专题02勾股定理期末易错压轴题型专练(27大题型共计92道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理全章高频易错与压轴题型，通过27类细分题型的典题特征归纳与解题思路提炼，构建从基础应用到综合拓展的系统性突破体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型（1-17）|17类基础应用|坐标距离用横纵差平方和开方、勾股数需正整数且满足平方关系、实际问题构造直角三角形|从概念（勾股数）到性质（平方和差）再到简单应用（梯子滑落、航海问题），层层递进| |压轴题型（18-27）|10类综合拓展|折叠问题设未知数列勾股方程、最短路径展开平面求斜边、动点问题用t表示线段列方程|从图形变换（折叠）到动态问题（动点）再到最值探究，综合考查空间观念与模型意识|

专题02勾股定理期末易错压轴题型专练 本专练聚焦勾股定理全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.已知两点坐标求两点距离 易错02.勾股数问题 易错03.直角三角形三边为边长的图形面积 易错04.勾股定理与网格问题 易错05.勾股定理求线段平方和差 易错06.勾股定理与无理数 易错07.求梯子滑落高度 易错08.求大树折断前的高度 易错09.水杯中筷子问题 易错10.航海问题 易错11.求河宽 易错12.求台阶上地毯长度 易错13.判断汽车是否超速 易错14.判断是否受台风影响 易错15.三边能否构成三角形的判定 易错16.利用勾股逆定理求解 易错17.勾股定理逆定理的实际应用 压轴18.勾股定理与折断问题 压轴19.勾股定理证明线段平方关系 压轴20.以弦图为背景的计算题 压轴21.勾股定理构造图形解决问题 压轴22.求最短路径 压轴23.找两点构成直角三角形的点 压轴24.勾股定理逆定理的拓展问题 压轴25.勾股定理中的动点问题 压轴26.直角三角形分类讨论综合 压轴27.勾股定理中的最值问题 易错01.已知两点坐标求两点距离 典题特征：平面直角坐标系给出两个点的坐标，求两点线段长度。 解题思路：横坐标相减、纵坐标相减得到水平、竖直直角边，再用勾股定理：距离²=横差²+纵差²，最后开方。 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 2．已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【分析】利用两点间距离公式求出三边的长度，根据边的数量关系判断三角形的形状． 【详解】解：，，， 可得， 即， 因此是等腰三角形． 3．二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 【答案】D 【分析】将二次根式转化为两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：可看成点到点或点的距离， 可看成点到点或点的距离， ∵点关于x轴对称，点关于x轴对称， ∴连接交x轴于点A，此时取最小值，此时． 4．阅读下列材料： 如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)已知点，点．求A，B两点之间的距离； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据题干中的公式求解即可； （2）根据题意将代数式变形为，则代数式可看作点到点的距离与点到点的距离之和，当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点 ∴； （2）解： 可将代数式的值看作点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离， ∵ 的最小值为． 易错02.勾股数问题 典题特征：给出一组整数，判断是否为勾股数，或找最简/倍数勾股数。 解题思路：①必须是正整数；②最小两个数平方和=最大数平方；③倍数勾股数依然是勾股数。 5．下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有__________．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：①，是勾股数，符合题意； ②，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故答案为：①②． 6．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 【答案】 【分析】规律：增加的正方形个数是前一次正方形个数的2倍，由此即可求解． 【详解】解：图（1）正方形个数为1个； 图（2）的正方形增加2个， 图（3）的正方形增加个， 图（4）的正方形增加个， 图（5）的正方形增加个， 图（6）的正方形增加个， 则图（6）中共有正方形的个数为（个）． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B、最大数为15，，，，故该选项不符合题意； C、最大数为，，满足平方和关系，故该选项符合题意； D、，，，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意． 易错03.直角三角形三边为边长的图形面积 典题特征：以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，求面积关系。 解题思路：直角两边图形面积之和 = 斜边图形面积，直接代面积公式套勾股关系。 8．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 9．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此： 正方形A面积 + 正方形B面积 = 中间第一个正方形的面积， 正方形C面积 + 正方形D面积 = 中间第二个正方形的面积， 正方形E的面积 = 两个中间正方形的面积和 = ． 【详解】解：∵， ∴正方形的边长为． 10．勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， ∴第4个图形中共有（个）正方形． 11．结合图形解答下列问题： (1)“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，它简约美观不失深厚，是数形结合思想的典型体现．图形呈中心对称．内部由个全等的直角三角形围着一个小正方形形成，外部则是将这个三角形的顶点连接成一个大正方形．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这个直角三角形拼成图，求图中大正方形的面积； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是，得出，得到，即可求解； （2）根据题意得出，解得，最后代入，即可求解． 【详解】（1）解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是， ， 小正方形的面积是， ， ， 图中大正方形的面积为； （2）把代入得， 解得， 则． 易错04.勾股定理与网格问题 典题特征：方格网里给斜线段，求线段长、周长、三角形面积。 解题思路：把斜线当作斜边，框出直角矩形，数横竖格数当直角边，再用勾股定理计算。 12．如图，每个小正方形的边长为1，则在中，边长为无理数的边有 ______ 条． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，确定以、、为斜边的直角三角形的直角顶点及每条直角边的长是解答该题的关键． 【详解】解：如图，设以的边、、为斜边的直角三角形的直角顶点分别为D、E、F，  ∵， ，，，，，， ∴， ，， ∴的三条边都是无理数，  故答案为：3． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值． 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 14．如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点． 将向上平移一个小正方形的边长到，连接，设每个小正方形的边长为，通过证明，得到，通过证明是等腰直角三角形，得到，进而得到． 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 15．如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 【答案】(1)7；5 (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理作线段，从点A向右平移7个单位长度，再向下移动1个单位长度得到点，连接． 【详解】（1）解：由图形可知，、； （2）解：如图，线段即为所求， 由勾股定理得：． 易错05.勾股定理求线段平方和差 典题特征：题目不求边长，只求多条线段的平方相加、平方相减的值。 解题思路：不单独开方，整体代换，全部转化到同一个直角三角形三边平方关系计算。 16．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】解：以4，5为直角边的直角三角形斜边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 17．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，解得，结合计算解答即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 18．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求出的面积，根据三角形中线的性质即可求出的面积. 【详解】解：， ， 在中，， 是边上的中线， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 19．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 易错06.勾股定理与无理数 典题特征：算出的边长开不尽方，结果为无理数，要求保留最简根式。 解题思路：正常勾股计算，最后结果二次根式化简，不近似小数。 20．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 21．如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 【答案】/ 【分析】根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离求出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示和0， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， 点表示的数为， 故答案为：． 22．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，确定对应的数，进而求出，，，等点对应的数，通过观察数据找出的规律，最后代入的值求解． 【详解】解：由图可知，点坐标为，点坐标为， ∴， ∵以长度为半径，原点为圆心画圆交数轴正半轴于点， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为3， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， ∵，在的右侧取最近整数点， ∴对应的数为4， ∵以为圆心，长为半径画圆交数轴正半轴于点， ∴， ∴对应的数为， 同理可得对应的数为5，对应的数为， ， 观察规律可知： 对应的数为， 对应的数为， ， 对应的数为， ∵， ∴对应的数为． 故选：A． 易错07.求梯子滑落高度 典题特征：梯子斜靠墙，顶端下滑、底端外移，求变化前后高度、距离。 解题思路：梯子长度不变（斜边固定），前后分别构造两个直角三角形，分别算高和底边长，再求差值。 23．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 【答案】 【分析】根据勾股定理，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 24．如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 25．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：梯子底端与地面的距离的长为； （2）解：由题意可知，梯子的顶端下滑了到达点，则， 在中，， ， 答：梯子的底端向后滑动了米． 易错08.求大树折断前的高度 典题特征：大树折断，顶部触地，求原树总高。 解题思路：折断上段为斜边、下段为直角边、地面距离为另一直角边，求出斜边长，下段+斜边=总高。 26．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 27．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 【答案】B 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故这棵大树在折断前的高度为米， 故选B． 28．如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 易错09.水杯中筷子问题 典题特征：筷子斜插圆柱水杯，求筷子露出长度范围。 解题思路：杯内最短是竖直高，杯内最长是杯体对角线（底面直径和高为直角边），再求露出长度区间。 29．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 30．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是______． . 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据题意画出图形， 利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：根据题意可得图形： ，， 在中：， 这支铅笔的长度可能是 31．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 【答案】水的深度为，芦苇的长度是． 【分析】设水的深度为，根据题意表示出芦苇的长度，根据勾股定理列出方程，问题得解． 【详解】解：设水的深度为，则芦苇的长度是， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴水的深度为，则芦苇的长度是． 易错10.航海问题 典题特征：轮船两次垂直方向航行，求直线距离。 解题思路：两次航线互相垂直，构成直角三角形，直接用勾股求直线斜边距离。 32．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 33．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【答案】 【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， 即此时两艘轮船相距． 34．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 易错11.求河宽 典题特征：对岸定点，岸边走一段距离，构造直角三角形求垂直河宽。 解题思路：河宽是竖直直角边，已知斜边和水平边，勾股逆求河宽。 35．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 36．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 37．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 易错12.求台阶上地毯长度 典题特征：求铺满台阶的地毯总长。 解题思路：所有水平边相加 + 所有竖直边相加，转化为一个大直角三角形两条直角边之和。 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 39．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 40．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 易错13.判断汽车是否超速 典题特征：已知行驶路程、时间，结合勾股求实际速度，对比限速。 解题思路：先用勾股求实际行驶直线距离，再算速度，和标准速度对比判断。 41．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 42．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 43．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 易错14.判断是否受台风影响 典题特征：台风沿直线移动，判断某点是否进入影响范围。 解题思路：求定点到台风路线最短垂直距离，小于影响半径即受影响。 44．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 45．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 46．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 易错15.三边能否构成三角形的判定 典题特征：给三条边长，判定是否为Rt△。 解题思路：找最大边，验证：短边²+短边²=最大边²，成立即为直角三角形。 47．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（     ） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．，，2 D．1，， 【答案】C 【分析】先确定每个选项的最长边，计算最长边的平方与另外两条短边的平方和，比较二者是否相等，不相等的即为不能组成直角三角形的选项． 【详解】解：A、最长边为13，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； B、最长边为0.5，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； C、最长边为2，∵，，∴，不能组成直角三角形，符合题意； D、最长边为，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意． 48．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 49．在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系判定三角形的形状是解题的关键．将给定等式化简得到，即，根据勾股定理的逆定理，可判断为直角． 【详解】， ， ， 是直角三角形，且a为斜边，为直角． 故选：A． 易错16.利用勾股逆定理求解 典题特征：图形或实际场景，证明某角是直角、图形是直角三角形。 解题思路：算出三边平方，验证平方关系，先算、后判、最后写直角。 50．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 51．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 52．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 53．如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 【答案】150 【分析】勾股定理求出的长，逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：， ， ∵，， ， ∵，， ， 是直角三角形，且， ． 易错17.勾股定理逆定理的实际应用 典题特征：图形或实际场景，证明某角是直角、图形是直角三角形。 解题思路：算出三边平方，验证平方关系，先算、后判、最后写直角。 54．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 55．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，，要从A修一条公路直达，已知公路的造价为元，求这条公路的最低造价是_________万元． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，垂线段的性质，先根据证明是直角三角形，由垂线段最短，可得当时最短，造价最低．利用等面积法计算出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 当时最短，造价最低， 故过A点作，垂足为D，如图， ∵， ∴ ， ∴（元）． 即最低造价为12万元． 故答案为：12． 56．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区的边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1)蔬菜区的边长为 (2)花卉区的面积为 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：，， ； 答：蔬菜区的边的长为； （2）解：，，， ，而， ， ， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 压轴18.勾股定理与折叠问题 典题特征：三角形、长方形折叠，边角重合，求线段长。 解题思路：①折叠边相等；②设未知数；③找含未知数的直角三角形；④列勾股方程解方程。 57．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 58．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） . A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 59．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 60．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 压轴19.勾股定理证明线段平方关系 典题特征：求证：线段a²±线段b²=线段c²，无数值、纯证明。 解题思路：作垂线构造直角三角形，把所有线段平方转化到勾股定理关系式中代换证明。 61．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 62．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 63．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 压轴20.以弦图为背景的计算题 典题特征：内外正方形、四个全等直角三角形组成弦图，知边长求边长、面积。 解题思路：区分大正方形斜边、小正方形边长差，利用直角三角形勾股联立计算。 64．三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 【答案】4 【分析】理解“赵爽弦图”，结合小正方形的面积等于边长乘边长进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，， 则 ∴空白部分的小正方形的面积为． 65．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 【答案】25 【分析】由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， 由可得，， ∴， ∴， ∴． 66．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 67．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】（1）44；（2）2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组． （1）设直角三角形的两直角边为，斜边为．根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是4，得出，即可求解． （2）根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直角三角形的两直角边为，斜边为． ∵图1中大正方形的面积是24， ． ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积为． （2）把代入得 ， ，得． 压轴21.勾股定理构造图形解决问题 典题特征：无直角三角形，需要自己画辅助线造直角三角形解题。 解题思路：过关键点作水平/竖直垂线，分割出标准Rt△，再套勾股计算。 68．如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【答案】不能 【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答． 【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 69．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 70．数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把加法算式中的两部分转化成线段是解题的关键． 如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ．易得当A、E、C三点共线，则的值最小为，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ． ∴， ∴当A、E、C三点共线，则的值最小为， 如图：在中，，， ∴． 故选D． 71．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 压轴22.求最短路径 典题特征：立体表面、平面折线，求两点之间最短距离。 解题思路：展开成平面，两点之间线段最短，构造直角三角形求斜边。 72．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 73．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 74．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时，有最大值为． 压轴23.找两点构成直角三角形的点 典题特征：给定两点，找第三个点使三角形为直角三角形。 解题思路：分三类：第一个点为直角、第二个点为直角、第三点为直角，分类找点，不漏解。 75．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若 点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 76．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 77．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 压轴24.勾股定理逆定理的拓展问题 典题特征：多三角形组合、复杂图形，判断直角、多结论正误。 解题思路：逐个三角形验证平方关系，结合全等、边长代换综合判断。 78．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 79．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 80． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 压轴25.勾股定理中的动点问题 典题特征：点在线段/射线上运动，随时间变化求边长、周长、面积。 解题思路：用时间t表示动态线段长度，固定直角三角形不变关系，列勾股方程求解。 81．如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查“垂线段最短”，勾股定理，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 推导出当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，求出，根据，得到，解得，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 82．如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积计算； 先利用勾股定理求出，进而可得及点B到的距离，然后求出面积最小时，点E到的距离，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点B到的距离为， ∵点为的中点， ∴， ∵点在平面内运动，满足， ∴当面积最小时，点E到的距离为， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 83．如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 【答案】5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 84．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 压轴26.直角三角形分类讨论综合 典题特征：折叠、动点背景，题目只说“是直角三角形”，不指定哪个角是直角。 解题思路：固定三步 ①∠A=90° ②∠B=90° ③∠C=90° 三种情况 每种情况单独画图、列勾股方程、取舍合理答案。 85．如图，在中，，，，点D为边上一动点，交于点E，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．分两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解． 【详解】解：当时， ∵将沿直线折叠，点A的对应点为F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴， 当时，点F与点B重合，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 86．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 【答案】4或5或 【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图， ； ②当时，如图， ， 则； ③当时，如图， ，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，t的值是4或5或 ． 87．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形,再结合折叠的性质以及勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：当时， 将沿折叠到， ， ， 点、、三点共线， ，， 由勾股定理得， 设， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， 当时， ， ， ， 结合折叠的性质，折叠后的点的位置无法使得， 综上，或． 88．在中，，点D，点E分别为延长线上一点且，连接． (1)如图1，当，时， ①求的长； ②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点E顺时针旋转大小得到线段；（要求：保留画图痕迹，不写作法） ③问题②中，若射线与射线交于点G，则线段的长为 ； (2)，过C点作交于F点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①；②见解析；③ (2)当为直角三角形时，的长为或 【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解，求出，再证是等边三角形，结合即可求解；②根据角平分线的作法作，根据作一个角等于已知角的方法，作；③证明，推出，再求出，进而即可求解； （2）分两种情况：时，过点E作于点G，通过证明，，为等腰直角三角形求解；当时，，为等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①过点E作于点F， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图， ③∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵点E为延长线上一点， ∴点A，B，E不在一条直线上， ∴， 当时，过点E作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 综上，当为直角三角形时，的长为或． 压轴27.勾股定理中的最值问题 典题特征：动点运动，求线段最小值、线段平方最小值。 解题思路：利用垂线段最短或两点之间线段最短，转化为直角三角形斜边最短问题。 89．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 90．如图，，点P是内任意一点，，M、N分别是射线、上的动点，则周长的最小值为________． 【答案】 【分析】如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ， 又 ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∴的周长的最小值为． 91．如图，在Rt中，．点D，E分别为边上的动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则面积的最大值为_______________． 【答案】 【分析】将绕点D，旋转，得到；再将点D、点E移动的距离，设为未知数，利用直角三角形的角、勾股定理，获取的高，用于表示的面积，得到关于的函数；结合n的取值范围，求面积函数的最大值，最终得到的最大面积． 【详解】解：将绕点D，旋转，得到，点F与点E重合，如下图： ， , 设，过点E作的垂线，垂足为H，延长，相交于点G， ， ， （对顶角相等）， ， ， ， 在中，， ， , , ， ， ， 如果要使最大，n取最大值：， ， 配方得：， 当时，取得最大值，最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为：． 92．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理期末易错压轴题型专练 本专练聚焦勾股定理全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.已知两点坐标求两点距离 易错02.勾股数问题 易错03.直角三角形三边为边长的图形面积 易错04.勾股定理与网格问题 易错05.勾股定理求线段平方和差 易错06.勾股定理与无理数 易错07.求梯子滑落高度 易错08.求大树折断前的高度 易错09.水杯中筷子问题 易错10.航海问题 易错11.求河宽 易错12.求台阶上地毯长度 易错13.判断汽车是否超速 易错14.判断是否受台风影响 易错15.三边能否构成三角形的判定 易错16.利用勾股逆定理求解 易错17.勾股定理逆定理的实际应用 压轴18.勾股定理与折断问题 压轴19.勾股定理证明线段平方关系 压轴20.以弦图为背景的计算题 压轴21.勾股定理构造图形解决问题 压轴22.求最短路径 压轴23.找两点构成直角三角形的点 压轴24.勾股定理逆定理的拓展问题 压轴25.勾股定理中的动点问题 压轴26.直角三角形分类讨论综合 压轴27.勾股定理中的最值问题 易错01.已知两点坐标求两点距离 典题特征：平面直角坐标系给出两个点的坐标，求两点线段长度。 解题思路：横坐标相减、纵坐标相减得到水平、竖直直角边，再用勾股定理：距离²=横差²+纵差²，最后开方。 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 3．二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 4．阅读下列材料： 如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)已知点，点．求A，B两点之间的距离； (2)求代数式的最小值． 易错02.勾股数问题 典题特征：给出一组整数，判断是否为勾股数，或找最简/倍数勾股数。 解题思路：①必须是正整数；②最小两个数平方和=最大数平方；③倍数勾股数依然是勾股数。 5．下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有__________．（填序号） 6．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中图（1）是正方形，图（2）是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到图（3），…，则图（6）中共有________个正方形． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 易错03.直角三角形三边为边长的图形面积 典题特征：以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，求面积关系。 解题思路：直角两边图形面积之和 = 斜边图形面积，直接代面积公式套勾股关系。 8．如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 9．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 10．勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 11．结合图形解答下列问题： (1)“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，它简约美观不失深厚，是数形结合思想的典型体现．图形呈中心对称．内部由个全等的直角三角形围着一个小正方形形成，外部则是将这个三角形的顶点连接成一个大正方形．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这个直角三角形拼成图，求图中大正方形的面积； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，求的值． 易错04.勾股定理与网格问题 典题特征：方格网里给斜线段，求线段长、周长、三角形面积。 解题思路：把斜线当作斜边，框出直角矩形，数横竖格数当直角边，再用勾股定理计算。 12．如图，每个小正方形的边长为1，则在中，边长为无理数的边有 ______ 条． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 14．如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 15．如图，在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)的边_______，_______； (2)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． 易错05.勾股定理求线段平方和差 典题特征：题目不求边长，只求多条线段的平方相加、平方相减的值。 解题思路：不单独开方，整体代换，全部转化到同一个直角三角形三边平方关系计算。 16．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 17．如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________． 18．如图，在中，边上的中线交于点O，则的面积为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 19．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 易错06.勾股定理与无理数 典题特征：算出的边长开不尽方，结果为无理数，要求保留最简根式。 解题思路：正常勾股计算，最后结果二次根式化简，不近似小数。 20．如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 21．如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 22．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（    ） A． B． C． D． 易错07.求梯子滑落高度 典题特征：梯子斜靠墙，顶端下滑、底端外移，求变化前后高度、距离。 解题思路：梯子长度不变（斜边固定），前后分别构造两个直角三角形，分别算高和底边长，再求差值。 23．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 24．如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 25．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 易错08.求大树折断前的高度 典题特征：大树折断，顶部触地，求原树总高。 解题思路：折断上段为斜边、下段为直角边、地面距离为另一直角边，求出斜边长，下段+斜边=总高。 26．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 27．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 28．如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 易错09.水杯中筷子问题 典题特征：筷子斜插圆柱水杯，求筷子露出长度范围。 解题思路：杯内最短是竖直高，杯内最长是杯体对角线（底面直径和高为直角边），再求露出长度区间。 29．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 30．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是______． . 31．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 易错10.航海问题 典题特征：轮船两次垂直方向航行，求直线距离。 解题思路：两次航线互相垂直，构成直角三角形，直接用勾股求直线斜边距离。 32．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 33．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 34．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 易错11.求河宽 典题特征：对岸定点，岸边走一段距离，构造直角三角形求垂直河宽。 解题思路：河宽是竖直直角边，已知斜边和水平边，勾股逆求河宽。 35．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 36．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 37．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 易错12.求台阶上地毯长度 典题特征：求铺满台阶的地毯总长。 解题思路：所有水平边相加 + 所有竖直边相加，转化为一个大直角三角形两条直角边之和。 38．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 39．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 40．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 易错13.判断汽车是否超速 典题特征：已知行驶路程、时间，结合勾股求实际速度，对比限速。 解题思路：先用勾股求实际行驶直线距离，再算速度，和标准速度对比判断。 41．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 42．如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 43．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 易错14.判断是否受台风影响 典题特征：台风沿直线移动，判断某点是否进入影响范围。 解题思路：求定点到台风路线最短垂直距离，小于影响半径即受影响。 44．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 45．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 46．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 易错15.三边能否构成三角形的判定 典题特征：给三条边长，判定是否为Rt△。 解题思路：找最大边，验证：短边²+短边²=最大边²，成立即为直角三角形。 47．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（     ） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．，，2 D．1，， 48．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 49．在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 易错16.利用勾股逆定理求解 典题特征：图形或实际场景，证明某角是直角、图形是直角三角形。 解题思路：算出三边平方，验证平方关系，先算、后判、最后写直角。 50．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 51．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 52．如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 53．如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，，求的面积． 易错17.勾股定理逆定理的实际应用 典题特征：图形或实际场景，证明某角是直角、图形是直角三角形。 解题思路：算出三边平方，验证平方关系，先算、后判、最后写直角。 54．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 55．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，，要从A修一条公路直达，已知公路的造价为元，求这条公路的最低造价是_________万元． 56．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区的边的长； (2)求花卉区的面积． 压轴18.勾股定理与折叠问题 典题特征：三角形、长方形折叠，边角重合，求线段长。 解题思路：①折叠边相等；②设未知数；③找含未知数的直角三角形；④列勾股方程解方程。 57．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 58．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） . A．6 B．7 C．8 D．9 59．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 60．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 压轴19.勾股定理证明线段平方关系 典题特征：求证：线段a²±线段b²=线段c²，无数值、纯证明。 解题思路：作垂线构造直角三角形，把所有线段平方转化到勾股定理关系式中代换证明。 61．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 62．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 63．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 压轴20.以弦图为背景的计算题 典题特征：内外正方形、四个全等直角三角形组成弦图，知边长求边长、面积。 解题思路：区分大正方形斜边、小正方形边长差，利用直角三角形勾股联立计算。 64．三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 65．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 66．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 67．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 压轴21.勾股定理构造图形解决问题 典题特征：无直角三角形，需要自己画辅助线造直角三角形解题。 解题思路：过关键点作水平/竖直垂线，分割出标准Rt△，再套勾股计算。 68．如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 69．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 70．数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 71．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 压轴22.求最短路径 典题特征：立体表面、平面折线，求两点之间最短距离。 解题思路：展开成平面，两点之间线段最短，构造直角三角形求斜边。 72．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 73．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 74．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 压轴23.找两点构成直角三角形的点 典题特征：给定两点，找第三个点使三角形为直角三角形。 解题思路：分三类：第一个点为直角、第二个点为直角、第三点为直角，分类找点，不漏解。 75．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若 点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 76．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 77．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 压轴24.勾股定理逆定理的拓展问题 典题特征：多三角形组合、复杂图形，判断直角、多结论正误。 解题思路：逐个三角形验证平方关系，结合全等、边长代换综合判断。 78．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B． C．D． 79．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 80． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 压轴25.勾股定理中的动点问题 典题特征：点在线段/射线上运动，随时间变化求边长、周长、面积。 解题思路：用时间t表示动态线段长度，固定直角三角形不变关系，列勾股方程求解。 81．如图，在中，，，点P是上的动点，的最小值为_______． 82．如图，在中，，点为的中点，点在平面内运动，满足，连接，则的面积的最小值为___________． 83．如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 84．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 压轴26.直角三角形分类讨论综合 典题特征：折叠、动点背景，题目只说“是直角三角形”，不指定哪个角是直角。 解题思路：固定三步 ①∠A=90° ②∠B=90° ③∠C=90° 三种情况 每种情况单独画图、列勾股方程、取舍合理答案。 85．如图，在中，，，，点D为边上一动点，交于点E，将沿直线折叠，点A的对应点为F，当是直角三角形时，的长为______． 86．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值是____________． 87．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为_____． 88．在中，，点D，点E分别为延长线上一点且，连接． (1)如图1，当，时， ①求的长； ②尺规作图：作的角平分线，将线段绕点E顺时针旋转大小得到线段；（要求：保留画图痕迹，不写作法） ③问题②中，若射线与射线交于点G，则线段的长为 ； (2)，过C点作交于F点（不需要尺规作图），当为直角三角形时，求的长． 压轴27.勾股定理中的最值问题 典题特征：动点运动，求线段最小值、线段平方最小值。 解题思路：利用垂线段最短或两点之间线段最短，转化为直角三角形斜边最短问题。 89．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 90．如图，，点P是内任意一点，，M、N分别是射线、上的动点，则周长的最小值为________． 91．如图，在Rt中，．点D，E分别为边上的动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则面积的最大值为_______________． 92．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $