2025--2026学年华东师大版数学八年级下册期末模拟

**基本信息** 以石墨烯、防溺水等真实情境为载体，通过分式、反比例函数等核心知识的分层考查，融合几何变换与函数建模，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|分式、科学记数法、平行四边形判定|第2题石墨烯厚度考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|6/24|函数自变量范围、方差计算、旋转面积|第15题正方形旋转重叠面积，考查空间观念| |解答题|9/86|函数应用、统计分析、几何综合|第25题半角模型拓展，融合推理与创新思维|

2025- -2026学年华东师大版数学八年级下册期末模拟 2026- 考试时间: 120分钟 满分:150分 一．选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1．若分式的值为零，则x的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约0.000000000335m．数据0.000000000335用科学记数法表示为（　　） A．0.335×10﹣9 B．3.35×10﹣10 C．3.35×1010 D．3.35×10﹣9 3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对角相等 4．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．值不变 D．缩小为原来的 5．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的中位数是（　　） A．6 B．8 C．8.5 D．9 6．在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 7．某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 8．当k＞0时，反比例函数y和一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为3，则k的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 10．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到Rt△CBG．延长AE交CG于点F，交CB于点H，连接DE．下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形；③△BEH≌△CFH；④若DA＝DE，则CF＝GF．其中正确的是（　　） A． ①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ （第9题） （第10题） （第12题） （第15题） 二．填空题（共6小题，每题4分，共计24分） 11．函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），则关于x的一元一次不等式 ﹣x+b＜x+2的解集为 　 　 ． 13．一组数据的方差计算公s2[（3）2+（6）2+（6）2+（9）2]，则这组数据的方差是 　 　 ． 14．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 　 　 ． 15．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是　 　 ． 16．平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，若A，B，C，D为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以A，B，C，D为顶点的四边形的结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD可以是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形；其中正确的 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） 三．解答题（共9小题，共计86分） 17．计算：|π﹣3|+（﹣4）0+（）﹣1． 18．解方程：． 19．先化简，再求值：，其中a＝2024． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF． 求证：AE∥CF． 21．某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间t（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当0≤t≤4.5时，y是t的反比例函数；当4.5≤t≤6时，y是t的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． （1）试分别求出当0≤t≤4.5时的反比例函数关系式及当4.5≤t≤6时的一次函数关系式． （2）当睡眠时间t＝5时，求眼睛的疲劳系数y． （3）当眼睛的疲劳系数y的范围为2≤y≤2.5时，求睡眠时间t的取值范围． 22．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用2400元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少10本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.2倍． （1）求甲、乙两种科普书的单价； （2）学校准备购进两种科普书共90本，其中甲种科普书数量不少于乙种科普书的2倍，求此次购买科普书费用的最小值． 23．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七八年级测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． （3）如果把x≥85的记为“优秀”，把70≤x＜85的记为“合格”，学校规定两项成绩按6：4计算．通过计算比较哪个年级得分较高？ 24．如图，直线AB，CD经过原点且与双曲线分别交于点A，B，C，D，点A，C的横坐标分别为a，b（a＞b＞0），连接AC，CB，BD，DA． （1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由； （2）四边形ACBD有没可能是菱形？简要说明理由； （3）当a，b满足怎样的数量关系时，四边形ACBD是矩形？请直接写出结论； （4）若点A的横坐标a＝4，四边形ACBD的面积为S，求S与b之间的函数表达式． 25．【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为“半角模型”． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE，AF与边BC，CD分别交于E，F两点，连接EF．则线段EF，BE与FD之间的数量关系为 　 　 ． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE，AF与边BC，CD分别交于E，F两点，且EF＝6，求五边形ABEFD的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E，F分别在射线CB，DC上，且∠EAF∠BAD．当BC＝6，DC＝8，CF＝2时，求△CEF的周长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C A C C B C 一．选择题（共10小题） 1．若分式的值为零，则x的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣1＝0，2x+2≠0， ∴x＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料被广泛应用于手机芯片、汽车电池等领域，其理论厚度约0.000000000335m．数据0.000000000335用科学记数法表示为（　　） A．0.335×10﹣9 B．3.35×10﹣10 C．3.35×1010 D．3.35×10﹣9 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：0.000000000335＝3.35×10﹣10， 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对角相等 【分析】利用平行四边形的判定可求解． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键． 4．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．值不变 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：原式， 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 5．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：，根据算式信息，这组数据的中位数是（　　） A．6 B．8 C．8.5 D．9 【分析】由方差的算式知，这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据中位数的定义可得答案． 【解答】解：由方差的算式知，这组数据为7、7、8、9、9、9， 所以这组数据的中位数为8.5， 故选：C． 【点评】本题主要考查方差和中位数，解题的关键是掌握方差和中位数的定义． 6．在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明的速度的变化判断即可． 【解答】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后200米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡． 故选项A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键． 7．某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产的吨数；采用新技术，提前2天完成，可得实际每天生产的吨数，根据”采用新的技术，每天比原计划多生产3吨”，可列出分式方程． 【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤， ∴原计划每天生产吨，采用新技术，提前2天完成， ∴实际每天生产的吨数为：， 根据题意得：， 故选：C． 【点评】本题为分式方程的基础应用题，根据等量关系：每天比原计划多生产3吨，可以列出分式方程． 8．当k＞0时，反比例函数y和一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k＞0，判断出反比例函数y经过一三象限，一次函数y＝kx+2经过一二三象限，结合选项所给图象判断即可． 【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数y经过一三象限，一次函数y＝kx+2经过一二三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的知识，解答本题的关键在于通过k＞0判断出函数所经过的象限． 9．如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为3，则k的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【分析】根据中心均分面积，可得S△AOB＝2S△AOC＝6，由k值的几何意义可得． 【解答】解：∵点C是OB的中点， ∴S△AOB＝2S△AOC＝6， ∵|k|＝2S△AOB＝2×6＝12． ∴k＝±12， ∵图象在第二象限， ∴k＝﹣12． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，图象上一点（x，y）与坐标轴围成的矩形的面积就是|k|，k的正负取决于图象所在的象限． 10．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到Rt△CBG．延长AE交CG于点F，交CB于点H，连接DE．下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形；③△BEH≌△CFH；④若DA＝DE，则CF＝GF．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠G＝∠AEB＝∠EBG＝90°，从而判断①正确； 由旋转的性质可得BE＝BG，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确； 由点H不一定是BC的中点，可得△BEH不一定全等于△CFH，故③错误； 过点D作DM⊥AE于M，由等腰三角形的性质可得AMAE，DM⊥AE，由“AAS”可得△ADM≌△BAE，可得AM＝BEAE，由旋转的性质可得AE＝CG，从而可得CF＝FG，判断④正确． 【解答】解：如图1， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG， ∴∠G＝∠AEB＝∠EBG＝90°＝∠BEF， ∴四边形EBGF是矩形， ∴∠AFG＝90°， ∴AF⊥CG，故①正确； ∵四边形BEFG是矩形， 又∵BE＝BG， ∴四边形BEFG是正方形，故②正确； ∵点H不一定是BC的中点， ∴CH与BH不一定相等， 则△BEH不一定全等于△CFH，故③错误， 如图2，过点D作DM⊥AE于M， ∵DA＝DE，DM⊥AE， ∴AM＝AE， ∴∠ADM+∠DAM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAM+∠EAB＝90°， ∴∠ADM＝∠EAB， 又∵AD＝AB，∠AMD＝∠AEB＝90°， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴AM＝BEAE， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CG， ∵四边形BEFG是正方形， ∴BE＝GF， ∴GFCG， ∴CF＝FG，故④正确； ∴正确的有：①②④． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+3≥0， 解得x≥﹣3． 故答案为：x≥﹣3． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），则关于x的一元一次不等式﹣x+b＜x+2的解集为 　x＞2　 ． 【分析】写出直线y＝﹣x+b在直线y＝x+2下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：由图象得关于x的不等式﹣x+b＜x+2的解集为x＞2． 即关于x的一元一次不等式﹣x+b＜x+2的解集为x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13．一组数据的方差计算公s2[（3）2+（6）2+（6）2+（9）2]，则这组数据的方差是 　4.5　 ． 【分析】根据方差的计算公式得出这组数据为3、6、6、9，求出平均数，再代入方差公式计算可得答案． 【解答】解：由题意知，这组数据为3、6、6、9， ∴这组数据的平均数（3+6+6+9）＝6， ∴s2[（3﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（9﹣6）2]＝4.5． 故答案为：4.5． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．求出这组数据的平均数是解题的关键． 14．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 　k＞﹣3且k≠﹣2　 ． 【分析】根据分式方程的解法去分母化成整式方程，求出关于x整式方程的解，令这个解为正数，确定k的取值范围，再根据分式方程增根的定义，进一步确定k的取值范围即可． 【解答】解：将关于x的分式方程的两边都乘以x﹣1，得 1+3（x﹣1）＝﹣1﹣kx， 解得x， 由于关于x的分式方程的解为正数，即0， 解得k＞﹣3， 由于分式方程有增根x＝1， 当x＝1时，即1＝﹣1﹣k， 解得k＝﹣2， 因此k≠﹣2， 所以k的取值范围为k＞﹣3且k≠﹣2． 故答案为：k＞﹣3且k≠﹣2． 【点评】本题考查解分式方程，解一元一次不等式，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键． 15．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是　1　 ． 【分析】连接D′C，根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积． 【解答】解：连接D′C， ∵绕顶点A顺时针旋转45°， ∴∠D′CE＝45°， ∵ED′⊥AC， ∴∠CD′E＝90°， ∵AC， ∴CD′1， ∴正方形重叠部分的面积是1×1（1）（1）1． 故答案为：1． 【点评】解答此题，要找出题中的隐含条件，构造出等腰直角三角形解答． 16．平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，若A，B，C，D为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以A，B，C，D为顶点的四边形的结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD可以是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形； 其中正确的 　①③④　 ．（写出所有正确结论的序号） 【分析】根据新运算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形，正方形． 【解答】解：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B， ∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2， ∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形，矩形，菱形的判定与性质，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 三．解答题（共9小题） 17．计算：|π﹣3|+（﹣4）0+（）﹣1． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：|π﹣3|+（﹣4）0+（）﹣1 ＝π﹣3+1+2 ＝π． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．先化简，再求值：，其中a＝2024． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式• ， 当a＝2024时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 19．解方程：． 【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得 2﹣x﹣1＝3（x﹣3）， 解得x＝2.5． 检验：把x＝2.5代入x﹣3＝﹣0.5≠0． ∴原方程的解为：x＝2.5． 【点评】考查了解分式方程，注意： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．求证：AE∥CF． 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF＝CE是解题的关键． 21．某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间t（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当0≤t≤4.5时，y是t的反比例函数；当4.5≤t≤6时，y是t的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． （1）试分别求出当0≤t≤4.5时的反比例函数关系式及当4.5≤t≤6时的一次函数关系式． （2）当睡眠时间t＝5时，求眼睛的疲劳系数y． （3）当眼睛的疲劳系数y的范围为2≤y≤2.5时，求睡眠时间t的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将t＝5代入一次函数解析式计算出y值即可； （3）分别计算y＝2和y＝2.5时对应的反比例函数自变量t即可得到取值范围． 【解答】解：（1）设当0＜t≤4.5时的反比例函数关系式为y， ∵点（4.5，2）在反比例函数图象上， ∴k＝9， ∴反比例函数解析式为y（0＜t≤4.5）． 设当4.5≤t≤6一次函数解析式为y＝mt+n，点（4.5，2）、（6，0）在一次函数图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y（0＜t≤4.5）． （2）将t＝5代入一次函数解析式得：y． 答：眼睛的疲劳系数y为． （3）当y＝2时，t＝4.5， 当y＝2.5时，t＝3.6， ∴当眼睛的疲劳系数y的范围为2≤y≤2.5时睡眠时间t的取值范围为3.6≤t≤4.5． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式是关键． 22．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用2400元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少10本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.2倍． （1）求甲、乙两种科普书的单价； （2）学校准备购进两种科普书共90本，其中甲种科普书数量不少于乙种科普书的2倍，求此次购买科普书费用的最小值． 【分析】（1）设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为1.2x元，根据用2400元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少10本，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲种科普书a本，则购买乙种科普书（90﹣a）本，根据甲种科普书数量不少于乙种科普书的2倍，列出一元一次不等式，解得a≥60，再设此次购买科普书的费用为y元，由题意得出y关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为1.2x元， 由题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×40＝48， 答：甲种科普书的单价为48元，乙种科普书的单价为40元； （2）设购买甲种科普书a本，则购买乙种科普书（90﹣a）本， 由题意得：a≥2（90﹣a）， 解得：a≥60， 设此次购买科普书的费用为y元， 由题意得：y＝48a+40（90﹣a）＝8a+3600， ∵8＞0， ∴y随a的增大而增大， ∴当a＝60时，y有最小值＝8×60+3600＝4080， 答：此次购买科普书费用的最小值4080元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 23．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各200名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84． 七八年级测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 a 七八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　2　 ，b＝　85　 ，c＝　84　 ； （2）按学生的实际成绩，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． （3）如果把x≥85的记为“优秀”，把70≤x＜85的记为“合格”，学校规定两项成绩按6：4计算．通过计算比较哪个年级得分较高？ 【分析】（1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，c的值，根据中位数定义可求出b； （2）根据方差的意义求解即可； （3）根据加权平均数的定义计算，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵八年级的10名学生中有8名学生成绩低于9（0分）， ∴a＝10﹣7﹣1＝2， 根据众数的定义可知：c＝84， 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为b85， 故答案为：2，85，84； （2）八年级好些， 七八年级成绩的平均数相等，但八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 所以八年级总体水平较为好些； （3）七年级得分：（90×2+93+87+86）×0.6+（84+81+79+74+76）×0.4＝425.2， 八年级得分：（90+92+85）×0.6+（84×3+81×2+83+76）×0.4＝389.4， 七年级得分较高． 【点评】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 24．如图，直线AB，CD经过原点且与双曲线分别交于点A，B，C，D，点A，C的横坐标分别为a，b（a＞b＞0），连接AC，CB，BD，DA． （1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由； （2）四边形ACBD有没可能是菱形？简要说明理由； （3）当a，b满足怎样的数量关系时，四边形ACBD是矩形？请直接写出结论； （4）若点A的横坐标a＝4，四边形ACBD的面积为S，求S与b之间的函数表达式． 【分析】（1）点A，B关于原点对称，点C、D关于原点对称，OA＝OB，OC＝OD，即可求解； （2）∠AOC不可能是直角，故四边形不可能为菱形； （3）当OA＝OC时，四边形ACBD是矩形，得到a2+（）2＝b2+（）2，即可求解； （4）由S△OAC＝S矩形OMCF+S梯形CMEA﹣S△OCF﹣S△OAE＝8（2）×（4﹣b）868b，即可求解． 【解答】解：（1）四边形ACBD为平行四边形，理由如下： ∵直线AB，CD经过原点且与双曲线分别交于点A，B，C，D，双曲线的图象关于原点中心对称， ∴点A，B关于原点对称，点C、D关于原点对称， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∴四边形ACBD为平行四边形． （2）四边形ACBD不可能是菱形，理由： ∵∠AOC不可能是直角， 故四边形不可能为菱形； （3）当OA＝OC时，四边形ACBD是矩形． ∵点A，C的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（a，），点C的坐标为（b，）， ∴a2+（）2＝b2+（）2， 整理得：ab＝8， 即当ab＝8时，四边形ACBD是矩形； （4）a＝3时，点A的坐标为（4，2）． 过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，过点C作CM⊥x轴于点M，如图所示． ∵点C的坐标为（b，）， ∴OM＝b，ME＝4﹣b，CM， ∴S△OAC＝S矩形OMCF+S梯形CMEA﹣S△OCF﹣S△OAE ＝8（2）×（4﹣b）868b， ∵四边形ACBD为平行四边形， ∴S＝4S△OAC4b． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质、平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定、勾股定理、反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积，熟悉特殊四边形的性质是解题的关键． 25．【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为“半角模型”． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE，AF与边BC，CD分别交于E，F两点，连接EF．则线段EF，BE与FD之间的数量关系为 　EF＝BE+DF　 ． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的∠EAF＝60°，AE，AF与边BC，CD分别交于E，F两点，且EF＝6，求五边形ABEFD的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E，F分别在射线CB，DC上，且∠EAF∠BAD．当BC＝6，DC＝8，CF＝2时，求△CEF的周长． 【分析】（1）利用旋转的性质，可得BG＝DF，则可得出答案，证明△AGE≌△AFE（SAS）即可； （2）根据旋转的性质得到△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF，推出M、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到EF＝DF+BE，据此求解即可； （3）证明△ADM≌△ABE（SAS）和△EAF≌△MAF（SAS），即可求解． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF， 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∠ABG＝∠D＝90°， ∴∠ABG+∠ABC＝180°， ∴点G，B，E在一条直线上， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF， 在△AGE和△AFE中 ， ∴△AGF≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2）将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM， ∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF， ∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°， ∴M、B、E三点共线， ∵∠EAF＝60°， ∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°， ∴∠MAE＝∠FAE， ∵AE＝AE，AM＝AF， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE， ∴五边形ABEFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝AB+EF+EF+AD＝6+5+5+6＝22； （3）在DF上截取DM＝BE， ∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ADM≌△ABE中， ， ∴△ADM≌△ABE（SAS）， ∴AM＝AE，∠DAM＝∠BAE， ∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF∠BAD， ∴∠MAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， 在△EAF与△MAF中， ， ∴△EAF≌△MAF（SAS）， ∴EF＝MF； ∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE， ∴EF＝DF﹣BE． ∴△CEF的周长＝CE+EF+FC＝BC+BE+DC+CF﹣BE+CF＝BC+CD+2CF＝18． 【点评】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，旋转的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/9 19:47:04；用户：傅丽萱；邮箱：15715996453；学号：38962406 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