精品解析：山东省菏泽第一中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一下学期6月份教学诊断检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 2. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. ，表示两条直线，，表示两个平面，若，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也不必要条件 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥的体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这100名学生成绩的中位数约为77 C. 估计这100名学生成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为160 10. 如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面平面 11. 如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ） A. 当点在棱上的移动时，恒有 B. 在棱上总存在点，使得平面 C. 四棱锥的体积为定值 D. 四边形的周长的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为_________． 13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______． 14. 如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：平面平面； （2）若分别为的中点，求证：平面平面. 16. 已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 18. 如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： （1）平面； （2）． 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期6月份教学诊断检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】应抽取一年级的人数为人. 故选：B 2. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 3. ，表示两条直线，，表示两个平面，若，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 当时，不一定成立，如：时有； 当时，因为，所以，又，所以， 综上，所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示: 连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE, 则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角. 由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得, 则AE=, ∴, ∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为， 故选：B. 6. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】连接交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以， 因为底面为平行四边形，所以， 又，则，所以. 故选：D. 7. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 8. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥的体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 【答案】B 【解析】 【分析】证明与共面判断选项A；由，计算并判断选项BC；作出正确截面判断选项D. 【详解】正方体中，， 与都在平面内， 所以与不可能异面，A选项错误； 三棱锥，底面积， 棱锥的高，则， 由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关， B选项正确，C选项错误； 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.005 B. 估计这100名学生成绩的中位数约为77 C. 估计这100名学生成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为160 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由各组频率和为1可求出a的值，对于B，利用中位数的定义求解，对于C，由从数的定义求解，对于D，先求出的频率，再利用总人数乘以频率可求得答案 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，解得，所以A正确， 对于B，由频率分布直方图可知，前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则 ，解得，所以B正确， 对于C，由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75，所以C错误， 对于D，由频率分布直方图可知成绩在的频率为，所以总体中成绩落在内的学生人数约为人，所以D错误， 故选：AB 10. 如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 11. 如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ） A. 当点在棱上的移动时，恒有 B. 在棱上总存在点，使得平面 C. 四棱锥的体积为定值 D. 四边形的周长的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断A；利用特殊位置可判断B；将四棱锥的体积转化为三棱锥体积，根据等体积法可判断C；利用侧面展开可求得四边形的周长的最小值，判断D. 【详解】对于A，当点为棱上的移动时，平面， 由于平面，故，故A正确； 对于B，当点在时，平面，故B错误； 对于C，在长方体中，平面平面, 平面平面,平面平面, 故，同理，则四边形为平行四边形； 故， 由于，故， 故，故C正确； 对于D，如图，将长方体展开，使四个侧面在同一个平面内， 连接（左侧）交于F点，由于, 则F为的中点，同理E为的中点， 则四边形的周长的最小值是,则D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出平面的过直线的平行平面，求解即可 【详解】解：取的中点，的中点，连接，，，，则，，所以，故在同一平面内， 连接，因为，分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，不在平面内， 所以平面， 同理平面， 因为， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为平面 ，，，梯形如图： 过，作的垂线，则四边形为矩形， ， 故四边形的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查正方体截面面积的求法，平面平行的判定，等知识，综合考查证明和计算，属于中档题． 13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，进而求得外接球的半径为，结合已知可求得，即可求得直三棱柱的体积. 【详解】设， 如图所示，在中，，设底面的外接圆的半径为， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理可得，所以， 设的外心为，的外心为，则外接球的球心为的中点， 所以外接球半径，所以外接球表面积为， 所以，解得， 所以此直棱柱的体积为. 故答案为：. 14. 如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】取线段的中点，逐步求证为二面角的平面角，为二面角的平面角，在中求解. 【详解】取线段的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为，所以， 则是边长为的等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的正切值为. 四、解答题：本题共5小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：平面平面； （2）若分别为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可以证明，结合，线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）延长交于，由中位线定理可证，以及，再结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 延长交于， 因为分别为中点， 所以，又平面平面， 所以平面. 因为，所以，又为中点，所以， 注意到，所以，所以. 又因为，所以为中点，所以. 又因为平面平面，所以平面. 因为平面平面， 所以平面平面. 16. 已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面； （2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、， 、分别为、的中点，则且， 、均垂直于平面，且，则，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，因此，平面； （2）由，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过点作于点， 平面，平面，， ，，平面， 即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离， 设， 则到平面的距离，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 17. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a； （2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可； （3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 故本次防疫知识测试成绩的平均分为； 【小问3详解】 设受嘉奖的学生分数不低于分， 因为，对应的频率分别为0.15，0.1， 所以，解得， 故受嘉奖的学生分数不低于分． 18. 如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： （1）平面； （2）． 【答案】（1）如图，连接，，∵四边形是菱形且， 是正三角形，为的中点，． 又平面平面，且平面平面， 平面，平面． （2）由（1）可知，为正三角形，为的中点， ，又，，平面， 平面，又平面，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论； （2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，求解即可； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可. 【小问1详解】 四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 过作于，连接， 由（1）可知平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又，所以，解得， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $