期末复习中难题专项汇编一次函数2025-2026学年八年级下册名校卷数学

**基本信息** 汇集福建福州、厦门等地名校期中期末试卷，聚焦八年级一次函数中难题，融合新能源汽车、无人机等现实情境，注重几何与函数综合及实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|11|一次函数图像性质、象限判断|如第3题交点象限讨论，结合参数分析| |填空题|8|几何与函数综合|如第12题正方形中动点与等腰直角三角形最小值| |解答题|21|实际应用、几何综合|如第21题京燕风筝制作（一次函数+不等式），第26题新能源汽车充电问题|

2025-2026学年八年级名校卷数学期末复习中难题专项汇编 一次函数 福建福州市仓山区福建师范大学附属中学2025-2026学年下学期期中考试初二数学试卷 福建福州立志中学2025-2026学年第二学期期中八年级数学试卷 福建福州屏东中学2025-2026学年下学期中试卷 八年级数学 福建省福州市福州三牧中学等校2025-2026学年第二学期八年级数学学科 期中适应性训练 福建省福州杨桥中学2025-2026学年第二学期期中适应性练习 八年级 数学 福建福州市晋安区2025-2026学年第二学期期中适应性练习数学试题 福建省福州第一中学　2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 福建福州延安中学2025-2026学年第二学期八年级数学阶段练习 福建福州延安中学2025-2026学年八年级第二学期期中模拟数学试卷 福建福州市九校2025—2026学年下学期期中考试八年级 数学试卷 福建福州第十九中学2025-2026学年第二学期八年级期中数学试卷 福建省福州第十九中学2025-2026学年第二学期八年级期中模拟校本练习 数学试题 福建省福州屏东中学2025-2026学年第二学期适应性训练（3）八年级数学 福建省福州市晋安区2024-2025学年八年级下学期期末适应性练习数学试题 福建省福州屏东中学2024-2025学年下学期八年级数学期末考试 福建省福州立志中学2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷删除 福建省福州市仓山区九校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 福建省福州市第十九中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 福建省福州延安中学2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试卷 福建省福州市福州华伦中学2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷 福建省福州第十六中学2024-2025学年八年级下学期期末考数学试卷 福建省福州杨桥中学　2024-2025学年 八年级下学期期末数学试卷 福建省福州市台江区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷 福建省福州一中2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试卷 福建省厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2025-2026学年下学期八年级期中考试卷 数学 福建省厦门市双十中学本校和分校联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 福建省厦门外国语学校2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 福建省厦门第一中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 福建省厦门第一中学2025—2026学年八年级下学期期中数学试题 1．（2025八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，于点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2026八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 4．（2026八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为．若直线与正方形的边有两个公共点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 7．（2026八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025八年级下·福建厦门·期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点，则；③；④，其中正确的有（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．③④ 9．（2026八年级下·福建福州·期中）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析.下列结论正确的是（    ） … 0 1 … … 4 1 … A．随的增大而增大 B．一次函数的图象经过第一、二、四象限 C．点在此函数的图象上 D．一次函数的图象与轴交于点 10．（2025八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，已知分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是5，则的值是（    ） A． B．5 C．13 D．25 二、填空题 12．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点为轴上一动点，以为边在的左侧作等腰，，连接，则的最小值是_________． 13．（2026八年级下·福建福州·期中）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 14．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点．是线段上一点，在轴上方有一点，使以为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为___________． 15．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 16．（2025八年级下·福建厦门·期末）关于函数，有下列结论：①函数过定点；②函数的对称轴在轴左侧；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为______． 17．（2025八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为____． 18．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，四边形是正方形，顶点在直线：上将正方形OABC沿轴正方向平移个单位长度，若正方形在x轴上方的其他任一顶点恰好落在直线上，则m的值为_________．    19．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，菱形ABOC 中，对角线OA 在y 轴的正半轴上，且OA= 4，直线过点C，则菱形ABOC 的面积是_________________. 三、解答题 20．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，求a、b的值； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，直接写出的取值范围． 21．（2026八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 22．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（2026八年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯） 素材2 甲车为路口第一辆车，甲车先由通行，乙车等待绿灯亮起后再由通行，甲车经过段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，图3中记录了从甲车通过路口开始，一段时间内红灯、绿灯的时长，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．                                          问题解决： (1)若乙车在路口绿灯转为红灯的瞬间恰好通过路口（即进入段），并在路口的双向红灯时段结束时恰好通过维修路段．结合素材直接写出甲车经过、、段的速度，并在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程（）与时间（）之间的函数图象． (2)丙车沿方向行驶，经过段的车速与任务1中乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后平均速度为8，等红灯时车流长度每秒增加2，记丙车在红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒到达段开始等待（），记红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒丙车恰好到达路口（红绿灯2下方），求关于的解析式． (3)丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求的最小值． 24．（2026八年级下·福建福州·期中）已知三个一次函数，分别为，，，其中，，． (1)若一次函数的图象与直线平行，且过点，求的表达式． (2)若点，分别在函数，上，且，，比较，大小，并说明理由． (3)若一次函数图象经过点，，当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立，求的取值范围． 25．（2026八年级下·福建福州·期中）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如表： 燃烧时间（分钟） 0 2 4 6 8 剩余长度（观察值） 20.0 19.0 18.5 17.0 16.5 在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系． (1)利用，；，这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式； 经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求________，此时它与时观察值的偏差值若记为（即时的函数值与观察值之差），则________． (2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）． 结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值； 请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小． 26．（2025八年级下·福建厦门·期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 27．（2026八年级下·福建福州·期中）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，点在轴上，边所在直线的函数解析式为． (1)求点的坐标； (2)如图，若点的坐标为，点为的中点，点为边上一点，连接，满足，求的长； (3)如图，若点的坐标为，点分别为边上的点，连接，点关于直线的对称点恰好落在轴上，连接交于点，点恰好为的中点，且，求直线的解析式． 28．（2025八年级下·福建福州·期末）如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． (3)连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 29．（2025八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中点A， B，C．给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”． 例如，图1中的点D，点E都是矩形关于直线的“关联点”． (1)如图2， 在点 中， 是矩形关于直线 的“关联点”的为 ； (2)如图2，点 是矩形关于直线的“关联点”，求a的取值范围； (3)如图3，若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”，请直接写出b的取值范围 ．（不写过程） 30．（2025八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中有菱形，点 点 C，D在第三象限内． (1)如图1， 若点 求菱形的面积； (2)如图2， 若 M为的中点． ①求点 D 到直线的距离； ②若N为边上一动点 (不与点O重合)，将 沿直线折叠，点O的对应点为点E，连接，当 是以为腰的等腰三角形时，画出示意图并求直线的解析式． 31．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图1，当的面积为9时，求点的坐标； (3)如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标． 32．（2025八年级下·福建福州·期末）已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上．    (1)当时， ①求点的坐标； ②点在直线上，且，若，求点的坐标； (2)设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值． 33．（2026八年级下·福建福州·期中）已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 34．（2026八年级下·福建福州·期中）首届福建省城市足球联赛“闽超”于2026年4月19日在海峡奥体中心迎来揭幕战，联赛口号为“福聚八闽，爱拼会赢”，福州球迷小王为了宣传家乡福州队，准备印制大量海报为主队加油，其中有两家印刷厂报价． 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费． (1)分别写出两个印刷厂的收费、（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (2)如何选择印刷厂可以节省印刷费用？ 35．（2026八年级下·福建福州·期中）某市从2026年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆A型电动自行车的进货单价为2500元，每辆B型电动自行车的进货单价为3000元．若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元．设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． (1)求y与m之间的函数关系式； (2)求商店能获得最大利润及此时的进货方案． 36．（2026八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，， (1)，时，设的图象交于点，的图象与、轴分别交于点、，的图象与、轴分别交于点、，求的面积． (2)若无论取何值，始终有，求的取值范围． 37．（2026八年级下·福建福州·期中）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）． (1)则甲连锁店有电冰箱________台，乙连锁店有电冰箱________台； (2)求关于的函数关系式，并求出的取值范围； (3)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 38．（2026八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 39．（2026八年级下·福建福州·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围． 40．（2026八年级下·福建福州·期中）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 (1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． (2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 41．（2026八年级下·福建福州·期中）【现实背景】无人机以技术、生态与安全优势推动低空经济产业化． 【实验操作】为了解无人机的电池需要多久能充满，以及充满电量状态下无人机使用的最大时长，某校综合实践小组以一款无人机的某个系列为研究对象，设计了两组实验：实验一：通过实验数据观察，发现电池充电量占电池满电量的百分比与时间（分钟）存在正比例函数关系，图象如图所示： 时间（分钟） 剩余电量占电池满电量的百分比 实验二：探究充满电的状态下，无人机的剩余电量占电池满电量的百分比与使用时间（分钟）的关系，记录相关数据如上表． 【建立模型】 结合实验一和实验二，关于的函数表达式为________，关于的函数表达式为________； 【解决问题】 （）无人机在充满电后连续使用了分钟，求此时剩余电量占电池满电量的百分比； （）在（）的条件下，将该无人机充电，需要充电多长时间才能充满? 42．（2025八年级下·福建厦门·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校，李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离/km与离开学校的时间x/h之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开学校的时间/h 离学校的距离/km ____ ___ ___ ②填空：李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______； ③当时，请直接写出关于的函数解析式； (2)同宿舍的张强和李华一起从陈列馆出发匀速骑行直接回学校，如果张强的速度为，那么他在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可）． 43．（2025八年级下·福建厦门·期末）（1）请在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出函数 的图象； （2）请继续完成图形并解答：函数的图象分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，在直线上取点，恰使，请求出点的坐标．    44．（2025八年级下·福建福州·期末）阅读材料，完成下列问题： 【背景】 重心是一个物体受力的平衡点，每一个平面图形都有重心．例如： 名称 线段 三角形 平行四边形 圆 图形 且 重心位置 中点 中线交点 对角线交点 圆心 【探究】 “探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．例如：如图1，是一个呈“L”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成左、右两个矩形，重心分别为． 【应用】 (1)如图1，若，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____，点的坐标为_____，计算得此“L”形的重心坐标为_____． (2)如图2，直角梯形，求直角梯形的重心坐标． 45．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 46．（2025八年级下·福建福州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 47．（2026八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的融合点．例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的融合点， (1)已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． (2)如图，点，点是直线上任意一点，点是点D，E的融合点． ①试确定y与x的关系式． ②若直线ET交x轴于点H，当为直角时，求直线ET的解析式． 48．（2025八年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．以AB为边作，点D在x轴正半轴，且． (1)求点C，D的坐标； (2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标； (3)已知直线，当时，对x的每一个值都有，请直接写出a的取值范围． 49．（2025八年级下·福建福州·期末）如图，已知过点B（1，0）的直线与直线：相交于点P（－1，a）．且l1与y轴相交于C点，l2与x轴相交于A点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点Q是x轴上一动点，连接PQ、CQ，当△QPC周长最小时，求点Q坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D A A B D D 题号 11 答案 B 1．B 【知识点】一次函数的规律探究问题、负整数指数幂、坐标与图形综合 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 2．D 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、根据旋转的性质求解 【分析】由点M的运动确定的运动轨迹，继而确定当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转到，如图 有，， 当时，， ∴点， 当时，， ∴点， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴点E在上， ∵， ∴，， ∴，， 当点M在点上运动时，点在上运动， ∴当时，取得最小值． ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 即， 解得：（负数已舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 3．B 【知识点】判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先联立方程组，得到点，：取，时，满足，此时，据此判断A；根据可以取任意实数，可判断B；当时，，所以的纵坐标恒正，可判断C；取，（满足），此时，在第四象限，可判断D． 【详解】解：联立方程，解得， ， A选项：取，时，满足，那么，，此时M在x轴的正半轴上，A正确； B选项：当时，的横坐标恒为1，纵坐标，由且，可以取任意实数（b任意正，a任意负），所以的轨迹是直线，不是射线，B错误； C选项：当时，，所以的纵坐标恒正，不可能在轴上，C正确； D选项：第四象限要求，，的横坐标，只需，取，（满足），此时，在第四象限，D正确． 4．C 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 5．D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小、求一元一次不等式的解集 【分析】设直线的解析式为，根据直线经过二、三、四象限得到，随的增大而减小，结合一次函数性质和不等式推导逐一判断选项即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线经过二、三、四象限， ∴， ，随的增大而减小． A．∵，∴，故A错误； B．∵，∴，故B错误； C．∵，∴，故C错误； D．在直线上，∵，∴， 将点 和代入，得： ， 解得， 又时，代入解析式得，且 ，即 ， ∵， ∴ ，解得， 代入得， ∵，即 ，可得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 整理得，故D正确． 6．A 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质得到点，把代入，得到，根据一次函数的图象和性质，得到当时，直线与正方形的边有两个公共点． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，把代入得， ∴解得：， ∵直线，当时，， ∴直线通过定点， ∴当时，直线与正方形的边有两个公共点． 7．A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】将三个点的横坐标代入直线解析式，得到三个关于参数的表达式，再结合给定条件分析乘积的符号，即可判断选项． 【详解】∵ 点，，在直线上 将分别代入解析式得 分情况讨论： ①. 若，即 解得 ∵ ， ∴ ，故A正确，B错误 ②. 若，即 解得 或 当或时，与同号， 当时，与异号， 因此的符号不确定，故C，D错误 综上，答案选A． 8．B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象．根据一次函数的性质得到，，从而可对①进行判断；根据一次函数的性质，随增大而减小，所以当时，，当时，，从而可对进行判断；利用当时，可对进行判断；利用时，可对进行判断． 【详解】解：一次函数得图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， ，， ，所以正确； 随增大而减小， 当时，， 当时，， ，所以错误； 当时，， ，所以正确； 时，， ，所以正确． 故选：B． 9．D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： A、由表格可得，y随x的增大而减小，故选项A不正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第二、三、四象限，故选项B不正确，不符合题意； C、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，则点不在此函数的图象上，故选项C不正确，不符合题意； D、当时，，解得：， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 10．D 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若， 随的增大而减小， 时，，且， ， 故选：D． 11．B 【知识点】用勾股定理解三角形、运用完全平方公式进行运算、求一次函数自变量或函数值 【分析】根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可得，将代入，可得，两边平方，再利用整体代入法即可求出，进而求出的值． 【详解】解：分别是的三条边长，， ， 的面积是5， ，即， 点在的图象上， ，即， ， ， 解得， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积公式，完全平方公式，一次函数等知识点，解题的关键是熟练应用勾股定理． 12． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标系中的动点问题（不含函数）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】过点作轴于，连接，根据正方形和等腰直角三角形的性质证明， 从而推出，得到点在的角平分线所在直线上运动， 作 ，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于，连接． 四边形是正方形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 点在的角平分线所在直线上运动， 作 ，则 是等腰直角三角形， ， ， ， 即的最小值为． 13．或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可． 【详解】解：当时，一次函数中随的增大而增大， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为； 当时，一次函数中随的增大而减小， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为． 14．或 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】先求得点的坐标，设，当为边时，根据菱形的性质可得，根据勾股定理，进而求得点的坐标，根据，即可求得点的坐标，当为对角线时，根据菱形的性质可得点的坐标． 【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于两点． 当时， ∴，则， 当时， ∴ ∴ ∵是线段上一点， 设， 当为边时，如图， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴； 当为对角线时，如图，设中点为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，或． 15． 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 16．① 【知识点】比较一次函数值的大小、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 画出函数大致图象，根据图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：画出函数大致图象： 由图象可得函数过定点，故①正确，符合题意 由图象可得函数的对称轴在轴右侧，故②错误，不符合题意； 当，，如图： ∴由图象可得，则，故③错误，不符合题意； 当，与大小无法比较，故④错误，不符合题意； 正确的说法是． 故答案为：①． 17． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一次函数的交点与二元一次方程组的解，把代入可得出，进而即可得出关于x，y的方程组的解． 【详解】解：把代入， ∴， ∴点， ∵一次函数与的图象交于点 ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为： 18．或 【知识点】求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平移的性质求解 【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答． 【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C平移后的点为，点B平移后的点为， ①当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， ②当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． 19．4 【知识点】一次函数与几何综合 【详解】∵四边形ABOC是菱形，OA=4， ∴AO⊥BC，BE=CE，AE=OE=2， ∴BC∥x轴， ∴C的纵坐标是2， 把y=2代入直线 得：2=， 解得：x=1， 即C（1，2）， ∴B（-1，2）， ∴BC=1-（-1）=2， ∴菱形ABOC的面积是×AO×BC=×4×2=4. 点睛：本题考查了一次函数的图象上点的特征及菱形的性质的应用，菱形的面积等于对角线积的一半，解题时要注意求菱形对角线的长. 20．(1)①见解析；②，或3； (2)当时，；当时， 【知识点】求自变量的值或函数值、画一次函数图象 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可； ②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到取值范围内最大值和最小值，即可得解． 【详解】（1）解：①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； （2）解：当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x的增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时，如图， 当时，，当时，， ， ∴ 综上，当时，；当时， 21．(1) (2)①；；② (3)制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)、列代数式、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出单根膀条的长度为，进而求得的关系式，即可得出单根尾条的长度； ②由图2可得，则，根据要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过，建立不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据（2）得出的最小值为，分别求得门条、膀条、尾条的长度进而乘以单价，即可求解． 【详解】（1）解：∵单根门条长y是胸腹高的一次函数，设函数表达式为 ∵当时，；当时，． ∴ 解得： ∴门条长度关于胸腹高的函数表达式为 （2）解：①∵单根门条比单根膀条短， ∴单根膀条的长度为 ∵头部高、胸腹高与尾部高的比是． ∴ ∵单根尾条的长度与总高满足 ∴， ②由图2可得，， ∴ ∵要求门条中的不小于的倍， ∴ ∴ 解得： ∵制作风筝的膀条单根长度不超过， ∴， 解得： ∴ （3）解：由（2）可得的最小值为 ∴门条长度 单根膀条的长度为 单根尾条的长度为 ∴制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为：（元） 答：制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 22．(1) (2) (3)存在，，，该定点坐标为 【知识点】求一次函数解析式、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据一次函数增减性求参数、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）将代入解析式得到，根据函数的增减性即可得到最大值和最小值，根据条件列方程求解； （3）根据条件得到点的坐标，代入得到的关系，令得到关于的恒等式即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线， 整理得：， 则， 解得： （2）解：将代入直线，， 得直线， 直线， 则 ∵， ∴随着的增大而减小， 当时， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， 根据题意得：， 解得： （3）解：联立和的解析式得：， 解得， 则点， 根据题意直线， 将点代入可得： ∴ ∴， ∴， ∵直线都经过x轴上的某一个定点， 将代入得 则， 对任意成立，因此， 将代入得， 解得：， 则， 将代入， 解得， 满足， 则存在常数，，定点为． 23．(1)甲车经过、、段的速度分别为：；；；图见详解； (2) (3)47 【知识点】画一次函数图象、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题中素材，结合“路程、速度、时间”的关系即可求解，画图； （2）结合题意直接列出关于的解析式 （3）列出符合题意的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图像可得： 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为： 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为：； 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为：; 根据题意，乙车通过维修路段时行驶的时间为，根据两车经过段的速度相等，则乙车经过段的时间为， 根据乙车经过段的速度是，得乙车经过段的时间为：． 即补全函数图像如图： （2）解：由题意得：； （3）解：红绿灯2由绿灯变成红灯后秒丙车恰好到达路口， 则丙车在段从开始等待至离开点需要秒， ， 随的增大而减小， ， 时，的最小值为． 24．(1) (2) (3)且 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、比较一次函数值的大小 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得出，再把代入，解得，即可作答． （2）理解题意，把点，分别代入，，得出，，再运用作差法进行列式分析，即可作答． （3）运用待定系数法进行求解，再结合当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立，进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 依题意，把代入，得， 解得， 即； （2）解：∵，，且点，分别在函数，上， ∴，， ∵， ∴，， 则， ∵，， ∴， 即 ， ∴； （3）解：∵一次函数图象经过点，， ∴， 解得， ∴， ∵当时，对于任意一个的值，都至少存在一个整数，使得成立， ∴对任意，至少存在一个整数，需恒有， ， 当时，， 此时，不含整数； 当时，对任意都有，且当足够大时 ，不满足； 当时， ， ∵且， ∴ ， ∴长度大于1的开区间必包含至少一个整数，满足题意， 结合题干， 故的取值范围是且． 25．(1)；， (2)； 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设出一次函数解析式，把所给的两组数值代入可得和的值；把代入中得到的函数解析式可得的值，减去当时的观察值可得的值； （2）求出当时和当时对应的值，列式计算即可；设优化后的函数解析式为，分别计算出取不同的值时，相应的的值，进而表示出的值，然后根据非负性确定最小值求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，；，代入得， ，解得， ； 当时，， 观察值为， ； （2）解：当时，， 当时，， ； 设优化后的函数解析式为， ， ， ， 当时，的最小值为， ． 26．（1）①，②；（2）25分钟 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为． ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 27．(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】（）把和分别代入函数解析式解答即可求解； （）延长交于点，可证，得到，即可得，得到，即得到，进而根据解答即可求解； （）证明，得到，进而得，可得，再利用平行线和轴对称的性质可得，即得，得到，即得到，最后利用待定系数法解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：延长交于点， ∵是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正确作出辅助线是解题的关键． 28．(1) (2) (3)E点坐标为或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、因式分解法解一元二次方程、求一次函数解析式 【分析】（1）当时，解方程，即可求A、B点坐标； （2）过D点作轴交于点M，设，则，由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）在上取点G，使，直线与抛物线的交点为E；过点B作轴，过点C作轴，交于N点，在上取点H，使，直线与抛物线的交点为E． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 解得或， ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过D点作轴交于点M， 设，则， ∴， ∴面积，△DBO面积， ∵面积是面积的一半， ∴ ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）∵， ∴， 在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴， 过点B作轴，过点C作轴，交于N点， ∵， 在上取点H，使，如图 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述：E点坐标为或． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，能够确定所在的直线解析式是解题的关键． 29．(1) (2) (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合 【分析】本题考查新定义，坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）画出各点关于直线 的对称点进行判断即可； （2）画出矩形关于直线的对称图形，根据新定义，得到点在矩形的边上或内部，进而得到，且，进行求解即可； （3）画出矩形关于直线的对称图形，根据直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”，得到直线与矩形的对称图形有交点，求出临界值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，如图： 由图可知，只有点的对称点在矩形的边上或内部， 故答案为：； （2）如图，画出矩形关于直线的对称图形， ∵点 是矩形关于直线的“关联点”， 则：在矩形的边上或内部， ∴且， 解得：； （3）如图，画出矩形关于直线的对称图形， ∵在直线上存在点Q，使得点Q是矩形关于直线 的“关联点”， ∴直线与矩形必有交点， ∴当过点时，，解得：； 当过点时，，解得：； ∴； 故答案为：． 30．(1) (2)①；②或 【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）作于点H，根据列方程求出t的值，然后根据菱形面积公式求解即可； （2）①作，先求出，再根据勾股定理求出，然后根据平行线间的距离相等即可求解． ②分、和，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图，作于点H， ∵ ∴， ∴ ∵菱形， ∴ ∵ ∴ ∴（正值舍去） ∴ ∴菱形的面积为： （2）①作 ∵， ∴ ∴ ∴． ∵菱形 ∴ ∴点 D 到直线的距离为 ②（Ⅰ）当时，连接，作于H，于G， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵M为边的中点， ∴，，   ∵折叠， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴D、E、N三点共线， 作于点P，于点Q，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴ ∴ 设直线解析式为， 则，解得， ∴； （Ⅱ）当点E与点A重合时，此时折痕与垂直，所以N与C重合，满足， 由（Ⅰ）知， ∴直线的解析式为； （Ⅲ）由（Ⅱ）图可知，此时满足， ∴此种情况和（Ⅱ）一样． 综上，直线解析式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 31．(1) (2)或 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查一次函数与几何的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线和直线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，；当时，， ∴或； （3）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 综上：或． 32．(1)①点的坐标分别为，；②点的坐标为 (2)16 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）当时，，①分别令和，进行计算即可得到点的坐标；②设点的坐标为，分三种情况：当点在第一象限时；当点在第四象限时；当点在第二象限时，分别进行计算求解，即可得到答案； （3）连接交轴于点，过点作轴于点，由题意可得点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点，根据平行四边形的性质可得，通过证明可得，，从而得到，设点的坐标为，则，从而得到点的坐标，有待定系数法可求出直线的解析式，从而得到点的坐标，最后进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，直线的解析式为， ①当时，；当时，，则， ∴点的坐标分别为，， ②设点的坐标为， 当点在第一象限时，   ，，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第四象限时，   ，，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第二象限时， ， ，， ， ∴不存在， 综上所述点的坐标为或； （2）解：如图，连接交轴于点，过点作轴于点，   ， ∵是直线上的定点， ∴点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴点在轴的负半轴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 根据，可求出直线的解析式为：， ∴直线与轴交于点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，采用数形结合的思想解题，是解本题的关键． 33．(1)， (2) (3) (4) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，构造，以及矩形，然后求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得纵坐标互为相反数，继而设参数坐标建立方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则 ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则 ∴， 解得 ∴， 设直线 代入，，则， 解得， ∴直线； （3）解：如图，设交轴于点， ∵，轴， ∴ 设，则 ∴，解得 ∴； （4）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴将代入，则， ∴ ∴ ∴． 34．(1)， (2)当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用；当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同；当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据两厂的收费标准求解； （2）分，，三种情况，分别列不等式或方程求解． 【详解】（1）解：根据甲厂收费标准可得 ， 根据乙厂收费标准可得 ； （2）解：分三种情况讨论： 当时，， 解得， 即当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用； 当时，， 解得， 当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同； 当时，， 解得， 当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用． 35．(1) 且为非负整数) (2) 购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆时可获得最大利润，最大利润为11000元. 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先根据总投入不超过8万元列一元一次不等式，求出自变量的取值范围，再根据总利润等于两种型号电动自行车的利润和，整理得到与的函数关系式； （2）利用一次函数的增减性，结合的取值范围，求出最大利润和对应的进货方案． 【详解】（1）解：设购进A型电动自行车辆，则购进B型电动自行车辆， 由题意，总投入不超过元， 可得， 化简得， 解得， 又，且为正整数， 因此，且为整数， 每辆A型电动自行车利润为(元)， 每辆B型电动自行车利润为(元)． 总利润. 因此与的函数关系式为（，且m为非负整数）． （2）解：由，得，因此随的增大而减小. 因为， 所以当时，取得最大值. 将代入得(元)， 此时(辆)， 答：商店获得最大利润为11000元，此时进货方案为购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆． 36．(1) (2)且 【知识点】比较一次函数值的大小、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）先求出函数解析式，得到，求出，得到； （2）根据题意得到两条直线平行且在的上方，得出，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ， ， 解得， 将代入得， ； 关于，令，则， 解得， 令，则，； 关于，令，则， 解得， ， ， 如图： ； （2）解：无论取何值，始终有， ∴两条直线平行且在的上方， ，， 解得且． 37．(1)， (2) (3)当时，调配给甲连锁店40台空调机，30台电冰箱，乙连锁店0台空调机，30台电冰箱；当时，所有满足的调配方案总利润都相同；当时，调配给甲连锁店10台空调机，60台电冰箱，乙连锁店30台空调机，0台电冰箱． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、列代数式、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据空调机、电冰箱的数量，结合分配给甲、乙两店的数量，可得出答案； （2）根据表格信息，列式，可得出y与x的函数关系式，根据实际意义可得x的取值范围； （3）求出让利后y与x的函数关系式，然后分三种情况利用一次函数的增减性确定答案． 【详解】（1）解：设公司调配给甲店空调机x台，则甲连锁店有电冰箱台；乙连锁店有电冰箱台； （2）解：∵公司调配给甲店空调机x台， ∴调配给乙店空调机台， ∴， ∵， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：让利后甲连锁店每台空调机利润为元， 因此总利润 化简得． ∵让利后每台空调机利润高于电冰箱利润， ∴ 解得， 当时，y随x的增大而增大， 因此时，y最大，此时调配方案为：调配给甲连锁店40台空调机，30台电冰箱，乙连锁店0台空调机，30台电冰箱； 当时，，所有满足的调配方案总利润都相同； 当时，y随x的增大而减小， 因此时，y最大，此时调配方案为：调配给甲连锁店10台空调机，60台电冰箱，乙连锁店30台空调机，0台电冰箱． 38．(1) (2) (3)将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，h的值，再计算需要的水的体积即可； （3）分别求出，和这三个音阶对应的水的高度，进而求出对应的水的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， 由题意得，，解得， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴想发出的音阶为，则玻璃杯中的水的高度为， ， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； （3）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ，，， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为）． 39．(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、不等式的性质 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别表示出和，根据的取值范围结合不等式的性质即可表示出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ，解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， ， ， 即． 40．(1)， (2)分钟 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 41．【建立模型】，，【解决问题】（）；（）分钟 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】建立模型：设，利用待定系数法可求出正比例函数关系，又根据表格可知，时间每增加分钟，剩余电量占电池满电量的百分比减小，进而可求出关于的函数表达式； 解决问题：（）把代入关于的函数表达式求出的值即可求解； （）把代入关于的函数表达式求出的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：建立模型：设，把代入得，， 解得， ∴， 由表格可知，时间每增加分钟，剩余电量占电池满电量的百分比减小， ∴， 故答案为：，； 解决问题：（）当时，， ∴此时剩余电量占电池满电量的百分比为； （）把代入，得， 解得， 答：需要充电分钟才能充满． 42．(1)①见解析②28③ (2)张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键： （1）①根据图象及速度路程时间、路程速度时间计算即可； ②根据速度路程时间计算即可； ③根据路程速度时间计算即可； （2）分别写出李华从陈列馆回学校途中减速后与的函数关系式、张强与的函数关系式，二者联立关于和的二元一次方程组并求解即可． 【详解】（1）解：李华在最初内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，． 填表如下： 离开学校的时间 离学校的距离/ 李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为． 故答案为：． 当时，， 当时，关于的函数解析式为． （2）李华从陈列馆回学校途中，减速后的骑行速度为，则， 张强离学校的距离与李华离开学校的时间之间函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得． 答：张强在回学校的途中遇到李华时离学校的距离是． 43．（1）图见解析；（2）图见解析， 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了作一次函数图像，求一次函数解析式，全等三角形等知识，掌握一次函数图像的性质是解题的关键． （1）根据题意列表、描点、连线即可； （2）过点作交于点，点坐标为，连接，进而证得，可得，，可得，设直线为，利用待定系数法求出直线解析式，即可求得点的坐标． 【详解】解：（1）列表得： 描点、连线得：    （2）如图，过点作交于点，点坐标为，连接，    由题意知，，， ，， ， ，， ， ， ， 点坐标为，，， ，， 在与中，， ， ，， 轴， ， 设直线为， 直线经过，， 可得，解得， 直线为， 点在直线上且在直线， ， ， ． 44．(1)，，重心坐标为 (2) 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、中点坐标 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的关知识点． （1）根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可； （2）过点作轴于点，取中点，连接交于点，连接交于点，可得为等腰直角三角形，为正方形，则由题意得点分别为，正方形的重心，求出直线，直线，联立求出，再求出，，然后由重心坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． （2）解：过点作轴于点，取中点，连接交于点，连接交于点， ∵直角梯形， ∴， ∴为等腰直角三角形，为正方形， 则由题意得点分别为，正方形的重心， ∵为中点，为中点， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 同理可求：， 则联立， 解得：， ∴， ∵为正方形的重心，，， ∴， ∵， ∴直角梯形的重心坐标的横坐标为：，纵坐标， ∴直角梯形的重心坐标的横坐标为． 45．(1)①；② (2)， 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据，，推出，所以；设直线的解析式为，将点的坐标代入即可求出解析式； ②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即； （2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标． 【详解】（1）解：①，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解析式：； ②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、． 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ； （2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明） 点在直线上运动，设直线交轴于点M， 作点关于直线的对称点， ，， ． 当、C、在同一直线上时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 此时， ． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点的运动轨迹是关键． 46．(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 47．(1)点是点A，B的融合点 (2)①；② 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形、求一次函数解析式 【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案； （2）①由题中融合点的定义可得；. ②当时，画出图形，由融合点的定义求得点、坐标，进而求出解析式． 【详解】（1）解：，， ∴点是点A，B的融合点． （2）解：①由融合点定义知，得， 又∵，得． ∴，化简得． ②当时，如图所示，则点T为， 由点是点,的融合点，可得点， 此时设直线的方程为，则，解之得， ∴， 直线ET的解析式为． 【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解，解决本题关键是搞清楚新定义． 48．(1)， (2)， (3) 【知识点】求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点B，先求出点A和点B的坐标，再结合求出，得到点D的坐标，最后利用平行四边形的性质求出点C的坐标； （2）根据，求出直线CD的解析式，设，分两种情况：点P在x轴正半轴和x轴负半轴来求解； （3）先将两条直线组成方程组得到，分两种情况进行求解． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 令， 则， 令， 则， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ 在中，，， ∴； （2）解：∵，， 设直线CD的解析式为， 则， 解得， ∴， 设， 情况一：如图所示： ， ∴，， ∴； 情况二：如图所示： ∴，， ∴； （3）解：由直线与直线得， ∴， ∴， 当时，方程组无解，两直线平行，此时总有， 当时， ， ∵直线经过， ∴当时，对于x的每一个值，都有， 即是， ∴若时，即， 则， ∴； 若，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合知识，涉及待定系数法、一次函数与一次不等式的关系，等腰直角三形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键． 49．（1）y=-x+1；（2）；（3）点Q坐标为（－，0）时△QPC周长最小 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）根据点P在直线l2上，求出P的坐标，然后用待定系数法即可得出结论； （2）根据计算即可； （3）作点C关于x轴对称点C＇，直线C’P与x轴的交点即为所求的点Q，求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）∵点P（－1，a）在直线l2：y=2x+4上，∴，即，则P的坐标为（－1，2），设直线的解析式为：，那么，解得：，∴的解析式为：． （2）∵直线与y轴相交于点C，∴C的坐标为（0，1）． 又∵直线与x轴相交于点A，∴A点的坐标为（－2，0），则AB=3，而，∴． （3）作点C关于x轴对称点C′，易求直线C′P：y=-3x-1．当y=0时，x=，∴点Q坐标为（，0）时，△QPC周长最小． 【点睛】本题考查了一次函数的应用．掌握用待定系数法求一次函数的解析式、不规则图形面积的求法是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $