精品解析：2026年山东省枣庄市薛城区业综合素养监测 九年级数学试题

学业综合素养监测 九年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数学世界中有许多美妙的几何图形等待着你去发现，下列四个几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 谢尔宾斯基三角形 B. 科赫曲线 C. 分形树 D. 费马螺线 4. 图中三视图所对应的直观图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 7. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ） A. B. C. D. 8. 道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B. 当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C. 当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离就不会发生碰撞 D. 此道路的动摩擦因数是1.2 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是二次根式，则字母应满足的条件是__________． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 13. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 15. 在四边形中，，，，，则的最大值为______． 三、解答题（本题共8道大题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中整数满足． 17. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 18. 某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． （1）求每套国画用品和每套书法用品的价格； （2）社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 19. 申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 20. 快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10． 乙：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：甲公司配送速度得分的平均数为7.9分、中位数为8分、众数为9分：乙公司配送速度得分的平均数为__________、中位数为__________、众数为__________． （2）甲公司服务质量得分的方差为1，请计算乙公司服务质量得分的方差，并由此判定哪家公司的得分更稳定； （3）小刘又收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并与第一次收集的10家草莓种植户对两家公司的相关评价一起整理、分析，得出如下配送速度和服务质量得分统计表． 配送速度得分 服务质量得分 甲 8 7.2 乙 8.2 6.8 鉴于生鲜产品对配送速度要求会更高，小刘将两项得分按的比例确定最终得分，并以此为依据选择公司，请问小刘会选择哪家快递公司？ 21. 如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求证：该抛物线的顶点在第一象限； （2）若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． （3）在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 23. 【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业综合素养监测 九年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项，再根据实数大小比较规则：负数小于一切正数，即可判断出最小的数． 【详解】解：分别化简各选项得： ∵ ，，，三个数均为正数，仅是负数， 又∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2. 生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题． 【详解】解：． 3. 数学世界中有许多美妙的几何图形等待着你去发现，下列四个几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 谢尔宾斯基三角形 B. 科赫曲线 C. 分形树 D. 费马螺线 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 4. 图中三视图所对应的直观图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】试题分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同． 只有C满足这两点． 故选C． 考点：由三视图判断几何体． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需根据同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方法则，对各选项逐一判断即可。 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，∵ ，∴ A正确； 选项B：合并同类项时，系数相加字母和指数不变，∵ ，∴ B错误； 选项C：根据积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∵ ，∴ C错误； 选项D：根据同底数幂相除，底数不变指数相减，∵ ，∴ D错误． 6. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 7. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．山东某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是．决策类人工智能、．人工智能机器人、．语音类人工智能、．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习．已知甲乙两位同学都选了“（决策类人工智能）”，丙同学选了“（人工智能机器人）”，丁同学选了“（语音类人工智能）”，如果从这人中选人到某智能公司总部观摩学习，则抽到的这两位同学选择项目是一样的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用列举法列出所有等可能结果，再找出满足条件的结果，最后代入概率公式计算即可． 【详解】解： 人分别为甲、乙、丙、丁，从人中任选人，所有等可能的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共种， 其中抽到两位同学选择项目相同的结果只有“甲乙”这种， 所求概率． 8. 道路上，小汽车刹车后车轮滑过的距离通常和车辆当时行驶的速度、道路的动摩擦因数有关，经验公式为，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示动摩擦因数，其函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离就增加 B. 当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是 C. 当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离就不会发生碰撞 D. 此道路的动摩擦因数是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求得二次函数的解析式，再利用图象和二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得与的函数图象为二次函数， ∴小汽车行驶速度每增加，刹车后车轮滑过的距离不一定增加，故A错误； 根据图象可得当小汽车行驶速度是时，刹车后车轮滑过的距离大约是，故B错误； 把代入，可得，解得，故D正确； ， 当时，， 故当小汽车行驶速度为时，与前车保持的距离会发生碰撞，故C错误， 故选：D． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，根据圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，解答即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下： 由图可知： 抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大， 当时，x的取值范围是或， 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和； 综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是二次根式，则字母应满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：若是二次根式，则需满足被开方数为非负数，且分式的分母不为零． 由题意得，且． ． 解得． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴． 13. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需分情况讨论方程的类型，当时方程为一元一次方程，当时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式， 即， 解得，此时． 综上，的取值范围为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的坐标为（为正整数）， ∴点的坐标是． 15. 在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8道大题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中整数满足． 【答案】（1） （2），当时，原式，当时，原式． 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ∵整数y满足，，， ∴或3， 当时，原式； 当时，原式． 17. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【答案】（1）如图：点D即为所求． （2） 证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）用尺规作图作出线段的中点即可； （2）由（1）作图可知：，再结合可得，利用等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元． （1）求每套国画用品和每套书法用品的价格； （2）社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】（1）每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元 （2）购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元 【解析】 【分析】（1）设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买国画用品x套，设总费用为y元，根据题意列不等式求出的取值范围，再得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元， 由题意得：， 解得． 答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元． 【小问2详解】 解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元， 由题意得：， 解得． ， ， 随x的增大而减小， ∴当时，． 答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元． 19. 申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 【答案】（1）， （2）的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据坡度的定义可得，结合勾股定理得，列出方程，可求出和的长； （2）过点作于点，令，可用表示、的长度，再结合，即可得出的高度． 【小问1详解】 解：∵倾斜步道的坡度为，， 故， ∴， 由，得， 解得，． 【小问2详解】 解：过点作于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， 解得， 故的高度约为． 20. 快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10． 乙：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：甲公司配送速度得分的平均数为7.9分、中位数为8分、众数为9分：乙公司配送速度得分的平均数为__________、中位数为__________、众数为__________． （2）甲公司服务质量得分的方差为1，请计算乙公司服务质量得分的方差，并由此判定哪家公司的得分更稳定； （3）小刘又收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并与第一次收集的10家草莓种植户对两家公司的相关评价一起整理、分析，得出如下配送速度和服务质量得分统计表． 配送速度得分 服务质量得分 甲 8 7.2 乙 8.2 6.8 鉴于生鲜产品对配送速度要求会更高，小刘将两项得分按的比例确定最终得分，并以此为依据选择公司，请问小刘会选择哪家快递公司？ 【答案】（1）8分，8分，8分 （2），甲公司的得分更稳定 （3）小刘会选择甲快递公司 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算公式进行求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算，再比较大小即可； （3）求出加权平均数，进行比较即可． 【小问1详解】 解：平均数为（分）； 将数据排序后第5个和第6个数据均为8，故中位数为8分； 出现次数最多的数据是8，故众数为8分； 【小问2详解】 解：由图可知，乙公司服务质量得分的平均数为， 故 ∵甲公司服务质量得分的方差为1，， ∴甲公司的得分更稳定； 【小问3详解】 解：由题意，甲最终得分为（分）； 乙最终得分为（分）， ∵， ∴小刘会选择甲快递公司． 21. 如图，点在上，为直径，为延长线上一点，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求证：该抛物线的顶点在第一象限； （2）若该抛物线经过点． ①求此抛物线的表述式； ②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围． （3）在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴该抛物线的顶点在第一象限． （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，可得，可得，由抛物线顶点为，即可得到抛物线的顶点在第一象限； （2）①把代入即可得到解析式；②由交点的含义可得，可得，，进一步计算，再进一步建立不等式解题即可； （3）由离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．结合抛物线上有两点和，且，再建立不等式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①将代入， 得， ∴， ∴此抛物线的表达式为． ②根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小． ∵抛物线上有两点和，且， ∴， ∴， 解得：． 23. 【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据，即得； （2）设，，则，证明，，得，得，得，根据二次函数的性质，即得的最大值为； （3）设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4，由矩形性质和勾股定理，得 ,证明，得，由， ，即得； （4）分和为矩形的边和角，和为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较长边． 【详解】解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； （2）如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为； （3）解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）作出原矩形，连接，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较长边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较长边的长度为； 综上所述，矩形纸片较长边的长度为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $