第2章一元二次方程 单元强化训练（4）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

一元二次方程 单元强化训练4 一、选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程。 根据一元二次方程的定义逐项判断即可。 【详解】解：A. 是一元二次方程，故选项符合题意； B. ，未知项最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C. 是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：。 2．一元二次方程的根是（     ）。 A．2 B．3 C．3或5 D．3或2 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可。 【详解】解： 或， 解得，， 故选：C。 3．已知是方程的两个实数根，则的值为（    ）。 A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由，可代值计算得到答案。 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C。 4．关于的方程的根的情况是（    ）。 A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解。 【详解】解：由可变形为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选B。 5．已知一元二次方程有一个根为0，则（    ）。 A．3 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及定义，熟练掌握一元二次方程的定义及解是解题的关键；因此此题可把代入方程进行求解即可。 【详解】解：把一元二次方程得：，且， 解得：； 故选B。 6．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象经过第（    ）。 A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断一次函数经过的象限，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质是解题的关键。 由题意知，，即，则，，进而可判断一次函数的图象经过第一、二、四象限。 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C。 7．海河是河北省一大河流，是我国七大河流之一．某市图书馆2023年年底海河研究相关文献馆存数量为2万份，到2025年年底相关文献馆存数量为2.42万份，设海河研究相关文献馆存年均增长率为．根据题意，可列方程为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，增长率问题，某市图书馆2023年年底海河研究相关文献馆存数量为2万份，设海河研究相关文献馆存年均增长率为。故2024年年底海河研究相关文献馆存数量为万份，则2025年年底海河研究相关文献馆存数量为万份，据此即可作答。 【详解】解：依题意，设海河研究相关文献馆存年均增长率为， 根据题意，可列方程为 故选：C。 8. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据中央矩形的长=封面的长上下边衬的宽，中央矩形的宽封面的宽左右边衬的宽，再根据矩形的面积长宽列式即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系。 【详解】解：由题意得：上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 设上、下边衬等宽均为，左、右边衬等宽为 ∴， 故选：。 9．有两个一元二次方程：；，其中，以下列四个结论中，错误的是（    ）。 A．如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根 B．如果方程和方程有一个相同的根，那么这个根必是 C．如果7是方程的一个根，那么是方程的一个根 D．如果方程有两根符号相同，那么是方程的两根符号也相同 【答案】B 【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M−方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误；将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出是方程N的一个根，C正确；根据“和符号相同”，即可得出D正确，进而即可得到答案。 【详解】解：A.在方程中△＝b2−4ac，在方程中△＝b2−4ac， ∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确； B.M−N得：（a−c）x2＋c−a＝0，即（a−c）x2＝a−c， ∵a−c≠0， ∴x2＝1，解得：x＝±1，错误； C.∵7是方程M的一个根， ∴49a＋7b＋c＝0， ∴a＋b＋c＝0， ∴是方程N的一个根，正确； D.∵和符号相同， ∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确； 故选B。 10．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ）。 ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不妨设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④。 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C。 二、填空题 11. 方程的解是______；______。 【答案】 0 ；2 【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解。 【详解】解：原方程变形为： 即 ∴。 故答案为：0，2 12．当________时，方程是关于的一元二次方程。 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 【详解】解：根据题意得 ， ∴， 解得 故答案为：。 13．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______。 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程没有实数根结合根的判别式，得且，解得k的取值范围。 【详解】解：根据题意得，且 解得， 故答案为：。 14．设方程的两根分别是，，则的值为_________。 【答案】3 【分析】利用利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可。 【详解】解：由方程，可知其二次项系数，一次项系数， 由根与系数的关系，得 故答案为：3。 15．某商厦10月份的营业额为50万元，12月份的营业额为90万元，若设月平均营业额的增长率为，则由题意可得方程________。 【答案】 【分析】设月平均营业额的增长率为，根据12月份的营业额=10月份营业额×月平均营业额的增长率×月平均营业额的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论。 【详解】解：设月平均营业额的增长率为， 根据题意得：， ∴ 故答案为：。 16．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为的一块长方形绿地，并且长比宽多，设长方形绿地的宽为，则可列方程为________。 【答案】 【分析】因为宽为，则长为，根据面积可列方程，问题得解。 【详解】设长方形绿地的宽为，则长为， 根据面积可列方程：， 故答案为：。 17. 等腰三角形两边的长是关于的方程的两个实数根，第三边的长为5，则的值为_______。 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，先计算的值，再根据一元二次方程的求根公式“”求出方程的根，，，然后根据等腰三角形的性质可得或，解方程即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 当时，，的三边长为，，，是等腰三角形； 即当或5时，是等腰三角形。 故答案为：4或5。 三、解答题 18．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键。 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，。 19．已知关于的方程 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求的值。 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握这些知识是解题的关键。 （1）计算一元二次方程根的判别式大于零即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，由转化为，再代入解方程即可。 【详解】（1）解：， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解： ， ∵ ， ∴， 解得：或。 20．某商场销售一种玩具，平均每天售出20个，每个盈利40元，为尽快销售，减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现若每个降价1元，每天可多售出2个，若商场希望每天盈利1200元，则每个应降价多少元？ 【答案】每个应降价20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个降价x元，那么就多卖出个，根据等量关系“扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售玩具上盈利1200元”列一元二次方程求解即可。根据题意列出一元二次方程是解题的关键。 【详解】解：设每个玩具降价x元， 由题意得：，即，解得：或． 为了减少库存，所以 答：每个应降价20元。 21. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务。 （1）图案4中，空心圆有______个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由。 【答案】（1）20；， （2）存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个，见解析 【分析】（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个，再求图案4中空心圆的个数即可； （2）根据题意列方程解答。 【详解】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， ∴图案4中，空心圆有个， 故答案为：20；， （2）存在，理由如下： 根据题意，得：， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个。 22．某农场拟建饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，并且材料必须全部用完。 （1）如果要围成如图所示的矩形饲养室，长和宽分别为多少米时，饲养室的占地面积为？ （2）如果需要两间饲养室，为方便饲养，两间饲养室在墙的对面需各开1扇门，两面饲养室之间也需开一扇门，门宽均为，两间饲养室的占地面积和为，请设计一种符合要求的方案，画出设计示意图，并运用方程的知识给予解释方案的可行性。 【答案】（1）长为米，宽为米 （2）见解析 【分析】（1）设长为x米，表示出宽，根据面积为列出方程，解之即可； （2）根据三面分别开一扇门，列出方程，解之可得相应方案。 【详解】（1）解：设长为x米， 由题意可得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴长为米，宽为米时，饲养室的占地面积为； （2）如图，由题意可得：， 解得：，， 当时，饲养室的长为米，宽为米； 当时，饲养室的长为米，宽为米。 试卷第9页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程 单元强化训练4 一、选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ）。 A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（     ）。 A．2 B．3 C．3或5 D．3或2 3．已知是方程的两个实数根，则的值为（    ）。 A． B．7 C． D． 4．关于的方程的根的情况是（    ）。 A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 5．已知一元二次方程有一个根为0，则（    ）。 A．3 B． C．0 D． 6．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象经过第（    ）。 A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 7．海河是河北省一大河流，是我国七大河流之一．某市图书馆2023年年底海河研究相关文献馆存数量为2万份，到2025年年底相关文献馆存数量为2.42万份，设海河研究相关文献馆存年均增长率为．根据题意，可列方程为（    ）。 A． B． C． D． 8. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬等宽均为，左、右边衬等宽为，则满足的方程是（    ）。 A． B． C． D． 9．有两个一元二次方程：；，其中，以下列四个结论中，错误的是（    ）。 A．如果方程有两个不相等的实数根，那么方程也有两个不相等的实数根 B．如果方程和方程有一个相同的根，那么这个根必是 C．如果7是方程的一个根，那么是方程的一个根 D．如果方程有两根符号相同，那么是方程的两根符号也相同 10．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ）。 ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4。 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11. 方程的解是______；______。 12．当________时，方程是关于的一元二次方程。 13．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______。 14．设方程的两根分别是，，则的值为_________。 15．某商厦10月份的营业额为50万元，12月份的营业额为90万元，若设月平均营业额的增长率为，则由题意可得方程________。 16．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为的一块长方形绿地，并且长比宽多，设长方形绿地的宽为，则可列方程为________。 17. 等腰三角形两边的长是关于的方程的两个实数根，第三边的长为5，则的值为_______。 三、解答题 18．解方程： 19．已知关于的方程 （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求的值。 20．某商场销售一种玩具，平均每天售出20个，每个盈利40元，为尽快销售，减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现若每个降价1元，每天可多售出2个，若商场希望每天盈利1200元，则每个应降价多少元？ 21. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务。 （1）图案4中，空心圆有______个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由。 22．某农场拟建饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，并且材料必须全部用完。 （1）如果要围成如图所示的矩形饲养室，长和宽分别为多少米时，饲养室的占地面积为？ （2）如果需要两间饲养室，为方便饲养，两间饲养室在墙的对面需各开1扇门，两面饲养室之间也需开一扇门，门宽均为，两间饲养室的占地面积和为，请设计一种符合要求的方案，画出设计示意图，并运用方程的知识给予解释方案的可行性。 试卷第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $