6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 【教学目标】 1. 理解平面向量数量积的坐标表示。 2. 会用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角。 3. 会用两个向量的坐标判断它们是否具有垂直关系，并用其解决一些几何问题，进而揭示几何图形与代数运算之间的内在联系。 【教学重难点】 1. 教学重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算。 2. 教学难点：运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题。 【教学过程】 问题1：平面向量的数量积(内积)的定义？ 【答案】 问题2：两个向量的数量积的性质？ 1.复习回顾 【答案】 【设计意图】通过复习上节课所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 2．探索新知 问题3：已知两个非零向量，怎样用的坐标表示？ 【答案】因为 所以 又，所以 【设计意图】通过探究，让学生会数量积的坐标表示，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 问题4：设，则用坐标怎样表示？ 【答案】 问题5：如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么向量的坐标以及如何表示？ 【答案】 问题6：设，则用坐标表示能得到什么结论？ 【答案】 【设计意图】通过思考，让学生会用坐标表示向量的模、垂直，提高学生分析问题、概括能力。 例1. 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，证明你的猜想. 解：如右图，猜测是直角三角形，证明如下： 因为 所以 于是⊥所以△ABC是直角三角形 【设计意图】通过例题练习数量积的坐标表示，提高学生解决问题的能力。 问题7：设是两个非零向量，其夹角为θ，若，那么如何用坐标表示？ 【答案】 【设计意图】通过思考，推导夹角的坐标表示，提高学生的推理能力。 例2. 解： 因为 所以利用计算工具可得θ≈92° 例3 已知向量 例4．用向量方法证明两角差的余弦公式： 证明：角的终边与单位圆的交点分别为A，B，则 设、的夹角为，则 所以 另一方面，如图（1）可知 另一方面，如图（2）可知 于是 所以 【设计意图】用向量法重新证明之前学习过的三角函数中的定理，体现了向量应用的广泛性，也体现了数学中一题多解的奇妙，更能让学生体会到数学的乐趣。 3.课堂小结 问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈． 【答案】（1） 平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程。同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具。 （2） 应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力。 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$