期末题型特训：解答题篇-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识点，以解答题题型为载体，系统覆盖二次根式、勾股定理等六大模块，注重知识逻辑递进与实际应用，通过典例培养数学眼光、思维与语言，助力期末专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|4题（含定义新运算、实际应用）|概念辨析、运算化简、实际建模|从概念到运算，结合生活情境体现应用意识| |勾股定理|4题（含综合实践）|计算、证明、最短路径、测量应用|以直角三角形为核心，延伸至实际问题解决| |四边形|6题（含性质判定、动态探究）|平行四边形、菱形等性质与判定，综合证明|平面图形性质的递进应用，培养推理意识| |函数|2题（含图像分析、建模）|规律探究、图像解读|从具体情境抽象函数关系，发展模型意识| |一次函数|4题（含图像、性质、应用）|解析式、图像性质、实际应用|函数概念的具体体现，强化数形结合思维| |数据的分析|4题（含统计量计算、决策）|平均数、方差等计算与应用|通过数据处理培养数据意识，助力理性决策|

期末题型特训：解答题篇-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 题型导航 题型一：二次根式 题型二：勾股定理 题型三：四边形 题型四：函数 题型五：一次函数 题型六：数据的分析 题型特训 题型一：二次根式 1．计算： （1） （2） 2．定义：若两个二次根式m，n满足m·n=p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”. （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m. 3． 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来严重.为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度v(单位：m/s)和高度h(单位：m)近似满足公式： (不考虑风速的影响， 已知小临所住小区楼层高度规律为第 n楼高度 （1）小临家在2楼，即 n=2，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度； （2）计算当从 n楼坠落时，物品落地时的速度. 4．形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如：因为所以与互为有理化因式. （1）判断与是不是互为有理化因式，并说明理由. （2）化简（n为正有理数）. （3）请比较大小：　 　（填“>”或“<”）. 题型二：勾股定理 5．如图，在△ABC中， CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9. （1）求AB 的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由. 6．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 7．如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 8．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题. 活动项目 测量风筝的垂直高度 EF. 测量工具 皮尺等. 示意图 测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB. 测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°. 问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF； 任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米? 题型三：四边形 9．在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， D是BC的中点， E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 BE的延长线于点 F. （1）求证：四边形 ADCF 是菱形； （2）若AC=3， AB=4，求菱形ADCF的面积. 10．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边BC 的中点，连接AE，F 为边CD 上一点，且满足 （1）若 求 的度数； （2）求证：AF=CD+CF. 11．如图，在△ABF中，点E是AB的中点，延长BF至点D，使得DF＝BF，连接AD，延长EF至点C，使得CF＝AD，连接CD． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF＝1，，求AC的长． 12．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． （1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有：　 　． （2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 13．如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，OC的中点，连结EF，交OD于点G. （1）当n=1且AB=4时，如图2，求△AEF的面积. （2）若EF⊥BD，求此时n的值. （3）连结OE，请问△OEG能否为等腰三角形，若能，求出n的值，若不能，请说明理由. 14．如图1， 在平行四边形ABCD中， 为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD， CD于点E，F、连结 EF，BF=EF. （1） 求证： ； （2） 求证： ； （3）如图2，若 以点B为原点建立平面直角坐标系．点C坐标为，点P 为直线CE 上一动点，当 时，直接写出点 P 的坐标. 题型四：函数 15．将若干张长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸条长度 30 80 105 … （1）根据图，将表格补充完整． （2）设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？ （3）你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？ 16．如为小强在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题： （1）图象中自变量是 _______ ，因变量是_____ ； （2）9时，10时30分，12时小强所走的路程分别是_____千米，______ 千米，_____ 千米； （3）小强休息了多长时间：______ 小时； （4）求小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度． 题型五：一次函数 17．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共 150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”.已知生产一件智能手表的成本为 2000元，生产一件智能手环的成本为 1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的 2倍. （1）该公司最少生产多少件智能手表? （2）假设该公司的生产总成本为 w元，如何安排生产才能使总成本 w最小? 18．已知一次函数y=ax+4-a(a为常数， a≠0). （1）当a=-2时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y=ax+4-a的图象，并求出该图象与坐标轴围成的三角形内(不含边界)，横纵坐标都为整数的点共有 个； （2）当a取不同值时，一次函数y=ax+4-a(a为常数， a≠0)的图象是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由. （3）当1≤y≤5时，自变量x的负整数值恰好有4个，求a的取值范围. 19．如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线 y=2x-3上，过点 A 的直线交y轴于点B(0，3). （1）求m 的值和直线AB 的解析式. （2）若点 P(t，y1)在线段AB 上，点 Q(t+1，y2)在直线y=2x-3上，判断 的值是否随t 的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围. 20．【活动回顾】本册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】 （1）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． 题型六：数据的分析 21．某射击队要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环)信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩. 甲：10，8，8，9，6，8，6，8，9，8. 乙：8，9，10，9，6，6，7，9，9，7. 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量. 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 b 8 1.4 乙 a 8.5 9 1.8 根据以上信息，解决下列问题： （1）写出a，b的值，并判断哪位队员在射击选拔赛中发挥的更稳定. （2）若射击比赛需要冲击高分，你认为应推荐哪位队员参赛?请结合表格中的一个统计量，说明你的推荐理由（写出一条即可). 22．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：　 　，　 　，　 　； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 23．快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理如下： a.配送速度得分： 甲： 6， 6， 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10. 乙： 6， 7， 7， 8， 8， 8， 9， 9， 10. 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：甲公司配送速度得分的平均数为7.9分、中位数为8分、众数为9分：乙公司配送速度得分的平均数为　 　、中位数为　 　、众数为　 　. （2）甲公司服务质量得分的方差为1，请计算乙公司服务质量得分的方差，并由此判定哪家公司的得分更稳定. （3）小刘又收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并与第一次收集的 10家草莓种植户对两家公司的相关评价一起整理、分析，得出如下配送速度和服务质量得分统计表. 　 配送速度得分 服务质量得分 甲 8 7.2 乙 8.2 6.8 鉴于生鲜产品对配送速度要求会更高，小刘将两项得分按3：2的比例确定最终得分，并以此为依据选择公司，请问小刘会选择哪家快递公司? 24．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96. （1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25，m50，m75；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中； （2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛?请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：原式 ​​​​​​​ （2）解：原式 ​​​​​​​ 2．【答案】（1） （2）3 3．【答案】（1）解：当n=2时， （2）解： ∵g=10， n>0 4．【答案】（1）与是互为有理化因式， 理由： 与是互为有理化因式 （2） （3）< 5．【答案】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ADC中， AC=20， CD=12， 根据勾股定理得， =16. ∴AB=AD+BD=16+9=25. （2）解：△ABC是直角三角形. 理由如下： 在Rt△BDC中，CD=12，BD=9， 根据勾股定理得， 在△ABC中， 即 根据勾股定理逆定理得，∠ACB=90°， ∴ △ABC是直角三角形 6．【答案】（1）解：∵，，， ∴． （2）证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 7．【答案】解：∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 8．【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得 ∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米). 答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米. 任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)， 答：还需放出风筝线14米 9．【答案】（1）证明：如图， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， AD是BC边上的中线， ∴AE=DE， BD=CD，在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE (AAS)； ∴AF=DB. ∵DB=DC， ∴AF=CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， D 是BC的中点， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：连接 DF， ∵AF∥BC， AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=4， ∵四边形ADCF是菱形， 10．【答案】（1）解：∵∠D=110°，∠DAF=25°， ∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=45°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠DFA=∠FAB=45°. ∵∠DFA=2∠BAE， ∴∠FAB=2∠BAE， 即∠FAE+∠BAE=2∠BAE， ∴∠FAE=∠BAE， ∴2∠FAE=45°， ∴∠FAE=22.5° （2）证明：如图，在 AF 上截取 AG = AB，连接EG，CG. 在△AEG和△AEB中 ∴△AEG≌△AEB(SAS)， ∴EG=BE，∠B=∠AGE. 又∵E为BC的中点， ∴CE=BE， ∴EG=EC， ∴∠EGC=∠ECG. ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°. 又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B， ∴∠BCF=∠EGF， ∴∠FGC=∠FCG， ∴FG=FC. 又∵AG=AB，AB=CD， ∴AF=AG+GF=AB+CF=CD+CF 11．【答案】（1）证明：∵DF＝BF， ∴点F是DB的中点． ∵点E是AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥AD．且， ∵点C在EF的延长线上， ∴CF∥AD． ∵CF＝AD， ∴四边形AFCD为平行四边形 （2）解：由（1）可知EF∥AD．且， ∴AD＝2EF＝2． ∵， ∴， ∵CE⊥DB于点F， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴AC＝2OA＝5． ∴AC的长是5． 12．【答案】（1）①② （2）解：我选择①，证明过程如下：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 13．【答案】（1）解：如图，连接DF， ∵在矩形ABCD中， 点E， F分别是AD，OC的中点， ∴CD=AB，AE=DE，AO=CO， AO=CO=2CF， ∴AF=AO+FO=2CF+CF=3CF， ， 当n=1且AB=4时，则AD=AB=4， （2）如图，过点O作 于点H，和AD相交，连接FH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴点H是BC中点， OH平分 ∵∠BOC和∠AOD是对顶角， ∴直线OH平分∠AOD， ∴直线OH和AD相交于点E， ∵点E， F分别是AD， OC的中点， ∴CO=2FO， HF是△BCO的中位线， EO是△ABD的中位线， HO是△ABC的中位线， ∴EH=EO+HO=AB=CD， ∵EF⊥BD， ∴EF⊥HF， ∴∠EFH =90°， ∴FO=EO=HO， ∴CD=EH=2FO=CO=DO， ∴△CDO是等边三角形， ∴∠COD =60°， ， AB （3）解：能， 情况一，如图，当EO=EG时，在(2)辅助线基础下，过点F作 于点P，交AD于点Q， ∴四边形CDQP是矩形， 由(2)得：点H是BC中点，直线OH和AD相交于点E， ， ∵点F是OC的中点， ∴点P是CH的中点， ∴FP是 的中位线，HP=CP=EQ， P， ， ， 情况二，如图，当EO=GO时，在(2)辅助线基础下，过点F作 于点P， 由(2)得： 由情况一得：EH=AB=4FP， AD=BC=4HP， ， 情况三，当GE=GO时，如图，连接EO， ∵四边形ABCD是矩形， ∵点E是AD的中点， ∴∠OEG+∠DEG=90°， ∠EOG+∠EDO=90°， 当GE = GO时， ∴∠EOG =∠OEG， ∴∠DEG =∠EDO， ∴GE=GD， ∴GO=GD，即点G是OD的中点， ∵点F是OC的中点， GF是△OCD的中位线， ∴GF∥CD， ∴GF∥OE， ∵点G是EF和OD相交所得， ∴GF和OE平行的情况不存在， ∴GE =GO的情况不存在； 综上所述，△OEG能为等腰三角形，n的值为或 14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE，BF分别为边AD，CD上的高， ∴AD⊥BE，∠BFC=90°， ∴BE⊥BC， ∴∠EBC=90°=∠BFC， ∴∠EBF+∠CBF=90°=∠C+∠CBF， ∴∠EBF=∠C； （2）证明：如图，延长EF，BC交于点H， ∵BF=EF， ∴∠FEB=∠FBE， ∵∠EBC=90°， ∴∠FEB+∠H=∠FBE+∠FBC=90° ∴∠FBH=∠FHB， ∴BF=FH， ∴EF=FH， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCH， 在△EDF和△HCF中， ∠ADC=∠DCH，∠DFE=∠CFH，EF=FH， ∴△EDF≌△HCF(AAS)， ∴DF=CF； （3）解：分两种情况： ①如图，点P在x轴的上方，过点P作PG⊥x轴于G， ∵点C坐标为(，0)， ∴BC=， ∵BF⊥CD，DF=CF， ∴BD=BC=， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=45°， ∴△BED是等腰直角三角形， ∴BE=DE=1， ∴S△BED=×1×1=， ∵S△BCP=S△BDE， ∴⋅PG=， ∴PG=， ∵E(0，1)，C(，0)， 设直线CE的解析式为：y=kx+b， ∴， 解得：k=，b=1， ∴直线CE的解析式为：y=x+1， 当y=时，x+1=， ∴x=−1， ∴点P的坐标为(−1，)； 如图，P在x轴的下方，过点P作PG⊥x轴于G， 由①可知：PG=，直线CE的解析式为：y=−x+1， 当y=−时，−x+1=−， ∴x=+1， ∴点P的坐标为(+1，−)； 综上，点P的坐标为(-1，)或(+1，−)． 15．【答案】（1）解：由图可得：， ， 故填：55；130. （2）解：根据题意和所给图形可得出：， 即． （3）解：不可能，理由如下： 把代入， 解得， 不是整数，所以不可能． 16．【答案】解：（1）时间，路程；（2）4，9，15；（3）0.5； （4） ＝4km/时． ∴小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是4千米／时． 17．【答案】（1）解：设智能手表x件，则手环（150-x）件， 根据题意，得：x≥2（150-x） 解得：x≥100. 所以该公司最少生产 100件智能手表。 （2）解：根据题意，得：w=2000x+1200（150-x）=800x+180000 k=800＞0，根据一次函数的性质，可得出w随x的增大而增大， 由x≥100可得出当x=100时，w取最小值， 当x=100时，150-x=150-100=50。 所以当生产智能手环 50件、智能手表 100件时，总成本w最小。 18．【答案】（1）解：当a=-2时，y=-2x+6，画出函数图象如下所示，其整数点有4个； （2）解：一次函数y=ax+4-a=a(x-1)+4， 当x=1时，y=4，故函数过定点(1， 4). （3）解：由y=a(x-1)+4得 ①当a>0时，当 1≤y≤5 时，x的范围是， 而x的负整数值恰好有4个，即有，解得； ②当a<0时，当 1≤y≤5 时，x的范围是， 而x的负整数值恰好有4个，即有，解得； 综上所述，或 19．【答案】（1）解：把A(2，m)代入 y=2x-3，得m=2×2-3=1， 设直线 AB 的解析式为y= kx+b. 把 A (2， 1)， B (0， 3) 代 入，得 解得 ∴直线 AB 的解析式为y=-x+3 （2）解：不变. ∵点 P(t，y1)在线段 AB 上，点Q(t+1，y2)在直线 y=2x-3上， ∴2y1+y2=2(-t+3)+2(t+1)-3=5， 的值不随 t 的变化而变化， 的值为5 20．【答案】（1）；（2），，；（3）①，；② 21．【答案】（1）解：， 把甲得成绩排列为 6，6，8，8，8，8，8，9，9，10，居于中间的两个数据8，8， 故b=， 因为1.4<1.8， 所以甲队员在射击选拔赛中发挥的更稳定. （2）解：从中位数的角度看，甲低于乙，所以应推荐乙队员参赛. 从众数的角度看，甲低于乙，所以应推荐乙队员参赛. 22．【答案】（1）85；85；80 （2）解：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好 （3）解：（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定 23．【答案】（1）8分；8分；8分 （2）解：乙公司服务质量得分的平均数为 故 2+ ∵甲公司服务质量得分的方差为1，1<4.2， ∴甲公司的得分更稳定； （3）解：甲最终得分为 (分)； 乙最终得分为 (分)， ∴小刘会选择甲快递公司. 24．【答案】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100； ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数， ∴， ∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数， ∴， 根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中； （2）解：由题意可得： 小宝同学成绩的平均数为：； 小安同学成绩的平均数为：； 观察数据可得： 选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高； 选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定． 学科网（北京）股份有限公司 $