2025-2026学年浙教版八年级下学期数学单元测试第二章一元二次方程

**基本信息** 八年级数学下学期一元二次方程单元卷，以基础巩固为核心，创新设计“换位方程”“倒影方程”等原创题型，融入医保谈判、古代数学问题等真实情境，适配单元复习，有效提升数学抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、配方、实际应用|第6题结合医保谈判降价率（社会热点），第8题原创“换位方程”概念（创新应用）| |填空题|6/18|配方变形、古代数学、根与系数关系|第12题引用古代“直田”问题（文化传承），第15题定义“根距”考查代数表达（抽象能力）| |解答题|7/52|解方程、证明、应用题、新定义探究|第20题销售利润问题（模型意识），第23题“倒影方程”阅读理解（推理能力）|

应用场景：单元测 八年级数学下学期单元测试 第二章 一元二次方程 （考试时间：90分钟，分值：100分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式中是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝2y B．x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2＝x2+1 2．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0配方后可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝36 D．（x﹣3）2＝2 4．关于x的方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤0 B．m≥0 C．m≥0且m≠1 D．m≤0且m≠1 5．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 6．罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录．设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（原创）对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0），定义其"换位方程"为cx²+bx+a=0。下列说法正确的是（ ） A．原方程和换位方程的判别式一定相等 B．若原方程有两个实数根，则换位方程也一定有两个实数根 C．若x=m是原方程的根，则x=1/m一定是换位方程的根 D．原方程和换位方程一定有公共根 9．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A． B． C． D． 10．从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 12．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是__________步. （一亩步） 13．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 14．若是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 15． （原创）对于一元二次方程x²-px+q=0（p,q为实数），定义其"根距"d=|x₁-x₂| （x₁,x₂为方程的两根）。若方程有两个实数根，则d=______（用p,q表示）。 16．（原创）定义运算"△"：对于方程E₁:x²+ax+b=0和E₂:x²+cx+d=0，E₁△E₂:x²+(a+c)x+(b+d+ac)=0。若E₁:x²-3x+2=0，其根为1和2；E₂:x²+mx+n=0的一个根是E₁的一个根，且E₁△E₂的判别式为0，则m+n=______． 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：2x2﹣3x﹣5＝0． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 或，第五步 x1＝﹣1，．第六步 任务一： ①小颖解方程的方法是 　 　（填字母）； A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 ②解方程过程中，第二步变形的依据是 　 　． 任务二：请你用“公式法”解该方程． 19．（7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．（7分）某商店销售一款每件进价为70元的童装，每件售价为110元时，每天可售出20件．为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，设每件童装降价元． (1)降价后，每件童装的利润为______元，平均每天的销售量为______件；（用含的式子表示） (2)为了尽可能多的减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 21．（8分）如图，四边形中，，，是和边长，易知，我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”． (1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”； ①______（填“是”或“不是”）； ②______（填“是”或“不是”）； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是18，求面积． 22．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．    【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（______）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图②来解．已知图②是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的一个正根为______．    23．（10分）（原创）阅读材料并解答问题。 定义：若两个一元二次方程满足——其中一个方程的两根恰好是另一个方程两根的倒数，则称这两个方程互为"倒影方程"。 （1）（3分）已知方程x²-5x+6=0的两根为2和3。请写出以1/2和1/3为两根的方程，并验证它是否是x²-5x+6=0的倒影方程。 （2）（3分）证明：方程ax²+bx+c=0（ac≠0）的倒影方程为cx²+bx+a=0。 （3）（4分）若方程x²+px+1=0（p>0）与它的倒影方程有公共根，求p的值及公共根。 —— 全卷完 —— 学科网（北京）股份有限公司 $细目表 题号 题型 分值 知识点（难度递增） 难度系数（预估） 1 单选题 3 一元二次方程的定义 0.92 2 单选题 3 一元二次方程根的判别式 0.88 3 单选题 3 一元二次方程的解法（配方法） 0.85 4 单选题 3 一元二次方程含参问题 0.8 5 单选题 3 一元二次方程根的判别式 0.72 6 单选题 3 一元二次方程的应用（增长率·药品降价） 0.7 7 单选题 3 一元二次方程的应用（面积问题） 0.68 8 单选题 3 新定义：和谐值H=|b²-4ac|+|a+b+c|（原创） 0.55 9 单选题 3 一元二次方程的应用（增长率·房价） 0.65 10 单选题 3 一元二次方程的应用（矩形裁剪） 0.52 11 填空题 3 一元二次方程的概念（写出一个方程） 0.85 12 填空题 3 一元二次方程根与系数关系（直接求值） 0.75 13 填空题 3 一元二次方程的根（代入求值） 0.72 14 填空题 3 一元二次方程的应用（连续整数求和） 0.68 15 填空题 3 根差平方最大值(x₁-x₂)²=8m+16（原创） 0.52 16 填空题 3 新定义运算a*b=a²-ab+b²（原创） 0.48 17 解答题 6 解一元二次方程（配方法，十字相乘） 0.82 18 解答题 6 一元二次方程的解法（配方法，公式法） 0.78 19 解答题 7 一元二次方程根与系数关系计算 0.68 20 解答题 7 一元二次方程的应用（增长率·销售额） 0.62 21 解答题 8 一元二次方程的应用（图形面积综合） 0.55 22 解答题 8 一元二次方程的图形意义 0.54 23 解答题 10 新定义整根方程阅读理解探究（原创） 0.48 $ 八年级数学下学期单元测试 第二章 一元二次方程（答案及解析） 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A D D D C C B C 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】B 【解析】解：A、x2+x＝2y含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，该选项不符合题意； B、x2＝1是一元二次方程，符合题意； C、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程未知数的次数低于2次，不是一元二次方程，不符合题意； D、将x2﹣2＝x2+1化简得到﹣3＝0，显然不成立，不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2．【答案】B 【解析】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．【答案】A 【解析】解：x2﹣6x﹣2＝0 即x2﹣6x+9＝11 ∴（x﹣3）2＝11 故选：A． 4.【答案】D 【解析】解：当方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0为一元二次方程时，方程有解， 则m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×（﹣1）≥0， 解得：m≥0且m≠1， 当方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0为一元一次方程时， 方程有解，则只需m﹣1＝0，即m＝1， 综上：当m≥0时，方程有实数根． 故选：B． 5．【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 6．【答案】D 【分析】根据经两轮“砍价”，从63800元瓶降至3900元瓶，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 7．【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8． 【答案】C． 【分析】若x=m是原方程的根，则am²+bm+c=0。代入换位方程：c(1/m)²+b(1/m)+a=(c+bm+am²)/m²=0/m²=0，故x=1/m是换位方程的根。A错，Δ=b²-4ac与Δ'=b²-4ca不一定相等 【详解】C．若x=m是原方程的根，则am²+bm+c=0。代入换位方程：c(1/m)²+b(1/m)+a=(c+bm+am²)/m²=0/m²=0，故x=1/m是换位方程的根。A错，Δ=b²-4ac与Δ'=b²-4ca不一定相等（当a≠c时）；B错，Δ≥0不能保证Δ'≥0；D错，取x²-3x+2=0的换位方程2x²-3x+1=0，前者根为1,2，后者根为1,1/2，公共根只有1（不是一定有）。 9．【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每月的下降率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每月的下降率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴每月的下降率为， 故选：． 10．【答案】C 【分析】中，，，分两种情况，一是矩形的边在上，顶点、分别在、上，可证明≌，得，设，则，可求得，或，；二是矩形的边在上，在上，顶点在上，设，则，可求得，或，，这两个矩形全等，所以有种不同的裁法，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，则， 如图，矩形的边在上，顶点、分别在、上，   ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设， 矩形的面积是，， ， 解得，， 或， ，或，， 如图，矩形的边在上，在上，顶点在上，   ， ， ， 设，则， 解得，， 或， ，或，，这两个矩形全等， 有种不同的裁法， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 12．【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设此矩形田的宽为步，依据题意，可列方程为， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 14．【答案】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：． 15．【答案】√(p²-4q)。 【分析】由韦达定理：x₁+x₂=p，x₁x₂=q，d=|x₁-x₂|=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(p²-4q)。 【详解】√(p²-4q)。由韦达定理：x₁+x₂=p，x₁x₂=q，d=|x₁-x₂|=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(p²-4q)。 16．【答案】-1。 【解析】E₁△E₂:x²+(m-3)x+(2+n-3m)=0。Δ=(m-3)²-4(2+n-3m)=0→m²+6m+1-4n=0。若E₂的根为1：1+m+n=0→n=-1-m，代入得m²+10m+5=0→m=-5±2√5，n=4∓2√5→m+n=-1。若E₂的根为2：4+2m+n=0→n=-2m-4，代入得m²+14m+17=0→m+n=3∓4√2 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）方程变形后利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可. 【详解】（1）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴； （2）解：方程中的， ∴ ∴. 18．【答案】任务一：C；等式的基本性质1； 任务二：见解析． 【详解】解：任务一：①由题意知，小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； ②解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1， 故答案为：等式的基本性质1； 任务二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝﹣1． 19．【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 20．【答案】(1)， (2)20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每降价1元，每天可多售出2件”及利润问题可进行求解； （2）由（1）及题意可得方程为，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：每件童装的利润为元；平均每天的销售量为件； 故答案为，； （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，； ∵为了尽可能多的减少库存， 不符合题意，应舍去， ； 答：每件童装应降价20元． 21．【答案】(1)①是；②不是 (2)见解析 (3)的面积为． 【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解； （2）由是“勾系一元二次方程”得，计算，可得关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）由是“勾系一元二次方程”的一个根得，，由四边形ACDE的周长是18，得出，即可求出ab的值及的值，得到面积． 【详解】（1）解：①不是“勾系一元二次方程”， ∵， 解得， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴是“勾系一元二次方程”， 故答案为：是； ②是“勾系一元二次方程”， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以a、b、c为三边长的三角形不是直角三角形， ∴不是“勾系一元二次方程”， 故答案为：不是； （2）证明：∵是“勾系一元二次方程”， ∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长， ∴， ∵ ； ∴关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， 即， ∵四边形的周长是18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 22．【答案】[类比迁移] ，画图见解析，，；[拓展应用] ，3，1或3． 【分析】[类比迁移]类比例题求解、画图、计算即可； 拓展应用根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案． 【详解】[类比迁移] 第一步：将原方程变为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示：    第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 故答案为：，，； [拓展应用] ， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ，， 解得：，， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3． 综上所述，方程的一个正根为1或3． 故答案为：，3，1或3． 23． 【答案】（1）见解析 （2） 见解析； （3） p=2，x=-1. 【解析】（1）以1/2,1/3为两根的方程为6x²-5x+1=0。验证：x²-5x+6=0中a=1,c=6，倒影方程为6x²-5x+1=0。✓（2）设原方程两根为α,β，倒影方程两根为1/α,1/β。1/α+1/β=(α+β)/αβ=(-b/a)/(c/a)=-b/c；1/α·1/β=1/αβ=a/c。故倒影方程为x²-(-b/c)x+a/c=0→cx²+bx+a=0。✓（3）x²+px+1=0的倒影方程为1·x²+px+1=0（a=c=1），即原方程自身。由公共根即原方程的根：1+p+1=0→p=-2（舍p>0）或(-1)²-p+1=0→p=2。故p=2，公共根为x=-1。 学科网（北京）股份有限公司 $