精品解析：湖南花垣县华鑫教育集团2025-2026学年下学期期中联考试题卷九年级数学

2026春华鑫教育集团初中部期中联考试题卷 九年级数学 考试时间：120分钟；考试分数：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下说法正确的是（ ） A. 这组数据3，5，4，1，的中位数是4 B. 两组身高数据方差分别为，，则乙更整齐 C. 92，90，88，92，93，88的众数是92 D. 太阳从东边升起是必然事件 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 9. 已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限，现进行以下操作： （1）将沿轴向上平移2个单位长度，此时变为； （2）将（1）中平移得到的三角形沿轴翻折，此时变为； （3）将（2）中翻折得到的三角形绕点旋转，此时变为； （4）将（3）中旋转得到的三角形沿轴向上平移4个单位长度，此时变为． 按照此规律，重复以上四步，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 截至2026年3月，全国高铁累计安全运行里程已超过8500000公里，成为全球最安全、最繁忙的高速铁路网络．8500000用科学记数法表示为______． 12. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是___________． 13. 因式分解：_______________________． 14. 分式方程的解为______． 15. 图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 16. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． （1）判断与的位置关系并证明； （2）若的半径为4，求阴影部分的面积 20. 某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整． （2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________人； （3）“A：微信”，“B：支付宝”，“C：现金”，请用画树状图或列表法，求甲、乙两同学买书（只使用一种方式）付款方式相同的概率． 21. 学校安排名学生外出研学一天，旅游公司有，两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： 型车（辆） 型车（辆） 可乘载人数（名） （1）求，两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）公司现有型和型中巴车共辆可以调配使用，已知每辆型中巴车每天的租金元，每辆型中巴车每天的租金元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆型中巴车？ 22. 耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）当耧车不工作时，求的度数． （2）当耧车不工作时，求点A到地面的距离. （3）如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 23. 【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 （1）一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 （2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 24. 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春华鑫教育集团初中部期中联考试题卷 九年级数学 考试时间：120分钟；考试分数：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可得，四个数中，只有是无理数， 故选；D． 2. 下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面看，该几何体是由三个矩形组成的图形，中间的矩形最高，左边的矩形高度次之，右边的矩形最矮， 故此领奖台的主视图是． 3. 某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定已知旋转方向的表示规则，再推导相反方向的表示即可． 【详解】∵题目规定逆时针旋转记为，即逆时针旋转用正数表示，顺时针旋转与逆时针旋转是一对具有相反意义的量， ∴顺时针旋转应记为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 5. 以下说法正确的是（ ） A. 这组数据3，5，4，1，的中位数是4 B. 两组身高数据方差分别为，，则乙更整齐 C. 92，90，88，92，93，88的众数是92 D. 太阳从东边升起是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、方差、众数、必然事件的基本概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵将数据从小到大排序为，共个数据，中位数为排序后第个数，即中位数为， ∴该选项错误； B、∵方差越小，数据波动越小，越整齐，且， ∴甲比乙更整齐，该选项错误； C、∵这组数据中和都出现次，出现次数最多， ∴众数为和，该选项错误； D、∵必然事件是一定会发生的事件，太阳从东边升起是一定会发生的自然规律， ∴该选项正确． 6. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，分别列不等式求解，再取公共范围即可得到结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且． 7. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数． 【详解】解：如图， 根据折叠性质可知：， 根据长方形对边互相平行，得，， 即， ． 8. 如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据点到坐标轴的距离可得，结合反比例函数图象上的点满足表达式得到，进而利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为反比例函数图象上一点， ∴， ∴． 故选：A． 9. 已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图，解题的关键是熟练掌握基本作图原理． 根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，作图正确的有， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限，现进行以下操作： （1）将沿轴向上平移2个单位长度，此时变为； （2）将（1）中平移得到的三角形沿轴翻折，此时变为； （3）将（2）中翻折得到的三角形绕点旋转，此时变为； （4）将（3）中旋转得到的三角形沿轴向上平移4个单位长度，此时变为． 按照此规律，重复以上四步，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，过作轴于，再运用等边三角形的性质及勾股定理求出，，进而得出点的坐标为，然后，再按照顺序要求进行图形变换，得出依次变换后对应点的坐标，最后，找出四次一循环的规律，进行周期计算，观察余数寻找对应坐标即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴第1步操作后点的坐标是， 第2步操作后点的坐标是， 第3步操作后点的坐标是， 第4步操作后点的坐标是． ∴每4步操作为一个循环． ∵， ∴点的坐标为． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 截至2026年3月，全国高铁累计安全运行里程已超过8500000公里，成为全球最安全、最繁忙的高速铁路网络．8500000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值． 【详解】解：将转变为满足的形式，可得，原数的小数点向左移动了位，因此，即． 12. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案． 【详解】解∶∵点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等， ∴点B表示的数是． 13. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 14. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程后检验即可得到原方程的解. 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项合并得： 解得： 检验：当时， 原分式方程的解为. 15. 图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴． 16. 已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数； 乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，； 丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 【答案】丁 【解析】 【分析】对已知条件变形得到，再逐一分析四个结论，利用完全平方公式，一元二次方程根的判别式等知识判断结论正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴． 甲：当时，满足，且均为有理数，故甲结论错误； 乙：当时，，可得，故乙结论错误； 丙：当时，由得， 若，则， 将代入得：， 整理得，解得，此时，存在两个数相等但的情况，故丙结论错误； 丁：联立， 消去并整理得， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点，故丁结论正确． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式化简，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． （1）判断与的位置关系并证明； （2）若的半径为4，求阴影部分的面积 【答案】（1）相切， 证明：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴，即， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，推出，即可得出，再借助三角形内角和定理即可证明； （2）由（1）知，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 20. 某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整． （2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________人； （3）“A：微信”，“B：支付宝”，“C：现金”，请用画树状图或列表法，求甲、乙两同学买书（只使用一种方式）付款方式相同的概率． 【答案】（1），，补充条形统计图如下： （2）600 （3） 【解析】 【分析】（1）根据现金支付的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求出“支付宝”支付的百分比，进而可求扇形圆心角的度数；计算出使用“微信”和“银行卡”支付方式的人数，从而可补全条形图； （2）用乘以样本中“微信”支付的百分比，即可求解； （3）画出树状图，得到所有可能的结果，找出符合题意得结果数，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次活动调查的人数为：（人）， 使用“支付宝”支付方式的占比为：， 表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为：； 使用“微信”支付方式的人数为：（人） 则使用“银行卡”支付方式的人数为：（人）， 补全条形图略； 【小问2详解】 解：（人）． 则估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数是600人； 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 共有9种等可能的结果，甲、乙两同学买书（只使用一种方式）付款方式相同的结果数有3种， 则甲、乙两同学买书（只使用一种方式）付款方式相同的概率为． 21. 学校安排名学生外出研学一天，旅游公司有，两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： 型车（辆） 型车（辆） 可乘载人数（名） （1）求，两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）公司现有型和型中巴车共辆可以调配使用，已知每辆型中巴车每天的租金元，每辆型中巴车每天的租金元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆型中巴车？ 【答案】（1）种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人 （2）①种；②租了辆型中巴车时，总租车费用最少 【解析】 【分析】（1）设种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． ②设当租了辆型中巴车时，总租车费用为元，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人， 根据题意得：， 解得：， 答：种型号的中巴车满载时可乘载人，种型号的中巴车满载时可乘载人； 【小问2详解】 解：①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车， 根据题意得：，解得：， 两种车都要租，， ，且为正整数， ， 学校共有种租车方案； ②设租了辆型中巴车，总租车费用为元， 根据题意得：， ， 越大，越小，由①可知，最大取， 租了辆型中巴车时，总租车费用最少． 22. 耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）当耧车不工作时，求的度数． （2）当耧车不工作时，求点A到地面的距离. （3）如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求出的度数，再利用三角形的外角和定理即可得； （2）过点 作 ，由即可求得； （3）利用工作时的正弦值求出耧把工作时到地面的高度，用不工作时的高度减去工作时的高度即端点A下降的高度． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 如图 1，过点 作 ， 在 中，， ， 点A到地面的距离； 【小问3详解】 如图 2，过点 作 ， 在 中，， ， ， 答：耧把从不工作到工作时端点 A 下降的高度约为． 23. 【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 （1）一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 （2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】（1）①，②，顶点坐标为 （2）解：成立，理由如下： ∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）或 【解析】 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【小问1详解】 解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 24. 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：当时，则 ∵四边形是平行四边形， 在和中， ， ． ， 是菱形． （2）存在， （3）或或 【解析】 【分析】（1）平行四边形性质证明，得，，即可得证； （2）用、表示的面积，用、表示的面积，因为两个三角形面积相等，所以建立等式，变形即可得到λ与的关系； （3）当时，平行四边形两相邻边的比为 2，再分为，,三种情况分别计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为 2． ①如图 1，当时，过点作于点，过点作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， 在中，， 设，， ∴ 解得：， ，， ∵， 同理可得，，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图 2，当时，过点作于点，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ∴，， ∴， ∴， 同理可求，，， ∴， 由①可知，，，， ， ∴， ∴， ， ． ③如图 3，时，连接，过点作， ∵ ， 设，， ∴， ， ∴， ∵， ， 解得：， ∵， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $