专题01 四边形常考题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦四边形从基础到特殊的知识体系，以题型为载体覆盖多边形、平行四边形及特殊四边形性质与判定，注重逻辑推理与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形内角和与外角和|5题|内角与外角关系计算、正多边形边数求解|多边形内角和公式推导应用，内外角互补关系| |平行四边形性质与判定|10题|性质应用与证明、判定定理综合|从平行四边形定义出发，性质与判定双向推导| |中心对称图形识别|4题|图形对称性判断|结合四边形性质理解中心对称概念| |三角形中位线|8题|长度计算与证明|中位线定理与四边形中点连线性质结合| |矩形/菱形/正方形|28题|性质应用、判定与性质综合|从平行四边形到特殊四边形的性质递进，判定定理应用|

专题01 四边形常考题型 题型1 多边形内角和与外角和综合（常考点） 题型7 矩形的性质（常考点） 题型2 平行四边形的性质（常考点） 题型8 矩形的判定与性质综合（常考点） 题型3 平行四边形的判定与性质综合（常考点） 题型9 菱形的性质（常考点） 题型4 中心对称图形的识别（常考点） 题型10 菱形的判定与性质综合（常考点） 题型5 与三角形中位线有关的求解问题（常考点） 题型11 正方形的性质（常考点） 题型6 与三角形中位线有关的证明（常考点） 题型12 正方形的判定与性质综合（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形内角和与外角和综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·全国·期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用内角和相邻外角互补的关系求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， ∵内角与相邻外角互补， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用多边形内角与相邻外角互补，任意多边形外角和为，先求出单个外角的度数，再利用外角和求出边数． 【详解】解：设这个边形的一个外角为，则相邻的内角为， ∵ 多边形的内角与相邻外角互补， ∴ ， 解得， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 【答案】 【分析】根据七巧板中三角板的角度特征求出的度数，再结合正多边形的外角和公式求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴该正多边形的一个外角为， 设这个正多边形的边数为， ∴． 4．（2026·河北唐山·二模）在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 【答案】或 【分析】设多边形边数为，该外角的度数为，根据多边形内角和公式结合题意列出方程，再利用外角的取值范围得到关于的不等式，求解得到符合条件的正整数即可． 【详解】解：设多边形边数为，这个外角度数为，根据多边形外角的性质可得． 边形内角和为，与该外角相邻的内角度数为，根据题意得： 整理得： 解得：，即． 为正整数， 或 5．（2026·江苏扬州·二模）一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 【答案】/九 【分析】本题考查多边形的内角与外角，解题思路为先根据邻补角的性质求出正多边形的一个外角度数，再利用多边形外角和定理计算边数． 【详解】解：正多边形的一个内角是， 它的一个外角是：， 多边形的外角和为， 这个正多边形的边数是：． 题型二 平行四边形的性质（共5小题） 6．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点，，求证：，并求的长． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴； ． 【分析】由平行四边形的性质得到，，则由平行线的性质可得，，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据中心对称的性质得出； （2）证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为平行四边形的对称中心， ∴； （2）略 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【详解】略． 10．（2026·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 邻余四边形【定义】有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边为邻余线．如图1，在四边形中，和均为钝角，，所以四边形是邻余四边形，为邻余线．   【问题解决】如图2，在梯形中，，点E是的中点，连接，．若，，求证：四边形是邻余四边形． 证明：，，． ． ，即， 四边形是平行四边形（依据）． ． 点E是的中点，． ． ， 四边形是平行四边形． …… 任务： (1)【问题解决】中的“依据”指的是______． (2)请补全【问题解决】中的证明过程． (3)如图3，已知线段，以为邻余线作一个邻余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．    【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ∴， 四边形是邻余四边形； (3)解：如图，邻余四边形即为所作， 【分析】（1）根据平行四边形的判定作答即可； （2）由得，则；由得，在中，等量代换得，满足邻余四边形定义，完成证明； （3）在点处，先作出射线，即锐角，以为圆心，任意半径作弧交于点D，E，再以点D、E为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，作任意线段交线段于点C，，此时，此时，则四边形是邻余四边形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型三 平行四边形的判定与性质综合（共5小题） 11．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明 得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 12．（2026·湖北荆门·三模）已知如图，相交于点，，，求证：． 【答案】∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【分析】证明四边形为平行四边形，即可求证． 【详解】略 13．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于，求的面积． 【答案】(1)证明：的对角线，相交于点， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2)12． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据等高三角形面积比等于底之比作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ， 的面积． 14．（25-26八年级下·全国·期末）如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)10 【分析】（1）先证明，得到，再利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且．求证：四边形是平行四边形； 【答案】证明：∵点E是中点， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ，． 点是中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形． 【分析】证明四边形是平行四边形，可得，，即可求证． 【详解】略． 题型四 中心对称图形的识别（共4小题） 16．（2026·重庆·模拟预测）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 17．（2026·山西忻州·二模）随着航天、人工智能、精密制造等现代科技飞速发展，对称美学已经成为设计的核心语言．现有四幅源自前沿科技领域的设计图标，均体现了科技产品的视觉美感，请根据对称性判断下列图标是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B不符合题意； 对于选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意． 18．（2026·江苏连云港·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 19．（2026·山西忻州·二模）芯片是数字经济核心、国防安全基石．中国芯片制造业的发展，关乎科技自主与国家战略命脉．下列国产芯片制造业的标志中，其图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 题型五 与三角形中位线有关的求解问题（共4小题） 20．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段中点的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 为线段的中点，， ， ，， ， ，分别为，的中点， ． 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，M、N分别是边、上的动点，E、F分别是线段、的中点，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长，当最短时，长度最小，即当点N与点A重合时，最短，由此即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴当最长时，长度的最大，即当点N与点B重合时，最长， 此时, ∴, 当最短时，长度的最小，即当点N与点A重合时，最短，此时, ∴, 故． 22．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至，若的延长线经过点D． （1）若的面积为4，则的面积________． （2）的值为________． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，求出的面积即可； （2）取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得的值． 【详解】解：（1）∵D为斜边的中点，的面积为4， ∴； （2）如图，取中点，连接， ∵为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵为斜边的中点， ∴， ∴，即， ∴． 23．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________． 【答案】/ 【分析】如图，作，连接，延长交于，连接，，首先证明，，利用勾股定理求出，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：作，连接并延长交于，连接， ∵， ，， ， ， ∵点N为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ． 题型六 与三角形中位线有关的证明（共4小题） 24．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 25．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ． ，E分别是，的中点， ． ∴， ， ， ． 【分析】（1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 26．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，点B，E分别是边，的中点，连接并延长到点A，使，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵点B，E分别是边，的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【分析】根据中位线定理得到，，进而得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】略． 27．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，M、P、N分别是、、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由三角形的中位线定理得到，，从而有，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵M、P、N分别是、、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型七 矩形的性质（共4小题） 28．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，．若，则的度数是________． 【答案】/40度 【分析】根据矩形的性质得，再结合已知条件得，进而得出是等腰三角形，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据矩形对角线互相平分且相等得出，利用等边对等角得出答案即可． 【详解】解：连接交于点． 四边形是矩形， ，，互相平分， ， ． ， ， ． ． ． 29．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，即． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 30．（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由矩形的性质可得，，再证明，即可得证． 【详解】略 31．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】（1）根据矩形的性质得出直角和平行线，根据平行线的性质得出内错角相等，然后利用证明三角形全等； （2）由全等三角形的性质得出相等的边，设，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 设， ， ， 即， ， 在中，， ， 解得， ， ． 题型八 矩形的判定与性质综合（共4小题） 32．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． (2)45 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）根据矩形的性质得出，确定，再由矩形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ， ． ． ， ． 33．（2026·湖南·三模）如图，在中，，平分，，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到线段的距离． 【答案】(1) 证明：，平分， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，故，由得，又，故，在四边形中，有三个直角，故四边形是矩形； （2）由（1）得是直角三角形，利用勾股定理求得，设点到线段的距离为，在中，利用等面积法列出即可得到解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得， 在中，，， ， ， 设在中，点到线段的距离为，则， ，解得， 点到线段的距离为． 34．（2026·湖北武汉·一模）如图，平行四边形中，点、分别为和边上的点，且满足，连接、． (1)求证：； (2)连接与交于点，添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）平行四边形的性质：对边相等，对角相等；全等三角形的判定定理“边角边”； （2）对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件为：， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 35．（2026·广东广州·二模）如图，在中，于点，为的中点． (1)尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：点与点关于点对称， ∴点，，三点共线， 点为的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ， ∴ ∴是矩形． 【分析】（1）作射线，截取，连接，即可求解； （2）根据作图可得，根据已知可得，则四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 36．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 37．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，对角线，相交于点，且．，分别是，的中点，，分别是，上靠近点的三等分点，连接，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ，分别是，上靠近点的三等分点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，设，则， ，， ，， ， 四边形是矩形． 【分析】根据平行四边形的性质可知，，根据点，分别是，的中点，点，分别是，上靠近点的三等分点，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证结论成立． 【详解】略 题型九 菱形的性质（共4小题） 38．（2026·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， 又四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵在四边形中，，，， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由垂直的意义得到，，再根据菱形的对边平行得到，则，即可求证； （2）根据菱形得到，，，，根据勾股定理得，由，得到．而，则，那么，设平行线与间的距离为h，再由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形的周长为， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设平行线与间的距离为h， ∴， ∴， ∴平行线与间的距离为． 40．（2026·福建厦门·三模）如图，在菱形中，点在对角线上，连接．证明：． 【答案】证明见详解 【分析】利用菱形的性质可得，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 41．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先通过对角线互相平分证明四边形为平行四边形，再利用菱形对角线垂直得到直角，从而证明矩形； （2）先由矩形的性质求出菱形边长，再结合菱形的性质和含角的直角三角形的特点求出两条对角线长度，然后算出菱形面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，，，，， ， ， ，， ， ． 42．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，然后根据菱形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 菱形的判定与性质综合（共4小题） 43．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且．连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，且．求四边形的面积． 【答案】(1)证明：设交点为， 平行四边形中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，结合，易证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义求出，利用平行四边形的性质推出，易证四边形是菱形，可得，求出，利用直角三角形的性质求出，勾股定理求出，得到，利用菱形的面积公式计算即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图， ∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． (2)四边形的面积为 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 45．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由如下： 由题意得，垂直平分， ，，， 在中，， ． 又，， （ASA）， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形； （2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作于点H． 四边形是菱形， ， ， ， ． 平分，，， ， ， ， ． 46．（2026·贵州六盘水·二模）矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据菱形的判定方法可得结论； （2）先求出菱形的两条对角线的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：小颖同学的作法： ∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵ ， ∴四边形是菱形； 小亮同学的作法： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 题型十一 正方形的性质（共4小题） 47．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图，若点为边上一点，且，的周长为，求四边形的面积； (3)如图，在（2）的条件下，与交于点，连接且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）证明，得到，即可得到，即； （2）由，得到，，即可推出的周长为，得到，最后根据，得到； （3）在（2）的条件下，，，连接，过作于，由和得到，，再证明垂直平分，得到，根据三线合一得，则，设，则，，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， 连接，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵中， ∴， 解得， ∴． 48．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 49．（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质得出，得出，利用等边对等角得出，根据角的和差关系可得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：四边形为正方形， ． 点分别为的中点， ， ． ， ， ， ， ． 50．（2026·山东东营·二模）【数学猜想】如图，已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接． (1)如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【深度探究】 (2)如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点O．已知，水渠，求水库E到农田边的距离． 【答案】(1)猜想：，理由： 过点C作，交于点F，如图， 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ． (2)证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接，则是等腰直角三角形， ， ，， ， 点C为的中点， 点P为的中点， 是的中位线， ， ，即． (3)水库E到农田边的距离为 【分析】（1）过点C作，交于点F，证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，在上截取，连接，则是等腰直角三角形，再根据是的中位线，可得，即可求证； （3）过点D作交于点N，根据四边形是平行四边形，可得 ，再由勾股定理可得，从而得到，连接，在上方作，交的延长线于点M，证明，可得，，再证明，可得 ，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点D作交于点N， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 连接，在上方作，交的延长线于点M， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库E到农田边的距离为 ． 题型十二 正方形的判定与性质综合（共4小题） 51．（25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，过点M作于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)3． 【分析】（1）过点M作于点P，于点Q，证明四边形是正方形，进而证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点M作于点V，交于点T，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图2，过点M作于点V，交于点T， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．（25-26九年级下·甘肃兰州·阶段检测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化；理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出，再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点P作于点M，作于点G，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：的大小不发生变化；理由如下： 如图，四边形是正方形，过点P作于点M，作于点G， ∴平分，， ∴． 又∵，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，． 由旋转得，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴的大小不发生变化． 53．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形为菱形，点E为对角线上的任意一点（点E不与A，C重合），连接并延长交直线于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，若且，求的度数； (3)若且为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ，， 在和中，， ； (2)60° (3)或 【分析】（1）根据菱形性质，利用证明全等； （2）由（1）知，结合，得到，根据菱形性质得到，列方程求出的度数； （3）由菱形及得正方形，根据为等腰三角形，分类讨论，结合正方形的性质列方程求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ， 设，则， ∵四边形为菱形， ，， ， 由得：，即， 解得：． ， ； （3）解：∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形． ，， 分两种情况：①如图1，当F在延长线上时． 为钝角， ∴只能是， 设， 由（1）知，， ， 又， ， ， ， ， 解得， ； ②如图2，当F在线段上时． 为钝角， ∴只能是， 设，则， 由（1）知：， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 54．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，面积为4 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． $专题01 四边形常考题型 题型1 多边形内角和与外角和综合（常考点） 题型7 矩形的性质（常考点） 题型2 平行四边形的性质（常考点） 题型8 矩形的判定与性质综合（常考点） 题型3 平行四边形的判定与性质综合（常考点） 题型9 菱形的性质（常考点） 题型4 中心对称图形的识别（常考点） 题型10 菱形的判定与性质综合（常考点） 题型5 与三角形中位线有关的求解问题（常考点） 题型11 正方形的性质（常考点） 题型6 与三角形中位线有关的证明（常考点） 题型12 正方形的判定与性质综合（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形内角和与外角和综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·全国·期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·陕西西安·模拟预测）西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 4．（2026·河北唐山·二模）在一个n边形中，和一个内角相邻的外角与其余内角度数的总和为，则_____． 5．（2026·江苏扬州·二模）一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 题型二 平行四边形的性质（共5小题） 6．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 7．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点，，求证：，并求的长． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 10．（2026·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 邻余四边形【定义】有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边为邻余线．如图1，在四边形中，和均为钝角，，所以四边形是邻余四边形，为邻余线．   【问题解决】如图2，在梯形中，，点E是的中点，连接，．若，，求证：四边形是邻余四边形． 证明：，，． ． ，即， 四边形是平行四边形（依据）． ． 点E是的中点，． ． ， 四边形是平行四边形． …… 任务： (1)【问题解决】中的“依据”指的是______． (2)请补全【问题解决】中的证明过程． (3)如图3，已知线段，以为邻余线作一个邻余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．    题型三 平行四边形的判定与性质综合（共5小题） 11．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 12．（2026·湖北荆门·三模）已知如图，相交于点，，，求证：． 13．（25-26八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于，求的面积． 14．（25-26八年级下·全国·期末）如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 15．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且．求证：四边形是平行四边形； 题型四 中心对称图形的识别（共4小题） 16．（2026·重庆·模拟预测）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·山西忻州·二模）随着航天、人工智能、精密制造等现代科技飞速发展，对称美学已经成为设计的核心语言．现有四幅源自前沿科技领域的设计图标，均体现了科技产品的视觉美感，请根据对称性判断下列图标是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏连云港·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·山西忻州·二模）芯片是数字经济核心、国防安全基石．中国芯片制造业的发展，关乎科技自主与国家战略命脉．下列国产芯片制造业的标志中，其图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型五 与三角形中位线有关的求解问题（共4小题） 20．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，连接，、分别为、的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在四边形中，，，，M、N分别是边、上的动点，E、F分别是线段、的中点，则的取值范围为_______． 22．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至，若的延长线经过点D． （1）若的面积为4，则的面积________． （2）的值为________． 23．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________． 题型六 与三角形中位线有关的证明（共4小题） 24．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 25．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 26．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，点B，E分别是边，的中点，连接并延长到点A，使，连接．求证：四边形为平行四边形． 27．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，M、P、N分别是、、的中点．求证：． 题型七 矩形的性质（共4小题） 28．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，是延长线上一点，连接，，．若，则的度数是________． 29．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：． 30．（2026·福建厦门·二模）已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 31．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 题型八 矩形的判定与性质综合（共4小题） 32．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 33．（2026·湖南·三模）如图，在中，，平分，，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到线段的距离． 34．（2026·湖北武汉·一模）如图，平行四边形中，点、分别为和边上的点，且满足，连接、． (1)求证：； (2)连接与交于点，添加一个与线段有关的条件，使四边形为矩形．（不需要证明） 35．（2026·广东广州·二模）如图，在中，于点，为的中点． (1)尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是矩形． 36．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 37．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，对角线，相交于点，且．，分别是，的中点，，分别是，上靠近点的三等分点，连接，，，．求证：四边形是矩形． 题型九 菱形的性质（共4小题） 38．（2026·浙江温州·二模）如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 39．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点，，分别作，，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长为，，求平行线与间的距离． 40．（2026·福建厦门·三模）如图，在菱形中，点在对角线上，连接．证明：． 41．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 42．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 题型十 菱形的判定与性质综合（共4小题） 43．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且．连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，且．求四边形的面积． 44．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 45．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 46．（2026·贵州六盘水·二模）矩形的对角线，相交于点，小颖、小亮两名同学以矩形的对角线为边作菱形．具体作法如下： 小颖同学的作法 小亮同学的作法 延长至，使延长至，使，连接，，． 过点作，且，过点作，且，连接．       (1)请选择其中一名同学的作法，证明四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型十一 正方形的性质（共4小题） 47．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图，若点为边上一点，且，的周长为，求四边形的面积； (3)如图，在（2）的条件下，与交于点，连接且，，求的长． 48．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 49．（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 50．（2026·山东东营·二模）【数学猜想】如图，已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接． (1)如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【深度探究】 (2)如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、H、G（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点O．已知，水渠，求水库E到农田边的距离． 题型十二 正方形的判定与性质综合（共4小题） 51．（25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 52．（25-26九年级下·甘肃兰州·阶段检测）按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点P逆时针旋转，使点B落在的延长线上的点E处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 53．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形为菱形，点E为对角线上的任意一点（点E不与A，C重合），连接并延长交直线于点F，连接． (1)求证：； (2)如图2，若且，求的度数； (3)若且为等腰三角形时，直接写出的度数． 54．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； $