6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量及其应用”中的6.3.4节“平面向量数乘运算的坐标表示”。内容包括：平面向量数乘运算的坐标表示法则；平面向量共线的坐标表示充要条件；线段中点坐标公式与定比分点坐标公式的推导及应用；利用向量坐标运算解决向量共线、三点共线等几何问题。 内容解析 本节是平面向量坐标运算体系的重要延伸，是在学生掌握平面向量基本定理、向量加减法坐标表示的基础上展开的。其核心价值在于搭建“数”与“形”的桥梁，将向量的数乘运算从几何形式转化为代数运算，使平面向量的应用范围进一步扩大。 从知识关联来看，向量数乘运算的坐标表示是后续推导共线条件、中点公式、定比分点公式的基础，同时为立体几何中空间向量的代数化处理埋下伏笔，是连接平面几何与立体几何、代数与几何的关键纽带。 从学习意义来看，通过本节学习，学生将掌握用代数方法解决几何问题的核心思路，即“几何问题→向量问题→坐标运算→代数结果→几何结论”，这一过程能有效提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，为后续复杂数学问题的解决提供方法论支撑。 教学目标 1. 掌握平面向量数乘运算的坐标表示法则，能熟练进行向量数乘的坐标计算，提升数学运算素养。 1. 理解并掌握平面向量共线的坐标表示充要条件，能运用该条件判断向量共线、三点共线，培养逻辑推理素养。 1. 掌握线段中点坐标公式，能推导定比分点坐标公式，并能运用公式解决相关几何问题，强化数学应用能力。 1. 体会向量作为工具解决几何问题的优势，感受“数形结合” “转化与化归”的数学思想，提升数学抽象素养。 目标解析 1. 能准确表述向量数乘运算的坐标表示法则，即若，，则，并能熟练完成已知向量坐标和实数的数乘运算。 1. 能清晰阐述向量共线的坐标充要条件，即设，（），则，并能运用该条件解决向量共线求参数、三点共线判断等问题。 1. 能独立推导中点坐标公式，理解定比分点坐标公式（）的推导逻辑，并能根据实际问题选择合适公式进行计算。 1. 能将简单几何问题转化为向量坐标运算问题，通过代数计算得出几何结论，体会向量在解决几何问题中的简洁性和有效性。 达成上述目标的标志是： 1. 能准确完成向量数乘的坐标运算习题，正确率不低于90%。 1. 能熟练运用向量共线的坐标条件解决求参数、判断三点共线等问题，步骤规范。 1. 能灵活运用中点公式和定比分点公式解决线段分点问题，能清晰说明公式的适用场景。 1. 能独立完成“几何问题→向量坐标转化→运算求解→结论回归”的完整解题流程。 本节内容的学习对象是高一学生，他们已经具备了以下基础： 1. 知识基础：掌握平面向量的概念、加减法运算及坐标表示，理解平面向量基本定理和向量共线的几何定义，具备初步的代数运算和几何推理能力。 1. 能力基础：能够进行简单的归纳类比推理，具备自主探索和合作交流的初步能力，但在将几何问题转化为代数问题、复杂公式推导的逻辑梳理等方面仍存在不足。 1. 认知特点：高一学生对具象化的知识理解较快，对抽象的数学思想和方法的领悟需要借助具体实例和反复练习，喜欢通过问题探究的方式获取知识。 基于以上分析，确定本节课的： · 教学重点：1. 平面向量数乘运算的坐标表示法则；2. 平面向量共线的坐标充要条件；3. 中点坐标公式的应用。 · 教学难点：1. 平面向量共线坐标表示充要条件的理解；2. 定比分点坐标公式的推导；3. 运用向量坐标运算解决几何问题的思路转化。 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 文字 符号 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 知识点二　平面向量共线的坐标表示 前提条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 知识点三　线段中点、三等分点的坐标公式 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标是；若点P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则点P的坐标是；若点P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则点P的坐标是． [提示]　(1)如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝λ，即＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，点P叫做有向线段的以λ为定比的定比分点．其中P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 即 当λ≠－1时， 则点P的坐标为. (2)两个向量共线条件的表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ①当b≠0时，a＝λb； ②x1y2－x2y1＝0； ③当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例． 导入新知1： 共享单车骑行路线规划 周末，小明打算骑共享单车从家出发前往两个景点游玩。以小明家为坐标原点建立平面直角坐标系，家的坐标为。第一站到公园，骑行的位移向量为（单位：千米）；第二站从公园到图书馆，骑行的位移向量是的2倍，即。 请同学们思考以下问题： 1. 小明从公园到图书馆的位移向量的坐标是什么？ 2. 若骑行过程中，小明想调整路线，沿与共线的方向前往距离家10千米的书店，该书店的坐标可能是多少？ 3. 小明骑到中途某点时，发现该点是家到图书馆连线的中点，这个中点的坐标又该如何计算？ 设计意图 1. 贴近生活实际：共享单车是学生日常出行中常见的交通工具，以骑行路线规划为情境，能让学生快速代入，感受到数学与生活的紧密联系，降低对抽象向量知识的陌生感。 2. 统领整节课内容：情境中包含了向量数乘运算的坐标表示（求的坐标）、向量共线的坐标条件（求书店坐标）、中点坐标公式（求家到图书馆连线的中点坐标）三个核心知识点，完美贯穿整节课的教学内容，让学生在情境中初步感知本节课的学习重点。 3. 激发求知欲：通过一连串层层递进的问题，引发学生的思考，让学生在解决实际问题的需求中，产生对向量数乘运算坐标表示相关知识的探索欲望，主动参与到后续的新知探究中。 导入新知2： 快递分拣中心包裹转运 某快递分拣中心采用智能分拣系统，包裹在分拣带上的移动可通过平面直角坐标系描述。已知包裹从分拣起点到分拣节点的位移向量为（单位：米），从分拣节点到分拣终点的位移向量是的倍，即。 请同学们共同探讨： 1. 包裹从节点到终点的位移向量的坐标是多少？ 2. 若另一个包裹从起点出发，沿与共线的方向直接运往终点，其位移向量与满足什么关系？如何用坐标表示这种关系？ 3. 分拣中心想在、之间设置一个临时停靠点，使得，该停靠点的坐标该如何确定？ 设计意图 · 贴近生活实际：快递分拣是现代物流中的常见场景，学生对包裹转运的过程有直观认知，以该情境为切入点，能让抽象的向量知识变得具象化，增强学生的学习兴趣。 · 统领整节课内容：情境中涵盖了向量数乘运算的坐标表示（求的坐标）、向量共线的坐标充要条件（分析两个包裹位移向量的关系）、定比分点坐标公式（求停靠点的坐标）等核心内容，全面覆盖本节课的知识点，为后续教学做好铺垫。 · 激发求知欲：通过设置包裹转运过程中的实际问题，让学生感受到掌握向量数乘运算坐标表示相关知识的实用性，引发学生的探究兴趣，促使学生主动思考如何运用数学知识解决实际问题，提升学生的数学应用意识。 探究点1：平面向量数乘运算的坐标表示 1.复习回顾，温故知新 问题1：上节课我们学习了平面向量加减法的坐标表示已知，则 的坐标是什么？已知A,B两点的坐标，如何求的坐标？ 【答案】 【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立新旧知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 2．探索新知 问题2：除了向量的加减法运算外，我们还学习了向量的数乘运算，如何用坐标表示向量的数乘运算呢？已知 ，你能得到的坐标吗？ 中的相当于是倍数，倍数在坐标中相当于是横坐标和纵坐标的倍数. 【答案】因为，所以即。 结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标. 【设计意图】：让学生回顾向量坐标的定义，并巩固向量数乘的运算律。 探究点2：平面向量共线的坐标表示 问题3.已知，你能得出的坐标吗？？ 提示　λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy)． 思考 ， 即 ． 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 例6 已知，，求的坐标． 解： 【变式】已知向量，.若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解可得结果. 【详解】因为， 故选：B 探究点3：三点共线的坐标判断 探究：如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 问题4.已知a，b两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设，，其中．我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使 ． 如果用坐标表示，可写为 ， 即 消去，得 ． 这就是说，向量，共线的充要条件是 ． 例7 已知， ，且，求． 解：因为，所以．解得． 【变式】已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由共线向量基本定理求解. 【详解】由题意，由，得， 解得，选项A正确. 故选：A 例8 已知， ， ，判断，，三点之间的位置关系． 解：在平面直角坐标系中作出，，三点(图6.3-15)． 观察图形，我们猜想，，三点共线，下面来证明． 因为，， 又，所以． 直线，直线有公共点，所，，三点共线． 【变式】若三点共线,则y的值为(    ) A． B．3 C． D．9 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】转化为向量共线问题求解 【详解】由题知与共线， 因为， 所以，解得. 故选：A 探究点4：中点坐标公式与定比分点坐标公式 例9 设是线段上的一点，点，的坐标分别是，． （1）当是线段的中点时，求点的坐标； （2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标． 解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知， 所以，点的坐标是． 若点，的坐标分别是，，线段的中点的坐标为，则 ， 此公式为线段的中点坐标公式． （2）如图6.3-17，当点是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或． 如果(图6.3-17(1))，那么 ． 即点的坐标是． 同理，如果(图6.3-17(2))，那么点的坐标是． 【变式】（1）已知，，三点共线，求的值； （2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标. 【答案】（1）；（2） 【知识点】向量数乘的有关计算、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标. 【详解】（1）因为，，三点共线，所以可得，又，，所以，所以的值为. （2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为. 探究 直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比．当λ＝1时，点P位于何位置？你能求出点P的坐标吗？ 提示　当λ＝1时，点P为P1P2的中点，点P的坐标为. 如图6.3-18，线段的端点，的坐标分别是，．点是直线上的一点，当时，点的坐标是什么? 1．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为. 2．若＝λ(λ≠0)，则点P坐标为. 　 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时， 点P的坐标为(λ≠－1)． 注意点： (1)λ的值可正、可负． (2)若λ＝－1，则点P1，P2重合，无意义． (1)0＜λ＜1时，P在线段P1P2上； (2)λ＝1时，P与P2重合； (3)λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上； (4)λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．　 1.（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 2.（多选题）（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 3.（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量的坐标运算及向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】依题意 又，所以， 解得 故选：A 4.（25-26高三上·山西·月考）已知向量，若与同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再判断方向即可． 【详解】与同向共线, . 当时，，与同向共线，符合； 当时，，与反向共线，不符合. ． 故选：A． 5.（25-26高三上·河北邢台·月考）已知向量与，若，则（　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示公式，列式求解. 【详解】，因为，则，解得． 故选：D． 6.（25-26高一上·辽宁·期末）已知平面向量，，设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得， 所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 7.（24-25高一下·天津蓟州·月考）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 8.（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 9.(多选题）（2024高一下·河北张家口·期中）若，且是线段的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】由题意可得或，利用坐标表示，即得解 【详解】由题意，或， 由于，设，则 则当时，，即； 时，，即； 故选：BC 10.（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 1.（2025·云南·模拟预测）已知向量，若，则（　　） A． B． C．-6 D．6 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，解得． 故选：A 2.（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、由坐标判断向量是否共线、已知向量共线（平行）求参数 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 4.（2024高三·北京·专题练习）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】判断两个向量不共线即可作为基底. 【详解】解：对于A项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于B项：因为，所以不共线， 则，可以作为一组基底； 对于C项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于D项：因为， 所以，即，不能作为基底； 故选：B 1. 知识清单： （1）平面向量数乘运算的坐标表示：（，）； （2）平面向量共线的坐标充要条件：，（），则； （3）中点坐标公式：； （4）定比分点坐标公式：（）。 1. 方法归纳： （1）向量坐标运算的核心：将几何运算转化为代数运算，遵循“坐标化→运算→结论”的思路； （2）判断三点共线的步骤：构造共点向量→求坐标→验证共线条件→得出结论； （3）数学思想：数形结合思想、转化与化归思想。 1. 常见误区： （1）混淆向量共线的坐标条件，记错公式； （2）运用定比分点公式时，忽略的符号含义； （3）解决几何问题时，忘记将代数结果回归几何意义。 【设计意图】通过系统梳理知识清单、方法归纳和常见误区，帮助学生构建完整的知识体系，深化对数学思想方法的理解，提高归纳总结能力。 教材第 33 页练习第 1,2,3,5 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第33页） 1．已知， ，求，的坐标． 1．解析： ． ． 2．当为何值时，与共线? 2．解析：由已知得，． 3．若点，，，，则与是否共线? 3．解析： ，， ．与共线． 4．求线段的中点坐标： （1），； （2），； （3）， 4．解析： （1） （2） （3） 5．已知点，向量，，点是线段的三等分点，求点的坐标． 5．解析：如图，点是线段的三等分点，有两种情况，即或． 当时， 即点的坐标为． 当时，． 即点的坐标为． 综上，点是线段的三等分点时，坐标为或． 1. 本节课的核心是“坐标化”，教学中应始终围绕“几何意义→代数表示→运算应用”的主线展开，让学生明确向量数乘运算坐标表示的本质是将几何变换转化为代数运算。 1. 对于共线坐标条件的推导，应充分引导学生自主探究，通过向量相等的坐标定义建立方程，消去参数，让学生理解公式的来龙去脉，避免死记硬背。 1. 定比分点公式的推导难度较大，可先从特殊情况（如，即中点）入手，再推广到一般情况，降低学生的认知难度。 1. 教学中应多结合生活实例和几何图形，让抽象的知识具象化，帮助学生理解向量坐标运算的几何意义，提升应用能力。 1. 注重学生的自主练习和反馈，及时发现学生在公式应用、思路转化等方面的问题，进行针对性讲解和强化训练。 学科网（北京）股份有限公司 $