精品解析：吉林省长春市文理高中2025-2026学年高一下学期第二学程考试数学试题

长春市文理高中2025-2026学年度（下）高一年级 第二学程考试数学试卷 （本试卷共3页，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数所对应的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135° 5. 如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. AE，为异面直线，且 D. 平面 6. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 8. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部和虚部之和为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数为纯虚数 10. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有 11. 已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 13. 高二年级有男生300人，女生700人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样方法，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则高二年级全体学生的平均身高约为_________cm． 14. 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，求边． 16. 如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 17. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 18. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市文理高中2025-2026学年度（下）高一年级 第二学程考试数学试卷 （本试卷共3页，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则. 2. 在复平面内，复数所对应的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用虚数单位幂次的周期性化简复数，得到其对应点的坐标后判断所在象限. 【详解】，则，，则， 故， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即在第三象限. 3. 已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】若，，则或相交（墙角模型），故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或异面，故C错误； 若，，则或相交，故D错误. 4. 在中，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135° 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小. 【详解】在中，，，，由正弦定理得, 所以，得， 因为，所以， 因为，所以. 5. 如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. C. AE，为异面直线，且 D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】对于A、B项:利用异面直线的定义直接判断； 对于C项：直接证明出，所以C正确； 对于D项：由与交线有公共点，即可判断. 【详解】对于A项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错； 对于B项，由题意知与为异面直线，所以B错； 对于C项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知，结合棱柱性质可知，则，所以C正确； 对于D项，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故平面不正确，所以D项不正确. 故选：C 6. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 7. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 8. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部和虚部之和为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 复数为纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题知，所以复数的实部与虚部之和为1+1=2，A错误； 复数的共轭复数，B正确； ，C正确； ，为纯虚数，D正确. 10. 已知向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 对任意实数，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用向量模长与数量积的关系求出，再逐一验证各选项 【详解】首先由，两边平方得， 代入，解得. 对于A，，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，这是关于的二次函数，当时，取得最小值为，故，即，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为分别为棱的中点，动点在线段上，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与平面所成角为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：找出在平面上的投影后，借助三角函数定义计算即可得；对B：由可得为直线与直线所成的角或其补角，借助余弦定理计算即可得；对C：借助等体积法即可得；对D：作出轨迹后可得其轨迹为边长为的正六边形，借助面积公式计算即可得. 【详解】对于选项A，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由题易知，所以， 所以直线与平面所成角为，故选项A错误； 对于选项B，取棱的中点，连接，易知， 则为直线与直线所成的角或其补角， 在中，易知，， 由余弦定理可得，故选项B正确； 对于选项C，三棱锥的体积， 因为平面，点在线段上， 所以点到平面的距离为定值． 又因为底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确； 对于选项D，分别取棱，，，的中点，，，， 连接，，，，，， 则，，， 因此易知动点的轨迹所形成的区域是边长为的正六边形及内部， 其面积为，故选项D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 13. 高二年级有男生300人，女生700人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样方法，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则高二年级全体学生的平均身高约为_________cm． 【答案】163 【解析】 【详解】高二年级全体学生的平均身高约为． 高二年级全体学生的平均身高约为. 14. 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为________． 【答案】336 【解析】 【分析】根据题意求出点到平面的距离，进而求得中截面和底面的面积，利用给定“万能求积公式”计算即可. 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，则，四边形为矩形，， 作出中截面，则，， 因为，四边形为矩形，所以四边形为矩形， 所以，，， 所以该五面体的体积为. 故答案为：336. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，求边． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由可得, 由于,故， 【小问2详解】 ，故， 进而，故 16. 如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． （1）求这种“笼具”的表面积； （2）求这种“笼具”的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接,先求出，进而求得正四棱锥的侧面积，再求长方体底座的侧面积和底面积，把它们相加，即得这种“笼具”的表面积； （2）根据图形和相关边长求出正四棱锥的高，再利用棱锥和长方体的体积公式计算即得. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. 【小问2详解】 连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 17. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， 由垂直关系：， 解得：. 【小问2详解】 ， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 18. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以． 【小问2详解】 在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 19. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式求解即可. （2）根据正弦定理及辅助角公式，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （3）根据向量数量积的运算律结合为的外心得到，即，同理可得，联立求得，，进而得到；根据正弦定理及两角差的正弦公式得到，结合求出的范围，再结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而，则，， 故的周长的取值范围. 【小问3详解】 取中点，连接， 因为为的外心，所以，所以， 又， 所以， 故，即， 同理，， 故，即， 联立解得，. 故. 由正弦定理得， 由（2）知，，所以，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 因此. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $