6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示教学设计-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦平面向量数乘运算的坐标表示，通过复习向量加减法坐标表示及向量坐标定义导入，衔接旧知，构建从几何直观到代数化的学习支架，帮助学生理解数乘坐标表示的推导。 以问题驱动与数形结合为特色，通过问题链引导学生自主探究共线坐标条件、三点共线判断及定比分点公式，培养逻辑推理与数学运算素养。如小组讨论推导共线充要条件，用坐标法解决三点共线问题，提升学生直观想象与数学建模能力，为教师提供分层任务设计，助力高效教学。

《6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示》教学设计 一、课题：6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 二、教学指导思想 本节课的教学设计以《普通高中数学课程标准》为纲，秉承“ 以学生发展为本 ”的核心理念，致力于实现数学知识、关键能力与核心素养的协同发展。教学设计以“数形结合 ”为核心统领，着力构建一个“从几何直观出发，经历代数化过程，再回归几何解释 ”的完整认知路径。整个教学过程强调以学生为主体，通过创设真实的认知冲突，引导学生在自主探究与合作交流中，学生亲历向量数乘的坐标表示，向量共线的充要条件，三点共线的坐标表示，线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式的推导等过程，深刻体会坐标法作为强大数学工具在沟通几何与代数中的桥梁作用。同时，注重将知识学习置于解决数学内部与现实问题的情境之中，提升学生从数学角度发现、提出、分析并解决问题的能力，通过数学的严谨性与应用性，启迪智慧，培养理性思维，实现学科育人价值的有效落实。。 三、教学内容分析 “6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 ”是人教A版必修第二册第六章第3节的第4课时，前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。 本节课内容是平面向量坐标运算体系的重要组成部分,在向量知识架构中占据关键位置。它承接了平面向量加、减运算的坐标表示, 进一步完善了向量坐标运算的内容, 同时也为后续学习向量的数量积坐标运算、向量在解析几何中的应用等奠定了坚实基础。通过将向量数乘运算转化为坐标运算, 实现了向量运算的代数化, 使向量问题的解决更加简洁、高效, 体现了数学知识之间的紧密联系和相互转化。 通过学习掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。通过线段的中点坐标公式及推导 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 定比分点坐标公式学习，学会把向量作为工具，用代数的方法解决一些几何问题，为未来的数学学习和应用奠定坚实的基础。 四、学情分析 学生在学习本节课之前, 已经掌握了平面向量的基本概念、线性运算 (加、减、数乘) 以及平面向量加、减运算的坐标表示,具备了一定的向量运算和逻辑推理能力。然而, 向量数乘运算的坐标表示以及两向量共线的坐标表示, 对学生的知识迁移和综合运用能力提出了更高要求。学生可能在理解数乘运算坐标表示的推导过程、运用共线坐标表示解决问题时遇到困难, 尤其是在处理复杂的向量关系和多条件问题时, 容易出现混淆和错误。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑, 教师可引导学生通过类比、探究等方法, 逐步突破学习难点。向量的坐标表示实际是向量的代数表示，在引入了向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来 , 这就可以使本节的几何问题如向量共线，线段定比分点的解答容易转化为学生熟悉的数量运算 , 为下一节平面向量的数量积的坐标表示打下基础。通过本节课的学习他们能够在自主探索和合作交流的过程中将对这部分知识的感性认识升华到理性认识, 充分锻炼思维能力。 五、教学目标 1.通过从向量数乘的定义出发, 抽象出向量数乘运算的坐标表示形式, 理解其本质, 提升从具体运算到抽象数学表达的能力。 2.经历问题情境的解决过程，发现向量共线的坐标表示的充要条件，会根据向量的坐标判断向量是否共线以及判断三点是否共线的求解方法，并能归纳出向量数乘运算的坐标表示应用的一般性结论，从而提高逻辑推理核心素养以及等价转化的能力。 3.通过对平面上线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式的推导，学生能感受到把向量作为工具，用代数的方法解决一些几何问题的优越性，增强学习向量工具价值的认同感，形成主动运用坐标法探索和解决问题的科学态度。 六、教学重点、难点 1.教学重点：理解平面向量数乘运算坐标表示的推导过程,掌握平面向量数量积的坐标公式及其应用。 2.教学难点：灵活运用两向量共线的坐标表示解决问题, 以及对线段分点坐标公式的理解和应用。 七、评价设计 1.通过精心设计问题引导学生回答，进而评价学生对平面向量数乘的学习和理解情况。 2.通过课堂习题的设置，评价学生对平面向量数乘的学习理解情况． 第 2 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 3.通过课堂动手作图环节，让学生亲自体验数形结合的特点，提升对坐标法的应用体验。 4.通过课堂小结以提问的方式引导学生归纳本课所学，整合思维导图，评价学生对平面向量数乘的理解。 5.通过有针对性的布置课后作业，检验学生的学习成果。 八、教学过程活动设计 环节 名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 创设情境 导入新课 问题1：已知a (→) = (x1, y1), b (→) = (x2, y2) ，则a (→) + ( → → )b ，a (→) — b 的坐标是什么？已知A,B两点的坐标，如何求 ( -- - → )AB的坐标？ 群问群答 回答问题a (→) + b (→) = (x1 + x2, y1 + y2)， ( → a — b = (x 1 — x 2 , y 1 — y 2 ) )→ ---→ ---→ ---→ AB = OB — OA = (x2, y2 — x1, y1) = (x2 — x1, y2 — y1) 复习旧知，习旧学新． 2 以问导学 探究新知 问题2：除了向量的加减法运算外，我们还学习了向量的数乘运算，如何用坐标表示向量的数乘运算呢？已知 a (→) = (x, y) ，你能得到λa (→)的 坐标吗？ 群问群答 λa (-→)中的λ相当于是倍数，倍数在坐标中相当于是横坐标和纵坐标的倍数. 因为a (→) = (x, y) ，所以 λa (→) = λ(xi (→) + y j (→)) = λxi (→) + λyj (→) 即 λa (→) = ( λx, λy)。 让学生回顾 向量坐标的 定义，理解 向量数乘的 运算律，提 高学生概括 、类比推理 的能力。 2 学以致用 巩固新知 例1.已知a- = (2, 1), = (-3, 4) , 求3a- + 4 的坐标. 【练习】已知向量a- = (2, 8) ， b- = (-4, 2) .若 c (-) = 2a- - ，求向 量 c (-)的坐标. 学生自主完成，教师个别提问进行成果展示。 3a- + 4 = 3(2, 1) + 4(-3, 4) = (6, 3) + (-12, 16) = (-6, 19) 【练习】 c (-) = 2a- - = 2 (2, 8)- (-4, 2) = (8, 14) 通过例题让 学生进一步 识记向量加 、减法、数 乘的坐标运 算，提高学 4 第 3 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 生的解决问 题、分析问 题的能力。 以问导学 探究新知 问题3：设a (→) = (x1, y1), b (→) = ( → )(x2, y2) ，若向量a (→), b 共线 ( → → 其中b ≠ 0 ），则这两个向量的坐标应满足什么关系？ 学生分组进行讨论，然后选一名代表上黑板进行成果展示。 向量a (→), b (→)共线的充要条件是存 在实数λ , 使a (→) = λb (→) ，用坐 标表示为(x1, y1) = λ(x2, y2) ( x 1 = λ x 2 y 1 = λ y 2 )即 ，整理得x1y2 − x2y1 = 0 ，这就是说，向量 a (→), b (→)(b (→) ≠ 0 (→))共线的充要条件 是x1y2 − x2y1 = 0。 通过探究， 掌握共线向 量的坐标之 间的关系， 提高学生分 析问题、概 括能力。 3 学以致用 巩固新知 例2.已知a- = (4, 2) ， = (6, y) ，且a- // ，求y ． 【练习】已知向量 a- = (3, 2), = (-1, 2), c- = (4, 1) ．若(a- + kc-) ∥ (2b- - a-) ，求实数k的值． 学生自主完成，教师个别提问进行成果展示。 例2解：因为a- // ，所以 4y - 2× 6 = 0 ．解得y = 3 ． 【练习】解：因为 a- = (3, 2), = (-1, 2), c- = (4, 1) ， 则a- + kc- = (3, 2) + (4k, k ) ， = (4k + 3, k + 2) 2b- - a- = (-2, 4 )- (3, 2 )= (-5, 2 ) ，因为(a- + kc-) ∥ (2b- - a-) ， 故可得2 (4k + 3) = -5(k+ 2) ，解得k = - . 通过例题检 验学生是否 正确掌握向 量共线 的 坐标表示， 获得解决问 题的能力。 4 问题4： 已知A(-1, -1) ， 小组讨论，代表回答。 通过作图直 5 第 4 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 以问导学 探究新知 B(1, 3) ，C(2, 5) ，判断A ， B ，C 三点之间的位置关系 . 先让学生通过作图直观感受三点共线，再引导学生如何证明三点共线，提醒学生要从共起点的向量入手，从而总结出三点共线问题等价于对应向量共线。同时需要说明只要所选两个向量有公共点即可。 解：在平面直角坐标系中作出A ，B ，C 三点(如图)． 观察图形，我们猜想A ，B ， C 三点共线，下面来证明． 因为 ---→ AB = (1- (-1), 3 - (-1)) = (2, 4) , ---→ AC = (2 - (-1), 5 - (-1)) = (3, 6) , 又2× 6 - 4× 3 = 0 ，所以 ---→ ---→ AB // AC ． 直线AB ，直线AC 有公共点A , 所A ，B ，C 三点共线． 观感受三点 共线，再引 导学生如何 证明三点共 线，检验学 生是否能灵 活运用向量 共线的坐标 表示，获得 解决具体问 题的能力。 问题5：设P 是线段P1P2 上的一点，点P1 ，P2 的坐标分别是(x1, y1 ) ，(x2, y2 ) ． （1）当P 是线段P1P2 的中点时，求点P 的坐标； （2）当P 是线段P1P2 的一个三等分点时，求点P 的坐标 . 小组讨论，代表回答。 （1）如图，由向量的线性运算 可知 ---→ 1 ---→ ---→ OP = (OP1 + OP2 ) 2 所以，点P 的坐标是 通过问题进 一步探究向 量数乘向量 的坐标运算 , 提高学生 的观察、概 括能力。本 题求解P点 坐标方法不 唯一，运用 8 第 5 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 以问导学 探究新知 学生阅读思考题目（1）后，教师简述思路1，思路2 思路一：把P点坐标等价于向 ( ---→ ----→ ---- → )量OP坐标，再把OP1 ，OP2 作为基地，线性表示出O (-)-P (-→) ，即 ---→ 1 ----→ ----→ OP = 2 (OP1 + OP2) = ( , ) ，也就是基底表示法。 思路二：待定系数法先把 P(x, y)设出来，然后把已知中点条件以向量的形式呈现出 来，即-1 (-)-P (-→) = -P (-)-2 (-→) ，再将已 知等量关系式用坐标表示出来，得到(x − x1, y − y1) = (x2 − x1, y2 − y1) 从而得到 进而求出P点坐标。 若点P1 ，P2 的坐标分别是 (x1, y1 ) ，(x2, y2 ) ，线段P1P2 的中点P 的坐标为(x, y) ，则 ly 2 ， 此公式为线段P1P2 的中点坐标公式． （2）如图6.3-17，当点P 是线段P1P2 的一个三等分点时，有两种情况，即 P 或 ---→ ---→ P1P = 2PP2 ． ---→ 1 -- 如果P1P = 2 PP2 (如图(1))，那么 ---→ ---→ ---→ ---→ 1 --- OP = OP1 + P1P = OP1 + 3 P1P2 ---→ 1 ---→ ---→ = OP1 + (OP2 - OP1 ) 3 2 ---→ 1 = 3 OP1 + 3 OP2 即点P 的坐标是 ( |( 3 , 3 , ． )( 2x1 + x2 2y1 + y2 ) 分类讨论的思想 第 6 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 ( ---→ --- → )同理P1P = 2PP2 ，如(图(2))，那么点P 的坐标是 以问导学 探究新知 问题6：线段P1P2 的端点P1 ， P2 的坐标分别是(x1, y1 ) ， (x2, y2 ) ．点P 是直线P1P2 上 ( ---→ -- )的一点，当P1P = λPP2 时， 点P 的坐标是什么? 小组讨论，代表回答。 线段定比分点坐标公式 该问题是前 面问题的一 个拓展，把 特殊问题一 般化，我们 可以借助于 前面的解题 思路求解一 般情况下P 点的坐标， 从而让学生 发现向量是 一个非常好 的解题工具 , 能够有效 解决平面几 4 第 7 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 何中线段和 直线问题。 学以致用 巩固新知 例3.（1）已知A (3, -6) ， B (-5, 2) ，C (6, y)三点共线，求y 的值； （2）在（1）的条件下求线段AC 的两个三等分点的坐标 . 小组讨论，代表回答。 【详解】（1）因为A (3, -6) ， B (-5, 2) ，C (6, y)三点共线，所 ( ---→ --- → )以可得AB = λBC ，又 A (-)-B-→ = (-8, 8) ，B--C-→ = (11, y - 2) ，所 以 所以y 的值为-9 . （2）由（1）得， A (-)- = (3, -3) , 设线段AC 的两个三等分点为M , N ，则 所以M (4, -7), N (5, -8) ，所以线段AC 的两个三等分点的坐标为(4, -7), (5, -8) . 通过例题检 验学生是否 正确掌握向 量共线的坐 标表示，定 比分点的解 决方法，获 得解决问题 的能力。 4 课堂 小结 内化 新知 课堂小结：这节课你学到了什么 ? 1. 向量数乘运算的坐标表示； 2.共线向量的坐标表示； 3.中点坐标公式; 4.线段定比分点坐标公式。 让学生构建知识网络。 4 第 8 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 九、板书设计 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.向量数乘的坐标表示 2.向量共线充要条件的坐标表示 3.中点坐标公式 ; 4.线段定比分点的坐标表示 例1 例2 例3 十、作业设计 基础巩固 课本33页练习1.2.3.4.5 素养提升 1.已知a– = (1, 0), = (2, 1) (1)当k为何值时，ka– -b– 与a– + 2b– 共线？ (2)若A (-)-B-– = 2a– + 3, B--C-– = a– + m ，且A，B，C三点共线，求m 的值． 十一、教学反思和改进 本节课的成功之处首先体现在以“ 问题驱动 ”贯穿始终。从问题情境出发，在进行向量数乘的坐标表示。教学之前首先复习向量加减及向量的坐标表示，从学生角度来理解向量的坐标表示充分利用学生已有的认知基础引出向量数乘实例需求，以有助于学生理解向量数乘的坐标表示， 引导学生运用数学语言刻画数乘的坐标表示。通过从两个向量共线的坐标表示、三点共线的判定、定比分点公式的探究等，深刻理解数乘的坐标表示应用。在具体的分析过程中使学生经历向量数乘的坐标表示，在探究和应用过程体会数形结合、分类讨论等数学思想方法进一步培养学生归纳、类比能力。在教学中突出向量数乘的坐标表示及其应用这个重点并通过小组合作探究的模式突破向量共线以及定比分点的难点。在公式推导环节，教师没有直接给出结论，而是引导学生探究， 自主完成关键推导步骤。这种设计让学生亲身经历了知识的“再创造 ”过程，不仅深刻理解了公式的由来，更提升了逻辑推理能力，实现了从“被动接受 ”到“主动建构 ”的转变。 其次，本节课准确把握了“数形结合 ”这一核心思想。在教学过程中，我始终强调坐标公 第 9 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 式的几何本源，教学中可通过“先画图分析向量关系，再用坐标运算验证 ”的流程，让学生直观看到“几何图形 ”与“代数结果 ”的对应，深化对“数 ”与“形 ”相互转化的理解。通过“几何问题—坐标化—代数运算—几何解释 ”的闭环训练，学生切实体会到了坐标法作为强大工具的价值，有效发展了学生的直观想象和数学建模素养，完成了思维层次上的重要飞跃。 最后，分层递进的任务设计保障了不同层次学生的获得感。从向量数乘的直接应用，到两个向量共线的充要条件、三点共线的判断，再到综合性的定比分点的证明，练习题设计由浅入深，让每位学生都能找到成功的支点。课堂气氛活跃，学生参与度高，在交流和板演中展现了良好的数学表达能力。总的来说本节课还是比较成功的在师生互动和学生活动上做的比较好体现出了新课程的本质。但成功的同时也有不足之处在新教材的高效使用和资源借鉴方面还有些不足，我会继续加强这方面的学习，多向优秀教师学习，争取更大进步。 第 10 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $