精品解析：吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第二学程考试数学试题

高一年级下学期第二学程考试数学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ） A. A和B不互斥 B. A和B互斥且对立 C. A和C不互斥 D. A和C互斥且对立 3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 5. 设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与互斥，则 6. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（ ） A. 这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D. 从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 7. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球表面积为 C. 若平面，则的轨迹长度为2 D. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若点是的重心，则的面积为 C. 的最小值为 D. 若点是的外心，且，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件与互斥，且，，则______. 13. 如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 14. 已知非零向量，，满足，，对于任意实数满足，，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值. 16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 19. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期第二学程考试数学科试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数满足，则,所以 2. 从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ） A. A和B不互斥 B. A和B互斥且对立 C. A和C不互斥 D. A和C互斥且对立 【答案】B 【解析】 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. 556π B. 900π C. 732π D. 588π 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台、圆柱及球的体积计算公式可得. 【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为, 故选：D 5. 设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若与互斥，则 【答案】C 【解析】 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 6. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述错误的是（ ） A. 这10天的PM2.5日均值的第25百分位数是33 B. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 C. 这10天中PM2.5日均值的平均数是49 D. 从这10天的PM2.5日均值数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图读取10天的数据，分别利用百分位数的定义、数据的变化趋势、平均数公式以及古典概型概率公式对各个选项进行验证即可. 【详解】由图可知，这10天的PM2.5日均值数据依次为：. 将这组数据从小到大排序为：. A选项，因为，不是整数，所以第25百分位数为排序后的第3个数，即，A正确； B选项，从5日到9日的PM2.5日均值依次为，数据逐渐降低，B正确； C选项，这10天中PM2.5日均值的平均数为，C错误； D选项，空气质量为一级即PM2.5日均值在以下，满足条件的数据有，共4天， 所以从这10天的数据中随机抽出一天，空气质量为一级的概率，D正确. 7. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 8. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行的判定定理和性质定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行，因此若，时，则必有，故A正确； 对于B：若，，则和可能平行也可能相交，例如墙角的两个墙面都垂直于地面，但两墙面相交，故B错误； 对于C：线面平行的判定定理要求直线不在平面内，且平行于平面内的一条直线，若，，存在的情况，此时不平行于，故C错误； 对于D：面面平行的判定定理要求一个平面内的两条相交直线均平行于另一个平面，若是 内两条平行直线，即使二者都平行于，和也可能相交，故D错误. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球表面积为 C. 若平面，则的轨迹长度为2 D. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用等体积法将三棱锥的体积转化为的体积，判断点到平面的距离是否为定值，即可判断体积是否为定值；对于B：先求外接球半径，再代入球的表面积公式计算；对于C：先找平行的平行平面，确定过且与该平面平行的平面和底面的交线，该交线即为点的轨迹，再计算轨迹长度；对于D：先找过三点的平面与正方体各棱的交点，确定截面的形状，再用对应多边形面积公式计算截面面积. 【详解】对于A：，为定值， A正确； 对于B：正方体的外接球半径， 所以表面积，B错误. 对于C：取的中点，连接， 因为是中点，是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，，，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 要想平面，只需在平面内运动即可，又因为在平面内运动，所以点的轨迹为平面与平面在正方体内部的交线， ，即点的轨迹长为2，C正确； 对于D：，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，且，所以四点共面， 所以截面即为梯形，并且，，， 所以等腰梯形的高， 故其面积，D正确； 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若点是的重心，则的面积为 C. 的最小值为 D. 若点是的外心，且，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B由结合三角形的面积公式可判断；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A选项，因为，则， 可得， 因为，则，，可得， 所以，故A正确； B选项，设为外接圆的半径，由正弦定理可得：， 所以，则，解得， 因为点是的重心， 所以，故B正确； C选项，因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C错误； D选项，因为，，则，即，，， 因为点是的外心，所以， 因为，则， 即，解得，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件与互斥，且，，则______. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算求解. 【详解】因为事件与互斥，且，， 所以. 故答案为：0.8 13. 如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取BC的中点F，连接，利用中位线定理将异面直线PB平移至EF，从而将异面直线所成角转化为中的内角（或其补角），通过计算三角形三边长并利用余弦定理求解. 【详解】平面，与底面线面角为，， 中，，, 是中点，直角三角形斜边中线：, ，, 取中点，连接，是中位线：， 就是异面直线所成角（或补角）， ,则是等边三角形， 为中点，, 在中，， 所以， 所以异面直线和所成角的余弦值是. 14. 已知非零向量，，满足，，对于任意实数满足，，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助模长与数量积关系可将化为与有关一元二次不等式，则可借助根的判别式计算出，则可将向量坐标化，再设出的坐标形式，利用平面向量数量积的坐标公式化简可得，再利用，从而可借助配方法求出的范围，即可得解. 【详解】由，则， 故， 则 ， 整理得 ， 故 恒成立， 又 ，则有 ，即； 则可设，，，， 设，则有，， 即有 ， 又，则取最大值时，取最大值， 由， 则 ， 即，则， 故， 即的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）24 【解析】 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ，. 因为与垂直，所以，得出. 16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换与三角形内角和性质求角B； （2）先由面积公式得的值，再结合余弦定理变形求. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 整理得. 因为，故，又，，约去得， 结合，得. 【小问2详解】 由面积公式，代入、，得，解得. 由余弦定理，代入、，得， 将代入得，把代入得， 因，故. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1），中位数： （2）应从第3，4组中分别抽取3人，2人； 【解析】 【分析】（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可. （2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由图可得：，解得； 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：. 【小问2详解】 第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 18. 如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 【答案】（1）连接 ，交  于点 ，连接， 因为 是菱形，菱形对角线互相平分，故是 中点， 又 是 中点，因此在中，是中位线，得， 又 平面，不在平面内 ， 所以； （2）因为 是菱形，，， 故 是正三角形，是 中点，由正三角形三线合一得 ， 又平面  平面 ，交线为 ，且  平面 ， 由面面垂直的性质定理得： ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，交  于点 ，连接，由，即可证明； （2）由，结合面面垂直的性质定理即可证明； （3）过  作 于 ，连接 ， 确定  就是二面角  的平面角，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过  作 于 ，连接 ， 由（2）知  平面 ， 平面 ，故 ； 又 ，，平面 ， 因此 平面 ，平面 ， 所以 ，即  就是二面角  的平面角， 正 边长为 ，是 中点，故 ，， 在 中： ， 正 边长为 ，是  中点，故 ； 又 平面 ，平面  得， 在 中： ，​​ 故二面角的余弦值 . 19. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由余弦定理可得，，又，结合题目数据可得，最后在中，由余弦定理可得答案；②如图，以为原点，建立平面直角坐标系，由可得M坐标，然后由数量积坐标表示可得答案； （2）由余弦定理可得，结合及三角函数值域可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ①如图，在中，，，， 由余弦定理可得， 注意到，所以， 又，得， 即， 又因为四边形ABCD为凸四边形，，故， 则在中，由余弦定理可得，所以. ②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 所以，，，D，则. 设，由， 得， 则 则. 【小问2详解】 在三角形和三角形中，由余弦定理得， 则， 四边形面积为：， 即，所以 ， 当且仅当，即，时，取最小值， 则， 所以四边形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $