精品解析：湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

浏阳市2026年上学期期中质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若的相反数是，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式上，液体洲际战略核导弹正式亮相，如图所示为洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ）． A. 从左面看与从上面看到的平面图形相同 B. 从前面看与从上面看到的平面图形相同 C. 从前面看与从左面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都不同 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 无理数的相反数是有理数 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 4. 一组数据：8，8，6，8，10，若删除一个数据8，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 7. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 我们规定：为二次函数（，，，为实数）的“概念数”，如：的“概念数”为，若“概念数”是，且开口向上的二次函数图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 式子有意义的的取值范围是_____， 12. 2026年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“”用科学记数法表示为______． 13. 一块“太极八卦”图样的地砖可以抽象为图所示的中心重合的正八边形及圆形，已知“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为______． 14. 分解因式________． 15. 所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 16. 如图，已知，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点M；画射线，交于点N；以点N为圆心，长为半径画弧，交于点P，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了测出如图所示的电视塔高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进90米，又测得电视塔顶端的仰角为．求这个电视塔的高度．（结果保留根号即可） 20. 2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________； （2）扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类； （3）若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？ 21. 当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． （1）求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． （2）由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 24. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点． （1）求抛物线的关系式及点的坐标； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浏阳市2026年上学期期中质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若的相反数是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念即可得到结果． 【详解】解：∵的相反数是， ∴， ∴的值是． 2. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵式上，液体洲际战略核导弹正式亮相，如图所示为洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（ ）． A. 从左面看与从上面看到的平面图形相同 B. 从前面看与从上面看到的平面图形相同 C. 从前面看与从左面看到的平面图形相同 D. 从三个方向看到的平面图形都不同 【答案】C 【解析】 【分析】画出对应的三视图即可判断． 【详解】解：导弹的三视图如下： ∴从前面看与从左面看到的平面图形相同． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 无理数的相反数是有理数 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真命题的判断，需结合对顶角性质、无理数概念、等腰三角形分类、三角形全等判定定理逐一分析各选项． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴选项A是真命题． ∵无理数的相反数仍是无理数，例如的相反数是，仍为无理数， ∴选项B是假命题． ∵等腰三角形可以是钝角三角形或直角三角形，例如顶角为的等腰三角形是钝角三角形， ∴选项C是假命题． ∵三个角对应相等的两个三角形不一定全等，全等三角形的判定需满足边的相等， ∴选项D是假命题． 故选：A 4. 一组数据：8，8，6，8，10，若删除一个数据8，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算原数据和删除数据后各统计量，对比即可得到结果． 【详解】解：将原数据排序得：，，，，，共个数据． ∵原平均数为，原中位数为，原众数为，原方差为． 删除一个数据后，新数据排序得：，，，，共个数据． 计算得新平均数为，新中位数为，新众数为，新方差为． ∴对比可知，只有方差发生变化． 5. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是90度得出，运用直角三角形的两个锐角互余得，结合圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵ 则， 6. 以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（ ） A. ②③⑤ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例关系的判定，线段性质，角度换算，代数式的意义，直线的性质逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值， ∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.； ②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误； ③：∵，， ∴，故③正确； ④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确； ⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误； 综上，正确的说法为①③④． 7. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出，再根据外角的性质求出，然后根据两直线平行，内错角相等得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】作于E，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作于E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 我们规定：为二次函数（，，，为实数）的“概念数”，如：的“概念数”为，若“概念数”是，且开口向上的二次函数图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据定义写出二次函数解析式，再利用二次函数性质：开口向上可得二次项系数大于0，图象与轴只有一个交点可得判别式等于0，列方程求解后舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：“概念数”是， 二次函数解析式为 ， 二次函数开口向上， ， 二次函数图象与轴只有一个交点， 判别式， 代入系数得： ， 整理得：， 解得或， 又， ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 式子有意义的的取值范围是_____， 【答案】 【解析】 【详解】解：∵式子有意义 ∴ ∵ ∴恒成立 ∴． 12. 2026年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，原数绝对值大于时，为正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为． 13. 一块“太极八卦”图样的地砖可以抽象为图所示的中心重合的正八边形及圆形，已知“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质，判断出黑色部分面积与白色部分面积相等，进而得出黑色部分面积占总面积的比例，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， ∴圆内黑色部分的面积等于白色部分的面积． 观察图形可知，正八边形内圆外的部分由4个黑色区域和4个白色区域组成，且它们关于中心成中心对称， ∴正八边形内圆外的黑色部分面积等于白色部分面积， ∴整个地砖中黑色部分的总面积等于白色部分的总面积， ∴黑色部分的面积占地砖总面积的， ∴向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为． 14. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取原式的公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 15. 所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 16. 如图，已知，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点M；画射线，交于点N；以点N为圆心，长为半径画弧，交于点P，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、以及弧长的计算等知识点．准确理解并运用作图步骤是解题的关键．先根据作图过程得出，然后确定所在圆的半径和圆心角，再利用弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角度数，r为半径）计算弧长． 【详解】解：根据作图可知， ， 根据作图可知平分， ，， ，， 过点D作于点R， ， 在中，， ， 连接，由作图可知， ， 的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】先计算零次幂，立方根，特殊角三角函数值，绝对值，再计算加减即可． 【详解】解∶ ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】原式括号内先通分计算减法，再进行除法运算，然后把代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ； 当，． 19. 为了测出如图所示的电视塔高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进90米，又测得电视塔顶端的仰角为．求这个电视塔的高度．（结果保留根号即可） 【答案】米 【解析】 【分析】由题意得米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图 则，米， 设米， 米， 在中，， （米） 在中，， ， ， ， ， （米） 答：这个电视塔的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 20. 2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________； （2）扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类； （3）若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？ 【答案】（1）500，150 （2），C （3）人 【解析】 【分析】（1）用类的人数除以占比即可求解共调查的人数；再由总数减去的人数即可求解类的人数； （2）用乘以A类的占比，即可求解圆心角；再由中位数的定义即可求解中位数在哪一类； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：此次共调查了：（人）； 条形统计图中A类所对应的人数：（人）； 【小问2详解】 解：； 由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类； 【小问3详解】 解：（人）， 答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人． 21. 当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． （1）求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． （2）由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 【答案】（1）每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装 （2）3 【解析】 【分析】（1）设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装．由题意，得，解方程组求解即可； （2）设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备．由题意，得，求解即可． 【小问1详解】 解：设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装． 由题意，得 解得 答：每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装． 【小问2详解】 解：设同一时间内启动台A型设备，则启动台B型设备． 由题意，得． 解得． 由m是整数，故m的最小值为3． 答：该厂同一时间内至少需要启动3台A型设备． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 23. 如图，在中，，以为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的度数，再根据角平分线的尺规作图可得是的角平分线，进而可得的度数，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）先根据角平分线的性质定理可得，再解直角三角形可得的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 由题意得：是的角平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵是的角平分线，，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，若是的中点，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明，，由即可得到结论； （2）连接OC，证明，即可证明结论； （3）取的中点，连接，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）知：，， 是的直径， ， ， ， ， 是的平分线， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， 是的中点， ，， ， 由（2）知：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点． （1）求抛物线的关系式及点的坐标； （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标； （3）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：． 【答案】（1），；（2）或；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据直线求出点的坐标，再将点和原点坐标代入抛物线的解析式即可得； （2）如图（见解析），先求出直线与抛物线的另一个交点的坐标为，再设点的坐标为，从而可得点的坐标为，然后分和两种情况，分别利用三角形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）如图（见解析），先根据一次函数图象的平移规律求出直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式可得的长，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得证． 【详解】解：（1）对于函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， 将点和原点代入得：， 解得， 则抛物线的关系式为， 将化成顶点式为， 则顶点的坐标为； （2）设直线与抛物线的另一个交点为点， 联立，解得或， 则， 过点作轴的平行线，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， 则， ， 因此有， 解得或，均符合题设， 当时，，即， 当时，，即； ②如图，当时， 则， ， 因此有， 解得或，均不符题设，舍去， 综上，点的坐标为或； （3）由题意得：， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作于点， 可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得，即， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形，， 由三角形的外角性质得：， ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、一次函数图象的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $