专题02 四边形压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦四边形压轴题型，通过多结论判断、折叠变换、动态存在性等六大模块，系统训练几何直观与推理能力，构建从性质应用到综合创新的解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多结论问题|10题|多结论辨析|从四边形性质出发，结合全等、相似及图形变换进行推理验证| |折叠问题|10题|轴对称变换|通过折叠实现线段与角的转化，建立方程思想解决几何计算| |特殊四边形模型|7题|新定义探究|以“筝形”“垂美四边形”等拓展概念，深化对特殊四边形本质属性的理解| |坐标系存在性|5题|动态几何|结合坐标与几何性质，运用分类讨论思想确定图形存在条件| |动点问题|8题|运动变化|通过动点轨迹分析，建立函数关系解决图形动态问题| |线段最值|8题|最值探究|运用轴对称、三点共线等模型，培养空间观念与优化意识|

专题02 四边形压轴题型 题型1 四边形的多结论问题（难点） 题型4 坐标系四边形存在性问题（常考点） 题型2 四边形折叠问题（重点） 题型5 （特殊)平行四边形的动点问题（常考点） 题型3 特殊四边形综合模型（难点） 题型6 四边形中的线段最值问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 四边形的多结论问题（共10小题） 1．如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，点E和点F分别是正方形边和上的两个动点，在运动过程中始终保持，已知正方形的边长是3，下列结论中：①；②当时，；③；④的长度随E、F的运动而变化．其中正确的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 5．正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（     ） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 6．如图，在边长为9的正方形中，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点落在边上的点处（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则（1）正方形的面积与的面积之比是________；（2）下列说法①点在的平分线上；②；③；④，正确的是__________（只填序号）． 8．如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确的是______． 9．如图，矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿折叠得到，连接、，设．有以下结论∶（1）当时，；（2）不可能为等腰三角形；（3）当点落在对角线上时，；（4）线段的最小值为4；（5）当为直角三角形时，或6．其中正确结论的序号为______________． 10．如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 题型二 四边形折叠问题（共10小题） 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，长方形的边的中点为，将沿直线翻折后得到，延长交边于点，连接，若，则（     ） A． B． C．1 D． 12．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，则的长为_________． 14．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 15．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 16．（25-26八年级下·全国·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】 在中，，，（），是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． (1)【观察发现】 如图1，若，则与的大小关系是_______________；线段与的数量关系是________，位置关系是_______； (2)【类比探究】 在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 17．（2026·山东泰安·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 18．（2026·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【探究发现】如图，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，求证：； (2)【类比探究】如图，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（）的翻折过程中，正方形的边长为． 如图，若线段恰好经过点，，求的长， 如图，若，连接，，直接写出的最小值． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 20．（25-26八年级下·上海·阶段检测）综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． (2)欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． (3)【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． (4)刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 题型三 平行四边形的判（共7小题） 21．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 22．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 23．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 24．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 25．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 26．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形和正方形，这四种图形中是垂美四边形的是______； (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的说法是否正确，并说明理由； (3)问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则______． 27．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有__________． ①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系． 题型四 坐标系四边形存在性问题（共5小题） 28．在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、、，线段、相交于点，若，证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且． ①求的长；②在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 30．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 31．平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点． (1)求点的坐标； (2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，正方形的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点P． (1)求证：． (2)若正方形边长为5，点E的坐标为，在y轴上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（备用图在答题卡上） 题型五 (特殊)平行四边形的动点问题（共8小题） 33．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 34．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 35．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为____． 36．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 37．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 38．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 39．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 40．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1) ， ， ， （用含的代数式表示）； (2)试说明：无论为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当为 时，为直角三角形． 题型六 四边形中的线段最值问题（共8小题） 41．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 42．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 43．如图，在正方形中，，是边的中点，，分别为，上的任意一点，连接，，，则四边形周长的最小值为__________． 44．如图，在正方形中，点M在上运动，过点M分别作，垂足分别为点E，F，若，则的最小值为________． 45．如图，边长为4的正方形，，为，上动点，且，点为中点．则最小值为________. 46．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 47．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 48．在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． $专题02 四边形压轴题型 题型1 四边形的多结论问题（难点） 题型4 坐标系四边形存在性问题（常考点） 题型2 四边形折叠问题（重点） 题型5 （特殊)平行四边形的动点问题（常考点） 题型3 特殊四边形综合模型（难点） 题型6 四边形中的线段最值问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 四边形的多结论问题（共10小题） 1．如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵H不是的中点， ∴，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④，共2个． 2．如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 3．如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】作于点M，取的中点P，连接，由折叠的性质和矩形的性质得，，进而推出是锐角，结合G为的中点，可得，假设平分结合角平分线性质定理可得，从而推出可判断①；根据折叠性质得，结合平行线的性质推得进而得到可判断②；取的中点P，连接，结合已知条件推出点F是的中点得是的中位线，从而得，再根据矩形的性质结合已知条件证进而得可判断③． 【详解】解：如图，作于点M，取的中点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴，是锐角， ∴点M与点E不重合， ∴， ∵G为的中点， ∴，假设平分 ， ∵，， ∴， ∴，与 相矛盾， ∴不能平分，故①错误； 由折叠可知，， ， ， ， ， ∴点H在的垂直平分线上，故②正确； ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴点F是的中点，点P是的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵点G是的中点， ∴， 又∵ ， ，故③正确． 综上所述：结论正确的是②和③． 4．如图，点E和点F分别是正方形边和上的两个动点，在运动过程中始终保持，已知正方形的边长是3，下列结论中：①；②当时，；③；④的长度随E、F的运动而变化．其中正确的有（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用旋转构造全等三角形证明；设未知数利用勾股定理计算的长；通过代数变形判断的范围；利用角平分线的性质判断的长度是否为定值． 【详解】解：①如图，将绕点顺时针旋转得到，即， ，，， 正方形， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ，故①正确； ②设，则， ，， ， 正方形的边长是3， ，， 在中，， 则，解得， ，故②正确； ③设，，则，， ， ， 在中，， ，则， 整理，得， ， ，， ， ， ，故③正确； ④ ， ，即平分， 正方形， ， ， ，故④不正确 综上所述，正确的结论有①②③． 5．正方形中，将沿折叠，使得点B在上为点F，折痕为，连接、，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）四边形为菱形；（5）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（     ） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，故（）错误； ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∴，， ∵， ∴，故（）错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故（）正确； ∴与平行， ∴， ∵正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，故（）正确． 6．如图，在边长为9的正方形中，动点，分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点落在边上的点处（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等边对等角，找到与的关系，通过等量代换即可证明①的结论；作，利用①的结论，证明和，从而求出的周长等于，证明②的结论；作，利用正方形的十字模型全等，得到，通过等量代换即可说明③的结论；通过比例关系得到和的值，通过勾股定理列方程求出，利用③的结论求出，面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 由折叠的性质，可知，， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴，①正确； 如图，作，连接， ∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴的周长为，②正确； 如图，作， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 由折叠的性质，，， ∴，③正确； 若， 又， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，④错误． 7．如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在的边上，则（1）正方形的面积与的面积之比是________；（2）下列说法①点在的平分线上；②；③；④，正确的是__________（只填序号）． 【答案】 ③④ 【分析】（1）先分别算出的面积以及正方形的面积，再算出正方形的面积与的面积之比，即可作答． （2）先证明为等腰直角三角形，再根据正方形的性质证明，再结合线段和差关系整理得；设，，把数值代入计算，即可作答．然后证明，故，得垂直平分；若平分，则，又因为，则，得，这与矛盾，故不平分，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，． ∴的面积 ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积 ∴正方形的面积与的面积之比是． 如图，过点作交于点，则有， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， 故③是符合题意； 设，， 则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴， ∴，， ∴，故②是不符合题意的； 过点作交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，     ∴， ∴，， ∴， 即，垂直平分； 若平分，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∴， ∴，这与矛盾， 故不平分， 即点不在的平分线上, 故①是不符合题意的； 依题意，，故④是符合题意的； 8．如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，则，易证明四边形是矩形，则，据此判断①；证明，则，据此判断②；求出的面积，利用求出，根据求出，据此判断③；根据正方形的性质得到，进而得到，证明，则，利用勾股定理求出长，据此判断④． 【详解】解：四边形是正方形， 、、， 在和中， ， ， ， 、， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， G为的中点， ， 、， ， 在和中， ， ， ， 由①知，四边形是矩形， 四边形是正方形； 故②正确； 四边形是正方形， 、， ， ， ， ， ， 故③错误； 四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 9．如图，矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿折叠得到，连接、，设．有以下结论∶（1）当时，；（2）不可能为等腰三角形；（3）当点落在对角线上时，；（4）线段的最小值为4；（5）当为直角三角形时，或6．其中正确结论的序号为______________． 【答案】（1）（3）（4）（5） 【分析】（1）当时，，，即；再运用折叠的性质、等边对等角、三角形的外角的性质可得，再判断，即可判断（1）；根据垂直平分线的性质即可找到这样的点F，从而判断（2）；（3）先画出图形，再利用矩形性质和勾股定理列方程求解即可；（4）如图：点F的轨迹是以A为圆心、为半径的圆．再结合图形即可判断；（5）分三种情况进行求解即可判断（5）． 【详解】解：（1）当时，，， ∴， ∴． 由折叠性质，． 又∵， ∴， ∴． 故结论（1）正确； （2）当时，只要点F在的垂直平分线上即可， ∴当，一定存在这样的F，即可以为等腰三角形，故结论（2）错误．   （3）如图：当点落在对角线上时，， ∵，， ∴， ∴ ． 设，则． 在中，由勾股定理： ， 解得：． 故 结论（3）正确； （4）如图：点F的轨迹是以A为圆心、为半径的圆． 根据两点之间线段最短，的最小值为． 故结论（4）正确； （5）如图：当， 此时F在上，由结论（3）得； 如图：当：此时， 由折叠性质，， ∴为等腰直角三角形，，即； 当时，因为，点F在矩形内时，无法为． ∴或6，即 结论（5）正确． 综上，正确的有（1）（3）（4）（5）． 10．如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误； 和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 题型二 四边形折叠问题（共10小题） 11．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，长方形的边的中点为，将沿直线翻折后得到，延长交边于点，连接，若，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据翻折的性质可得，，，由是的中点可得，利用证明，得到，设，，则，在中利用勾股定理构建方程求出与的关系，进而求出比值． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， ， 设，，则，， 是的中点， ， 由翻折的性质可知：，，， ，， 在和中， （）， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，， ． 故选：A． 12．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 13．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，先可证明，可得，设，则，，在中，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即． 14．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在矩形纸片中，，，CD边上有一点，，将该纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长是________． 【答案】10 【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得． 【详解】解：过M作于H，连接，，则，    ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质得， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 15．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 16．（25-26八年级下·全国·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】 在中，，，（），是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． (1)【观察发现】 如图1，若，则与的大小关系是_______________；线段与的数量关系是________，位置关系是_______； (2)【类比探究】 在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 由折叠，可得，， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形为平行四边形， ． 【分析】（1）利用折叠性质和中点定义证明为等腰三角形，进而通过角度计算得出，利用平行线判定和性质证明四边形为平行四边形，从而得出线段关系； （2）类比第（1）题的思路，利用折叠性质，等腰三角形性质(等边对等角)和平行四边形判定定理进行一般性证明即可解答． 【详解】（1）解：若，则平行四边形是矩形， 由折叠，可得，， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，即， 四边形为平行四边形， ； （2）略 17．（2026·山东泰安·二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． (1)【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 【答案】(1)， (2)的面积为定值，的面积为 (3) 【分析】（1）如图：过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明可得、，再利用角的和差以及垂直的定义即可解答； （2）如图：作于N，证明得出，利用折叠的性质可得，即，最后利用三角形的面积公式求解即可； 即可得出结论； （3）如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，利用证明得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：的面积为定值，的面积为． 如图：作于N， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴， ∴， ∴． （3）解：如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，则垂直平分， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴，即的最小值为． 18．（2026·辽宁葫芦岛·二模）综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【探究发现】如图，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，求证：； (2)【类比探究】如图，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（）的翻折过程中，正方形的边长为． 如图，若线段恰好经过点，，求的长， 如图，若，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3) ； 的最小值为． 【分析】（）由题可知垂直平分，所以，又四边形是正方形，则，，然后证明，再通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，过点作，易证，进而得解； （）正方形的边长为，，则，，过点作，垂足为，交线段于点，连接，，推出四边形是平行四边形,得到，根据勾股定理即可得到结论； 过作交于点，则，所以四边形是平行四边形，故有，证明，可得，过作，且，证，得到，所以，当三点共线时，的值最小，为的长，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图， 由题可知垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知， ∴， ∴， 过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，， ∴，， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，， ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴，关于直线对称，， ∴垂直平分， 由（）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过作，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 过作，交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同（）中方法可证， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 19．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据，结合角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点作，交于，利用勾股定理可求出，由（1）可得，根据，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，证明，得出，根据轴对称的性质得出点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于， ∵边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中， ∴，，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴． 20．（25-26八年级下·上海·阶段检测）综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． (2)欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． (3)【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． (4)刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 【答案】(1) 解：连接， 由折叠的性质得，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2)； 解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 设，则， ∵、、三点共线， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， 即； (3) (4) 【分析】（1）利用折叠的性质求得是等边三角形，据此求解即可； （2）设，则，根据点、、三点共线，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （3）仿照解析（2）的方法，进行求解即可； （4）过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，设，由（3）可得，利用等面积法求出，同理求出，把代入得出，整理即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形为正方形，边长为1， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可得，，，， ∴， ∴、F、G三点共线， 设，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得，     即； （4）解：过点H作于点M，作于点N，过点Q作于点K，作于点J，如图所示： 则， 根据题意得：正方形中，， 设，由（3）可得， ∵正方形中，， ∴，，，都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型三 平行四边形的判（共7小题） 21．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，在四边形中，如果，，这样特殊的四边形称为“筝形”． (1)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的定义，请你给“筝形”下一个定义； (2)根据你给出的定义，在我们所学过的特殊四边形中，有没有“筝形”？如果有，说明四边形的形状；如果没有，请说明理由； (3)类似于平行四边形、矩形等特殊的四边形的性质的探究过程，探究“筝形”性质，给出三条“筝形”的性质，并证明； (4)类似于特殊的四边形判定探究过程，给出除定义之外的一种“筝形”的判定方法，并证明这一判定． 【答案】(1)解：筝形定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．即：四边形中，若，，则四边形为筝形． (2)解：特殊四边形中有筝形，菱形是特殊的筝形．理由如下：菱形的四条边都相等，因此必然满足 “两组邻边分别相等”，所以菱形属于筝形． (3)解：性质 1：筝形的一组对角相等； 证明：如图：连接， 在和中： ， ∴ ∴； 性质 2：筝形的对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线 证明：如图：连接相交于点O， 由， ∴． ∵， ∴， ∴，且平分． 性质 3：筝形是轴对称图形，对称轴为较长的对角线（所在直线） 证明：由性质 2 知，垂直平分，因此将四边形沿折叠，点B与点 D重合，两边完全重合，故筝形是轴对称图形，对称轴为对角线 所在直线． (4)解：判定方法：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．证明如下： 设四边形中，对角线垂直平分，且交点为O． ∵ 垂直平分， ∴，， ∴四边形满足筝形的定义，故为筝形． 【分析】（1）根据题干归纳筝形的定义即可； （2）从特殊的四边形中寻找满足筝形定义的四边形，并证明即可； （3）从角、对角线、对称性三个方面归纳性质，并证明即可； （4）从（3）的性质中寻找筝形的判定方法，并证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 22．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不一定等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不一定等于其中一条边的长，故不满足； 故答案为：C； （2）解：当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ，， ， ， ， ； 综上，或． （3）解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ；                                    ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 23．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）；[操作探究]；[拓展延伸]见解析；[实践应用] 或或或3 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 24．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义并灵活运用勾股定理是解题的关键． 25．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形和正方形，这四种图形中是垂美四边形的是______； (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的说法是否正确，并说明理由； (3)问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则______． 【答案】(1)菱形和正方形 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；理解新定义，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，结合垂美四边形的定义，即可求解； （2）根据垂美四边形的定义得出对角线互相垂直，再根据勾股定理进行证明即可； （3）根据正方形的性质证明，得到对应角相等，再证明，得出四边形是垂美四边形，利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴是垂美四边形的是菱形和正方形； （2）解：如图，连接， ∵四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得, ， ， ， ∵， ， ∴； （3）解：如图，连接，相交于点，相交于点， ∵四边形和为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， 由勾股定理得,， ， ∴， ∴． 27．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有__________． ①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系． 【答案】(1)④ (2)的长为，的度数为 (3) 【分析】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，证明为等边三角形，得，，进一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得结论． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）如图，延长至点，使， ∴， ∵四边形为至善四边形，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的长为，的度数为； （3）延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 题型四 坐标系四边形存在性问题（共5小题） 28．在学习了“特殊平行四边形”这一章后，小明同学发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、、，线段、相交于点，若，证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且． ①求的长；②在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或 【分析】（1）由正方形的性质证出，再通过角的等量代换解答即可； （2）①：利用勾股定理运算求解即可； ②：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，求出直线的解析式为，设，分类讨论角的位置情况进而解答即可． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ， 在△和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为“双直四边形”； （2）解：①∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； ②存在点，使得四边形为“双直四边形” 点的坐标为或，                理由如下： 假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”， 如图2，设、的交点为， ∵，， ∴， ∴是的中点， ∴， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ①当时，则， ∴，， 则， ②当时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时点坐标还是， ③当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意； 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”，点的坐标为或． 【点睛】本题为几何综合题，涉及到了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，垂直平分线的判定及性质，一次函数的图象性质等知识点，合理分类讨论是解题的关键． 29．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 30．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 31．平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点． (1)求点的坐标； (2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在或或时，，，，，为顶点的四边形是正方形． 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：由折叠可得， ∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴． 综上所述，； （3）解：若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴即； ②如下图，过点作于点，则四边形、均为矩形，    ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴即，， ∴即， ∵四边形是正方形， ∴即； ③如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴ ∵四边形是正方形， ∴即． 综上所述，存在或或时，，，，为顶点的四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 32．如图，正方形的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点P． (1)求证：． (2)若正方形边长为5，点E的坐标为，在y轴上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（备用图在答题卡上） 【答案】(1)见解析 (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）在上截取 ，连接，求出，根据推出，，根据全等三角形的性质得出即可； （2）过点作交轴于点，连接，根据推出，根据全等三角形的性质得出，求出.根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可求出答案． 【详解】（1）证明: 如图①, 在上截取, 连接， ∵， ∴， ∵为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴； （2）轴上存在点，使得四边形是平行四边形。 如图②, 过点作交轴于点, 连接， 则, 得， 在和中, ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 因此点的坐标为． 题型五 (特殊)平行四边形的动点问题（共8小题） 33．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当F在M的右侧时，当F在M的左侧时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 34．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 【答案】 / 【分析】过作于，延长，交于点，证明，可得，点到的距离为，点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，记与的交点为，此时，且，可得，当，重合时， ，当，重合时，同理：，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点到的距离为， 点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方， 如图，当，重合时，位置为点起始位置，当，重合时，点在终点， 记与的交点为，此时，且， ， 当，重合时， ， ，， 当，重合时，同理：， ， ， 点的运动轨迹（起点到终点）长度为， 故答案为：，． 35．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 点是上的一点，且， ，， 当点在上，则， ， ， 解得：； 当点在上，如图1所示， ， 则， ， 当点在上时，不存在的情况； 当点在上，如图所示， ，， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 36．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 37．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、（点在点的上方）． (1)求、两点的坐标； (2)设的面积为，直线运动时间为秒，求与的函数表达式； (3)连结，是否存在时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）分别过点A、B作，，在 中，根据锐角三角函数解直角三角形和菱形性质，确定点的坐标，再根据矩形的性质确定点的坐标； （2）根据直线与菱形的边的交点位置不同分类讨论，利用三角形面积公式，求出对应的三角形面积和的取值范围； （3）根据（2）中的三种不同位置分类讨论，利用垂直平分线性质得到，再根据矩形性质得到，列方程求出的值． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点E，过点B作，交延长线于点F， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，，， ∴， ， ∴点坐标为， ∵，， ∴点坐标为； （2）解：当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵直线从轴出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动， ∴，此时，， 在中，，， ∴， ∴； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，，， 此时，； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（1）知，， ∴， ∵四边形为菱形，点的坐标为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）解：存在时刻，使得点在的垂直平分线上． 当直线与相交于点M，与线段相交于点N，此时，，不可能相等； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 由（2）知，， ∴， 过点B作，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ，满足； 当直线与线段相交于点M，与线段相交于点N，此时，， 由（2）知，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ， ∵， ∴ ， 解得， 当时，M、N、B三点共线，线段不存在，舍去； 综上所述，存在时刻，使得点在的垂直平分线上，此时． 【点睛】本题考查了了菱形的性质、矩形的性质和判定、垂直平分线的性质、三角形面积公式、特殊角的锐角三角函数解直角三角形、平面直角坐标系中点的坐标与线段长关系、解一元一次方程、速度和路程和时间的关系，解题关键是根据动点的位置进行分类讨论． 38．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 39．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当或或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查了动点几何问题、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边之间的关系，再利用边之间的关系列方程求解即可． （1）已知，当时，四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，设运动的时间是，可得关于的方程，解方程即可得到运动的时间； （2）当为等腰三角形，应分三种情况求解：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】（1）解：设运动的时间是， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， 从运动开始，使需经过； （2）解：当或或时，为等腰三角形， 如下图所示，过点 作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 是等腰三角形， 当时，， 解得：； 如下图所示， 当时， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 40．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1) ， ， ， （用含的代数式表示）； (2)试说明：无论为何值，四边形总是平行四边形； (3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (4)直接写出当为 时，为直角三角形． 【答案】(1)；；； (2)证明见解析 (3)当时，，理由见解析 (4)或 【分析】（1）根据题意，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，得，，再由，求解即可； （2）根据，得，再根据（1）得即可证明； （3）根据（2）所证四边形是平行四边形，利用时，四边形是菱形，菱形对角线垂直，可得，建立方程求解即可； （4）分别从与两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵四边到是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；；；； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴四边形是平行四边形． ∴无论为何值，四边形总是平行四边形； （3）解：与能垂直．理由如下： 由（2）可知：四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 此时， ∴， 解得：， ∴当时，； （4）如图，当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 如图，当时，则， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，当或时，是直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形的动点问题，考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质等知识点．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半、菱形的判定和性质． 题型六 四边形中的线段最值问题（共8小题） 41．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，根据点的轨迹及两点之间线段最短判断A选项；利用三角形中位线定理及勾股定理求出的最小值，从而判断B选项；当与重合时，分别计算，的值判断C选项；根据三角形面积公式及点位置判断D选项． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 四边形为正方形，， ，，， ， ， ， 点在以为圆心，半径为的圆弧上， ， 当，，在同一条直线上时，最小，此时， A选项结论正确，不符合题意； 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ， 当，，在同一条直线上时，最小， 此时，即的最小值为， B选项结论错误，符合题意； 当与重合时，，， 此时和均取最大值，即和均取最大值， ，的最大值为， C选项结论正确，不符合题意； ， 当取得最大值时，取最大值， 当点到的距离最大时，取最大值，当与重合时，点到的距离最大时，最大值为， 的面积最大值为， D选项结论正确，不符合题意． 42．如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 【详解】解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 43．如图，在正方形中，，是边的中点，，分别为，上的任意一点，连接，，，则四边形周长的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出的长，利用轴对称性质分别作点关于的对称点和点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长即为的最小值，构造直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，，， 是的中点， ， 如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交，于点，， 由轴对称的性质可知 ，， ， 根据两点之间线段最短，此时的值最小，即四边形的周长最小， 点与点关于直线对称， ，，， 三点共线， ， 点与点关于直线对称， ，，，，四点共线， ， 在中，由勾股定理得， 四边形周长的最小值为． 44．如图，在正方形中，点M在上运动，过点M分别作，垂足分别为点E，F，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，由四边形是正方形，得到，，由，，，判定四边形是矩形，因此，当垂直于时，最小，即最小，由勾股定理求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形，，， ， ，， 四边形是矩形， ， 当垂直于时，最小，即最小， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得：（负值舍去）， 的最小值是． 45．如图，边长为4的正方形，，为，上动点，且，点为中点．则最小值为________. 【答案】 【分析】连接，交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求得，取、、的中点为M、N、H，利用三角形的中位线性质得到，，则M、H、N共线，，，再证明，进而点G在上运动，当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度，再根据直角三角形斜边上的中线得，进而可求解． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， 取、、的中点为M、N、H， 则，， ∴M、H、N共线，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点作的垂线，交于点， 即， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， 即满足为线段的中点， ∴点G在上运动， 当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度， ∵点M、N分别是、的中点， 则， ∵ 是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 46．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 47．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点，由轴对称的性质可知，，，再利用矩形的性质，证明、，得到、，得出四边形的周长为，说明当最小时，四边形的周长最小，根据，两点之间线段最短，得出当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长，即可得到四边形周长的最小值． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证，， ， ∴四边形的周长为：， ∴当最小时，四边形的周长最小， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，   ， ， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 48．在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． （3）解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． $