到，结合，从而列出方程，求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 故或，解得或. 故答案为： 36．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，故， 而方程在区间上有两个不相等的实数根， 且令，则在区间上有两个不相等的实数根， 故，，两个根为， 则与在区间上有两个不同的交点， 记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称， 则，解得，而， 得到，即，故C正确. 故选：C 37. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． 求函数的单调递增区间； 设，求不等式的解集． 【答案】解：由题意的最小正周期，所以， 因为的图象过点，所以， 又，所以， 所以函数， 令，， 解得，， 所以函数单调递增区间为 因为，所以， 所以，， 解得，， 因为，当时，，当时，， 所以原不等式的解集为或  38. （2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 考点07：向量的概念和线性运算 39. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 【答案】 【解析】 【分析】由，以为基底，表示，再由D，O，B三点共线求解. 【详解】设， 则， 因为D，O，B三点共线， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 40.（24-25南洋模范中学高一下期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 41.（24-25南洋模范中学高一下期末）在中，，，.若，，且，则值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合已知，用表示，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 【详解】∵，， ∴. ， ∵， ∴， 则，解得. 故答案为：. 考点08：向量的数量积 42. （24-25金山中学高一下期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 43. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 44.（24-25黄浦区高一下期末）已知，，，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 45. （24-25金山中学高一下期末）设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值. 【详解】设圆心为点，则，，，则， . 当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：C. 46. （24-25晋元高级中学高一下期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 47. （24-25浦东新区高一下期末检测）设向量，满足，，且．若向量 与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量与的夹角为钝角可以得到这两个向量的数量积为负，以及与不反向共线，可求出结果. 【详解】由题设可得：， 因为向量与夹角为钝角， 所以且与不反向共线， 可得：， 所以，解得， 若向量与反向共线时，存在实数，使得成立， 可得，解得：（正解舍）， 所以与不反向共线，， 综上所述， 故答案为：. 48. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】（1），． （2）的最大值为，． 【解析】 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【小问1详解】 平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． 【小问2详解】 根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 考点09：向量的坐标表示 49. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 50.（24-25复兴高级中学高一下期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的概念可求得结果. 【详解】因为向量，向量， 由题意可知，在上的数量投影为. 故答案为：. 51.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，满足，则______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】因为向量，满足， 所以，解得. 故答案为： 52.（24-25黄浦区高一下期末）已知向量，，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故答案为： 53.（24-25浦东新区高一下期末检测）已知向量、，且，则实数______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为与平行， 所以， 解得. 故答案为：. 54. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知向量，，，，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，向量与夹角为，直线与轴正半轴夹角为，易得，结合，，可得，进而结合向量投影的定义求解即可. 【详解】如图，设，则，， 由题意，设向量与夹角为，直线与轴正半轴夹角为， 则，则， 因为，，则，即， 又，则. 故答案为：. 55.（24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）或3 （2）1或 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可. （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 若，则． 整理得，解得或． 故的值为或． 小问2详解】 若，则有，即，解得或． 当时，，，∴，∴． 当时，，，∴，∴． 综上，的值为1或． 56.（24-25复兴高级中学高一下期末） 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 57. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因为，，又，所以， 所以，解得. 考点10：复数及其四则运算 58.（24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的概念可直接求出. 【详解】，， 故答案为：. 59.（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】， 所以. 60．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解. 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 61．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【详解】由复数为纯虚数， 则，解得. 62. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 63．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 64. （24-25华师大二附中高一下期中）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【小问1详解】 为纯虚数，，解得， 故，则． 【小问2详解】 ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 考点11：复数的几何意义 65.（24-25金山中学高一下期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 66. （24-25南洋模范中学高一下期末）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限. 【详解】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 67. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，复数在以为圆心，半径的圆上，又由表示负数在复平面内对应的点到点的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义得，满足的复数在以为圆心，半径的圆上， 又由表示负数在复平面内对应的点到点的距离， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 68. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如果复数满足，那么的最大值是______. 【答案】6 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【详解】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为： 69. （24-25金山中学高一下期末）已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； （2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 由复数纯虚数，得，解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 70. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数模的定义求解； （2）利用复数相等的条件求解即可. 【小问1详解】 由已知得，则； 【小问2详解】 将代入方程得， 即， 则，解得,. 71. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程实根分布列式求解. （2）求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解. 【小问1详解】 依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 71. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【解析】 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【详解】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以. 72. （24-25上海交大附属中学高一下期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 考点12：实系数一元二次方程 73．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 74.（24-25南洋模范中学高一下期末） 已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． （1）求实数的值; （2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得. 【小问1详解】 依题意，点在第四象限，即，由，得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由复数是关于方程的根， 得，整理得，而， 因此，解得， 所以. 75. （24-25晋元高级中学高一下期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. （1）求和的值； （2）若，，为纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【小问1详解】 由复数是实系数一元二次方程一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 由为纯虚数，得，解得 76．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值． （2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值． 【详解】解： （1）∵为方程的根，所以， 整理得到：，由可得. （2）由方程可得， 若即或，则， 则，即，解得， 若即，则，即，解得， 综上所述，实数的值为或． 考点13：综合压轴题 77. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）直接计算向量坐标，进行线性运算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算，将点积表达式转化为单一三角函数形式，利用正弦函数的有界性求范围。 （3）求出直线AP的方程，设出点的坐标，利用两点间距离公式，将问题转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， 则 【小问3详解】 因为，所以直线AP斜率为， 直线AP的方程为， 设，则， 即点C坐标为 当，即时，最小值为： 78. （24-25南洋模范中学高一下期末）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． 【小问2详解】 解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，， 所以， 又因为， 因为，可得，所以. 79.对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学春学期期末高分冲刺【培优课程】 专题09 期末复习冲刺（培优篇） 考点01：正弦、余弦、正切、余切 1. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）是第____________象限角. 2. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 3. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知角的终边经过点，则的值是______. 4. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知在第二象限，则的值为__________. 5. （24-25黄浦区高一下期末）若，，则______． 考点02：常用三角公式 6. （24-25金山中学高一下期末）已知，则的值为_____________. 7. （24-25静安区高一下期末）已知，，则___________. 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 8．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 10. （24-25黄浦区高一下期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 考点03：解三角形 11. （24-25黄浦区高一下期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 12．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 13. （24-25晋元高级中学高一下期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 15. （24-25晋元高级中学高一下期末）在中，角，，的对边分别为，，． （1）若，求的大小； （2）若，，，求的面积． 16. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知的周长为，且， （1）求边长的值； （2）若，求角的大小， 17. （24-25金山中学高一下期末）如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 考点04：三角函数的图像 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 19. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 20. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 21. （24-25金山中学高一下期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 22．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    23.（24-25上海交大附属中学高一下期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 考点05：三角函数的性质 24. （24-25金山中学高一下期末）函数最小正周期为______． 25. 函数的最小正周期为________. 26. （24-25晋元高级中学高一下期末）函数的最小正周期是，则_______． 27. （24-25控江中学高一下期末）函数，的严格减区间为________. 28.（24-25控江中学高一下期末） 已知常数，函数为偶函数，则______. 29. （2025上海高三模拟）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________． 30. （24-25华师大二附中高一下期中）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 31. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知函数，其中. （1）若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； （2）若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 考点06：三角函数与方程、零点、不等式问题 32．函数的定义域 33．时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 35. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）若是方程的解，其中，则的取值集合是__________. 36．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 37. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点． 求函数的单调递增区间； 设，求不等式的解集． 38. （2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 考点07：向量的概念和线性运算 39. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，，若＝2，则＝________(用和表示). 40.（24-25南洋模范中学高一下期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 41.（24-25南洋模范中学高一下期末）在中，，，.若，，且，则值为______. 考点08：向量的数量积 42. （24-25金山中学高一下期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 43. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 44.（24-25黄浦区高一下期末）已知，，，则与的夹角为______． 45. （24-25金山中学高一下期末）设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 46. （24-25晋元高级中学高一下期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为___________． 47. （24-25浦东新区高一下期末检测）设向量，满足，，且．若向量 与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 48. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 考点09：向量的坐标表示 49. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 50.（24-25复兴高级中学高一下期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 51.（24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，满足，则______. 52.（24-25黄浦区高一下期末）已知向量，，若，则等于______． 53.（24-25浦东新区高一下期末检测）已知向量、，且，则实数______． 54. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知向量，，，，则的取值范围是_________. 55.（24-25南洋模范中学高一下期末）已知平面向量，，． （1）若，求x的值； （2）若，求的值． 56.（24-25复兴高级中学高一下期末） 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 57. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知向量，； （1）求，夹角； （2）若，求实数的值. 考点10：复数及其四则运算 58.（24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 59.（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 60．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 61．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 62. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 63．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 64. （24-25华师大二附中高一下期中）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 考点11：复数的几何意义 65.（24-25金山中学高一下期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 66. （24-25南洋模范中学高一下期末）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 67. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数满足，则的最小值为________． 68. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如果复数满足，那么的最大值是______. 69. （24-25金山中学高一下期末）已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第一象限，求的取值范围． 70. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数，为虚数单位． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 71. （24-25上海交大附属中学高一下期末）已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 71. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 72. （24-25上海交大附属中学高一下期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 考点12：实系数一元二次方程 73．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 74.（24-25南洋模范中学高一下期末） 已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． （1）求实数的值; （2）若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 75. （24-25晋元高级中学高一下期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. （1）求和的值； （2）若，，为纯虚数，求的值. 76．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 考点13：综合压轴题 77. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 78. （24-25南洋模范中学高一下期末）在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 79.对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $